数乘向量与向量的线性运算（原卷版）

数乘向量

向量的线性运算

。常考题型目录

题型1数乘向量的概念.................................................................................3

题型2向量的数乘运算..................................................................................4

题型3向量共线定理证明点共线问题...................................................................4

题型4向量共线定理证明线平行问题....................................................................5

题型5已知向量共线（平行）求参数....................................................................6

♦类型1向量共线..................................................................................6

♦类型2三点共线..................................................................................6

题型6向量的线性表示.................................................................................7

♦类型I简单的线性表示...........................................................................7

♦类型2三点共线在线性表示中的应用............................................................8

Q知识梳理

知识点一.数乘向量

1.•数乘向量的定义

定义规定实数4与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：Ao,实数入与

向量a相乘的预算简称为数乘向量.

模当入H。目“0,Aa的模为M〃a|.

方向当A>0且aHO时"a的方向与a的方向相同；

当入<0且aHO时，4a的方向与a的方向相反；

当与=0且a=0时,Aa=O.

2.数乘向量的几何意义

把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.

3.4(〃a)=(AfJ)a

当开叩都是实数，且a是向量时：四是向量，力(pa)也是向量；刖是实数,©(/lu)a是向量.可以看出

/!(|ja)二(加)a

4.数乘向量的运算律：

设义,〃为任意实数,则有：①帅o)=(刖。；②(4+^)a=Aa+^a；@A(a+b)=Aa+Ab；

特别地，有(7)。=A(-a)=-(Aa|；A(a-b)=Aa-Ab.

5.向量的线性运算：

向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算向量线性运算的

结果仍是向量•向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a,6,以

及任意实数4,Z/1,〃2,恒有人〃田+46)=4〃田±，々6.

规则向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的JI质序进行计算，若

有括号，要先算括号内各项

注意：Aa=O,有下列三种情况：

①心;②㈡③忆%

知识点二.向量共线定理

1.向量共线的条件：

(1)当向量a=0时，a与任一向量b共线.

(2)当向量：a#0,对于向量b如果有一个实数入，使b=Xa,那么由实数与向量的积的定义知b与a共

线反之，已知向量b与a(a/0)共线且向量b的长度是向量a的长度的|人|倍，即同二|人|同，那么当b与

a同向时，b=Aa;当b与a反向时b=-Aa.

2.向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数入，使b=Aa,则向量b与非零向量a共线.

3.向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数入，使b=Aa.

注意:

(1)两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括。与0共线的情况；

(2)a/0是必要条件，否则a=0,b，0时，虽然b与a共线但不存在M吏b=Xa;

(3)有且只有一个实数入，使b=Aa.

(4)b//a-b=Aa(a#0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，

体现了数形结合的高度统一.

4.向量共线定理的推论：

(1)三点共线：一般地，如果存在实数入，使得万二流，则荏与元平行且有—公共点A_,从而A,B,C三

点一定共线.

(2)对于共面向量37,OH,~OC,OC=xOA-vyOR，则三点其线的充要条件是x+y=l.

(3)推论：对于不共线的向量35,OB,若灰二而十y而,则

①点C在直线AB的外侧(不含点0的一侧)的充要条件是x+y>1;

②点C在直线AB的内侧(含点0的一侧)的充要条件是x+y<l.

住题型分类

题型1数乘向量的概念

【方法总结】

对于数乘运算，要认识到任意实数人与任意向量a的乘积入a仍是向量，要明确两向量的关系，应从两

方面入手，一是方向，二是大小.

【例题1】若力，刃，？是任意三个空间向量，R£/?,则下列关系式中不成立的是()

A.a+b=b+aB.A(a+b)=Ab+Aa

C.(3+坂)+下=方+(b+石)D.a=Ab

【变式1-1]1.已知友=0,则下列结论一定正确的是()

A./i=oB.n=6

C./l=0^=0D.以上说法都不对

【变式1-1]2.对于非零向量扇石，下列选项一定能使白+得=6成立的是()

WPI

A.方=2022坂8.a//bC,a=-20226D.a±b

【变式1-1]3.(多选)已知叽”是实数,3、X是向量，下列命题正确的是()

A.m(a-/?)-rnia-mbB.(w-n)a=mci-na

C.若ma=mb,则了=hD.若mci=na,则m=n

题型2向量的数乘运算

【例题2】化简：

(1)5(23-2石)+4(2石-谢；

(2)6(3-32+c)-4(-a+b-c)；

(3)-[(3a-2b)+5a-^6a-9b)]；

(4)ir-y)(a+b)-(x-y)(a-b).

【变式2-1】1.若2卜-京)-拉+5-37)+5=0,其中逐防已知向量，则未知向量-.

【变式2-1]2.已知互，B是两个平面向量，若3f-27=万，-4工+3>=石，求向量工，y(都用m,裱示).

