第五章-一元一次方程

数学（北师版）七年级上第五章一元一次方程1.认识一元一次方程第1课时认识一元一次方程1.在一个方程中，只含有

个未知数，而且方程中的代数式都是整式，

未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.2.使方程左、右两边的值相等的

的值，叫做方程的解.

未知数一AC

D8x＋38＝50一元一次

x＝－12是方程的解，x＝12不是方程的解6.根据下面的条件列出方程：（1）x的3倍减5等于x的2倍加1；

（2）x的30%加2的和的一半等于x的20%减5.7.根据下面题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程.（1）从60cm长的木条上截去2段同样长的木条，还剩下10cm长的短木条，截

去的每段为多少？（2）小红对小敏说：“我是6月出生的，我的年龄的2倍加上10天，正好是我出

生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”3x－5＝2x＋1

(1)设截去的每段为xcm.由题意，得60－2x＝10，是一元一次方程(2)设小红的年龄为x岁．由题意，得2x＋10＝30，是一元一次方程

C解析：根据关于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解为x＝1，可得a－2＝1，2＋m＝4，解得a＝3，m＝2.所以a＋m＝3＋2＝5.

A10.如图，把两个质量为60g的小砝码和几个大砝码放在天平上，天平正好处

于平衡状态.根据图示，可列方程为__________________.11.某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖

品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元.如果购买甲、乙两

种奖品共花费了650元，设购买了甲种奖品x件，可列方程为______________________.12.（2018•南通）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽

马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑

得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马

几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为____________________.第10题3x＝2x＋60×240x＋30(20－x)＝650240x＝150x＋12×15013.根据下面的问题，设未知数，列出方程：（1）某次知识竞赛共有20道题，答对1题得5分，答错或不答都扣3分，小明

考了68分，那么小明答对了多少道题？（2）一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的宽.14.为了鼓励居民节约用水，某市制定了新的居民用水标准.新标准是按照每户

的人口数定的，超过标准部分则加价收费.设一个三口之家用水标准内的部

分每立方米的水费为1.3元，超过标准的部分每立方米的水费为2.9元.某三

口之家某月用水12立方米，缴纳水费22元，求该三口之家每月的标准用水

量（列出方程即可，不必求解）.(1)设小明答对了x道题．由题意，得5x－3(20－x)＝68

(2)设这个长方形的宽为x厘米，则长为(x＋2)厘米．由题意，得2[x＋(x＋2)]＝20因为1.3×12＝15.6(元)，15.6元＜22元，所以该三口之家该月的用水量超过用水标准．设该三口之家每月的标准用水量为x立方米．根据题意，得1.3x＋2.9(12－x)＝22

第2课时等式的基本性质等式的基本性质：等式两边同时加（或减）

，所得结果仍是等式.等式两边同时乘__________（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

同一个数同一个代数式AB

A减去(4x－2)8－2＋2b答案不唯一，如乘－2减去2x等式基本性质

－8x＝4x＝1x＝5x＝－4

DA

x＜y第8题①④⑤

第13题

y＝－9检验略y＝3检验略

13.a，b，c三个物体的质量情况如图所示，回答下面的问题：（1）a，b，c三个物体就单个而言，哪个最重？（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？15.有一户人家，父亲和儿子同一天过生日.若父子俩的年龄加起来是100岁，则

称为“百岁父子”.已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子的2

倍.请算一下，现在父子各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？由题意，得3a＋4x＝18，因为x＝3是它的解，所以3a＋12＝18，解得a＝2.所以原方程是6－4x＝18，解得x＝－314.已知3a－4x＝18是关于x的方程.在解这个方程时，粗心的小马虎误将－4x

看成＋4x，得到方程的解为x＝3.请你帮助小马虎求出原方程的解.设现在儿子的年龄为x岁．由题意，得2x－x＝38－10，解得x＝28，则2x＝56.所以(100－28－56)÷2＝8(年)．所以现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁，再过8年两个人的年龄加起来等于100岁2.求解一元一次方程第1课时用移项解一元一次方程把方程中的_____________后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项.1.下列方程变形中，移项正确的是（）A.方程x－3＝4移项，得x＝4－3B.方程x＋2＝3移项，得x＝3－2C.方程2－x＝5移项，得x＝5－2D.方程5＋x＝2移项，得x＝5＋22.方程4x－2＝3－x有下列解答过程：①合并同类项，得5x＝5；②移项，得4x

＋x＝3＋2；③系数化为1，得x＝1.其中，正确的顺序是（）A.①②③B.③②①C.③①②D.②①③3.已知x＝m是方程2x－1＝5的解，则代数式3m－2的值为（）A.－11B.－8C.4D.7某一项改变符号BDD4.如图是小宁解方程7－2x＝4x－5的过程.①代表的运算步骤为_____，该步骤对方

