2027届新高考数学热点精准复习 指数函数

2027届新高考数学热点精准复习指数函数[考试要求]

1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．理法先行·题练固本知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．知识点2指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域_____________(0，＋∞)项目a>10<a<1性质过定点__________，即x＝0时，y＝1当x>0时，______；当x<0时，_________当x<0时，______；当x>0时，_________在(－∞，＋∞)上是________在(－∞，＋∞)上是________(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数

1．(人教B版必修第二册P13练习AT1)已知指数函数的图象过点(2，81)，则这个指数函数的解析式是________．y＝9x

[设指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，则81＝a2，所以a＝9，所以这个指数函数的解析式为y＝9x．]y＝9x

2．(人教A版必修第一册P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(

)A．b<c<a B．c<a<bC．a<b<c D．b<a<c√D

[b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c．故选D．]

√√

4．(人教A版必修第一册P119习题4.2T3改编)已知2x-1<23-x，则实数x的取值范围是______________．(－∞，2)

[由指数函数的性质，得x－1<3－x，解得x<2，所以实数x

的取值范围是(－∞，2)．](－∞，2)

考点深研·题型突破

√√√(2)(2025·上海市宝山区期末)如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)满足关系式：y＝at(a＞0，且a≠1)，则浮萍面积从4m2到12m2至少需要经过

________个月．(log23≈1.6)1.6

通性通法：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

√

[多维变迁](2025·无锡三模)已知函数f(x)＝ex＋e－x，若a＝f(21.1)，b＝f(－1)，c＝f(log23)，则实数a，b，c的大小关系为(

)A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜b＜a D．b＜c＜a√D

[函数f(x)＝ex＋e－x为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增．∵a＝f(21.1)，b＝f(－1)＝f(1)，c＝f(log23)，1＜log23＜2＜21.1，∴实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．故选D．]考向2

解指数方程或不等式[典例3]

(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(

)A．[2，4] B．(－∞，0)C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2](2)(2025·武汉质检)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的

(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件√√(1)D

(2)B

[(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2．(2)∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}．对于不等式2x+1<x＋2，作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x+1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}．又∵{x|－1<x<0}

{x|x<0}，∴p是q的必要不充分条件．]

通性通法：(1)比较指数式的大小的方法①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．(3)涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

√

2．(链接考点一)(2025·石家庄期末)函数y＝3ax-2＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(

)A．(2，6) B．(2，4)C．(1，6) D．(1，4)√A

[令x－2＝0，得x＝2，将x＝2代入函数可得y＝3a0＋3＝6，即函数y＝3ax-2＋3的图象恒过点(2，6)．故选A．]

√

4．(链接考向3)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)√

(－3，2)

题号135246879101112√

课时作业(十五)指数函数题号135246879101112

√2．(2025·广州期中)已知函数f(x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝mx－n的图象不经过(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题号135246879101112B

[由指数函数的性质可知，f(x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(2，2)，则函数g(x)＝mx－n＝2x－2的图象经过第一、三、四象限．故选B．]题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√4．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(

)A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0，1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)题号135246879101112D

[函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即为2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．]题号135246879101112√5．(2025·汕头月考)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b题号135246879101112D

[y＝1.01x在R上单调递增，y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6＞1，a＝1.010.5＞c＝0.60.5＜1．所以b＞a＞c．故选D．]题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√二、多项选择题

7．(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(

)题号135246879101112A

BC

D√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√9．(2025·成都月考)若3x＝2，5y＝3，则下列选项正确的有(

)A．x＞1 B．x＜yC．xy＜1 D．x＋y＞2题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135