2027届新高考数学热点精准复习函数的图象

2027届新高考数学热点精准复习函数的图象[考试要求]

1．掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．2．掌握图象的作法：描点法和图象变换法．3．会运用函数的图象，理解和研究函数的性质．理法先行·题练固本知识点1利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．知识点2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换f

(x＋h)f

(x－h)

－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a＞0，且a≠1)

f(ax)af(x)

|f

(x)|f(|x|)[常用结论]1．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，需把系数提出来，再进行变换．2．图象的上下平移仅仅是相对于y而言，利用“上加下减”进行．1．(苏教版必修第一册P133复习题T14(1)改编)已知图1中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是(

)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)√C

[因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f(x)图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C．]

上log2(x＋2)

考点深研·题型突破

[解]

(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得到所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图1所示(实线部分)．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x+1－1的图象，如图2所示．

【教用·通性通法】函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换法作图．(4)画函数的图象一定要注意定义域．考点二函数图象的识别考向1

由式识图[典例2]

(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(

)A

BC

D√

思维建模：复杂函数图象的识别(1)定奇偶：根据函数解析式判断奇偶性，排除不符合的图象；(2)特殊点：比较剩下图象的差异，代入合适的点．

√

通性通法：辨析函数图象的入手点(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．

√

考点三函数图象的应用[典例4]

(1)(多选)关于函数f(x)＝|lg|2－x||，下列描述正确的是(

)A．f(x)在区间(1，2)内单调递增B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．当m＞0时，方程f(x)－m＝0有4个不同的实数根D．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4√√√

√(1)ABC

(2)B

[(1)由题意知f(x)＝|lg|2－x||．将函数y＝lgx的图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|的图象，再将y＝lg|x|的图象位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得y＝|lg|x||的图象，再将y＝|lg|x||的图象向右平移2个单位长度，可得f(x)的图象，如图所示．

(2)由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，如图所示．要使(x－1)f(x)＞0，则当x＞1时，有f(x)＞0，得1＜x＜2；当x＜1时，有f(x)＜0，得－2＜x＜0．综上，满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(－2，0)∪(1，2)．故选B．]通性通法：(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点及拐点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的变化趋势，分析函数的单调性、周期性．(2)利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．[多维变迁]若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法正确的是(

)A．f(x)为奇函数B．f(x)在(1，＋∞)上单调递增C．f(x)min＝－4D．f(x)在(－∞，1)上单调递减√C

[由f(x＋1)＝f(1－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝x2－4x，作出f(x)的图象如图所示．由图象可知，f(x)不关于坐标原点对称，所以f(x)不是奇函数，A错误；f(x)在(1，2)内单调递减，B错误；f(x)min＝f(0)＝f(2)＝－4，C正确；f(x)在(0，1)内单调递增，D错误．故选C．]1．(链接考向1)(2025·天津期末)函数f(x)＝(ex－e－x)cosx在区间[－2，2]上的图象大致为(

)√

√

4．(链接考点一)作出下列函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|log2x－1|．

(2)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图2所示．题、单项选择题1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T6改编)某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是(

)√课时作业(十八)函数的图象A

BC

D题

[∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的增大，c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹．又后3年年产量保持不变，∴当3<t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度．故选A．]√题/p>

A

BC

D题/p>

题/p>

√题/p>

√题号135246879104．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)＞0的解集是(

)A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，0) D．∅题

[不等式f(x)＞0⇔log2(x＋1)＞|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，所以log2(x＋1)＞|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)＞0的解集是(0，1)．]√题/p>

√题/p>

题/p>

√√√题BD

[根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选ABD．]题、填空题7．(2026·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．(3，1)

[由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过点(3，1)．](3，1)

题/p>

(－∞，1]题－∞，1]

[分别作出函数y＝f(x)与y＝－x＋a的大致图象，如图所示．由图象可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(－∞，1]．]题、解答题9．利用函数y＝f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：(1)f(x－1)；(2)f(|x|)；(3)－f(x)；(4)|f(x)－1|．题解]

(1)将f(x)的图象向右平移1个单位长度，即得到f(x－1)的图象，如图1．题2)将f(x)的图象在y轴右侧的部分，以