题型3向量共线定理证明点共线问题

【例题3】尸是△/1比?所在平面内一点=4成+而，贝I」尸点必在()

A.△力8c内部B.在直线,4。上

C.在直线力8上D.在直线8C上

【变式3-1】1.已知刁，了为不共线的非零向量，方=7+5%沅=-2/+“，3=3”3孔则()

K.A,B,。三点共线B.4,4，。三点共线

C.8,C,。三点共线D.A.C，。三点共线

【变式3-1]2.在平行四边形ABCD中，点N在8。上，BN=\BD,M为中点，求证：M,N,C三点

共线.

->玲玲

【变式3-1】3.已知ei,e?是两个不共线的向量,若AB=2e_8e2,CB=et+3e2,CD=2e「e?,求证：A,B,

D三点共线；

【变式3-1】4,在平行四边形力8C。中，点N在4。上，BN=；BD,M为4?中点，求证：M,N,C三

点共线.

题型4向量共线定理证明线平行问题

【例题4】给出下面三个命题：

①非零向量万与B共线，贝切与丽斤在的直线平行；

②向量行与石共线，则存在唯一实数久，使万=亦；

③若万=Ab,则1与B共线,

其中正确的命题的个数是()

A.OB.1C.2D.3

【变式4-1】1.判断向量万方是否共线(其中耳否是两个非零不共线的向量)：

(1)<7=3百方=-9百;

(2)及=；芮-；英万=3所-2苞;

(3)<7=西-访$=3否+3否.

【变式4-1]2.已知引，备是两个不共线的向量,a=2e1-2e2lb=-3@-访)，求证：后与7；是共线向量.

【变式4-1】3.已知％,下2是两个不共线的向量,a=2e\-2e2,b=-3(e2-%),求证：不与刃是共线向量.

题型5已知向量共线(平行)求参数

♦类型1向量共线

【例题5-1]已知向量冢石不共线，若砰+2可与-2济+〃丐共线,，则实数的值为.

【变式5-1】1F,知后与不杲两个不共线向量，目向量仅+4)与/-3耳共线，则；I的值为一.

【变式5-1】2.已知万力为非零不共线向量，向量81-口与-布+5共线，则4=（）

A.25/2B.-2V2C.±2及D.8

【变式5-1]3.已知为,豆是两个非零不共线的向量，不=2苟一苞/=烟+苞,若方与方是共线向量，求

实数攵的值.

♦类型2三点共线

[例题5-2]已知不共线向量7方，荏=疝-员/£R）,充=24+3石，若A,B,C三点共线，则实数f=

【变式5-2】1.已知a,6是不共线的向量，油=Ra+6,万3a+〃WI,〃eR）,那么/,B,C三点共线

的充要条件是（）

A.R+〃=2B.A-//=1C.A/J=-1D.入〃=1

【变式5-2]2.已知??,1是不共线的向量，方=而+〃瓦瓦=31-2鼠友=2"35若A,B,C三点共线，

则实数入怀茜足（）

A.R=〃-1B.4=〃+5

C.4=5-〃D.〃=13-54

【变式5-2】3.（多选）已知平面向量力，杯共线，方=2"无，而=（4-1必+九若力，8,C三点共线，

则实数/!的可能取值有（）

A.1B.-1C.2D.-2

题型6向量的线性表示

♦类型1简单的线性表示

【例题6-1】在“8C中，AB=a,A~C=b,AM=-A~B,BN=-BC,则MN=（）

32

11111111

A.~a+-bB.-a-^-bC.--a--bD.--a--b

62266226

【变式6-1】1.在平行四边形/8C。中，/C与8。交于点。，£是。8的中点，若尿二a,防二仇则左

等于（）

11111111

A.-a+bB.a-bC.a+bD.-a-b

24242424

【变式6-1】2.若。是平行四边形49C。的中心，AB=4e2,BC=6e2l则3e2-2/等于（）

A.AOB.BOC.COD.DO

【变式6-1]3.已知G是△ABC的重心，则而等于（）

A衣一万B而+而

•2•2

1AC-AB^AC±AB

L*~F~U*-T~

【变式6-1】4.设。为△川?C所在平面内一点，元=3比，则（）

A.+B.AD=ylB-^AC

C,AD=^AB+^ACD.AD=-^AB-^AC

【变式6-1】5.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副"弦图"给出了勾股定理的证明，后人称

其为“赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在"赵

爽弦图"中，若衣=万，丽=石，血=3乔，则亦=（）

A12一上9rD161,I2r

C.+|5D.

♦类型2三点共线在线性表示中的应用

【例题6-2】在△48c中，筋=一2配，且而=/1通+庆，则才+加勺值为（）.

A.2B.-2C.1D.-1

【变式6-2】1在△48C中，已知D为AB边上一点，若跻二2冷，金二;Z+4冷,则入=（）

2「1厂1c2

AA.B.C.-D.-

3333

【变式6-2】2.如图，在M8C中，瓯=证,AN=2NC,=,则实数尤的值为（）

-B.-C.-D.-