程进行变形的依据是_______________.5.已知x＝5是关于x的方程3x－2a＝1的解，则a的值是___________.第4题移项等式的基本性质7

x＝10－6

－6x＋4x＝5－7

y＝－1x＝－3x＝60

DC

－3x＝2解析：由题意，得5a－2＝13，解得a＝3.所以原方程为15－x＝13，解得x＝2.12.已知单项式－2a2m＋3b5与3a5bm－2n的和是单项式，求（m＋n）2021的值.13.定义一种新运算法则：a※b＝a2＋2ab，例如：3※(－2)＝32＋2×3×(－2)

＝－3.（1）若1※x＝3，求x的值；（2）若（－2）※x＝－2＋x，求x的值.由题意，得2m＋3＝5，m－2n＝5，解得m＝1，n＝－2.所以(m＋n)2

021＝(1－2)2021＝－1

14.马小哈在解一元一次方程“x－3＝2x＋9”时，一不小心将一滴墨水滴在

作业本上了，其中未知数x前的系数看不清了，他便问邻桌，邻桌不愿意告

诉他，并用手遮住解题过程，但邻桌的最后一步“所以原方程的解为x＝－2”

（邻桌的答案是正确的）露在手外被马小哈看到了，马小哈由此就知道了被

墨水遮住的系数.请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的系数是多少？设被墨水遮住的系数是m，则方程为mx－3＝2x＋9.将x＝－2代入方程中，得－2m－3＝－4＋9，解得m＝－4.所以被墨水遮住的系数是－4第2课时用去括号解一元一次方程去括号时要注意：一是不要漏乘括号内的任何一项；二是若括号前面是“－”，注意去括号后，

.1.把方程x－（4x－1）＝2（1－x）去括号正确的是（）A.x－4x－1＝2－2xB.x－4x＋1＝2－xC.x－4x＋1＝2－2xD.x－4x－1＝2－x2.如图，框图内表示解方程3－5x＝2（2－x）的流程，其中依据“等式的基本性

质”的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④括号里的每一项都要改变符号CD

A－9

t＝5

x＝－18x＝5x＝67.某读本的主页共计96页.张同学第一周看了4小时，第二周看了6小时，正好把

全书主页看完.若第二周平均每小时看的页数比第一周平均每小时多看1页，则

张同学第二周平均每小时看多少页？设张同学第二周平均每小时看x页．根据题意，得4(x－1)＋6x＝96，解得x＝10.所以张同学第二周平均每小时看10页8.小明在解方程3x－（x－2a）＝4去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求

得方程的解为x＝－2，那么方程正确的解为（）A.x＝2B.x＝4C.x＝6D.x＝89.对于任意两个有理数a，b，规定ab＝3a－b.若（2x＋3）（3x－1）＝4，

则x的值为（）A.1B.－1C.2D.－2CD解析：根据题意，得3(2x＋3)－(3x－1)＝4，去括号，得6x＋9－3x＋1＝4，移项、合并同类项，得3x＝－6，解得x＝－2.

x＝－24由题意，得3(x＋1)＋2(1－x)＝8，去括号，得3x＋3＋2－2x＝8，解得x＝3

15.某工程队承接了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分

别从东、西两端同时掘进.已知甲班组比乙班组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两个班组共掘进了45米.（1）甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲班组平均每天能

比原来多掘进0.2米，乙班组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度，

能够比原来少用多少天完成任务？(1)设乙班组平均每天掘进x米，则甲班组平均每天掘进(x＋0.6)米．根据题意，得5x＋5(x＋0.6)＝45，解得x＝4.2，则x＋0.6＝4.8.所以甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米(2)改进施工技术后，甲班组平均每天掘进4.8＋0.2＝5(米)，乙班组平均每天掘进4.2＋0.3＝4.5(米).剩余工程所用的时间为(1755－45)÷(5＋4.5)＝180(天)．按原来的速度，剩余工程所用的时间为(1755－45)÷(4.8＋4.2)＝190(天).190－180＝10(天).所以能够比原来少用10天完成任务第3课时用去分母解一元一次方程1.解方程时，去分母是指

____

，它的依据是

_______________.2.去分母时应注意，不要

__，分数线除了有除法的含义外，还起着

____________的作用，所以去分母时，若分子为多项式，则应把分子括起来.

方程两边同时乘分母的最小公倍数CB等式的基本性质漏乘某一项括号

A去分母

分数的基本性质等式的基本性质移项等式的基本性质等式的基本性质

y=3x=-17x=6.4

C

D4

1

14.甲组的4名工人3月完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名

工人3月完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件.（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多

少件？（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组多2件，那么此月人均

定额是多少件？（3）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组少2件，那么此月人均

定额是多少件？

阶段检测（四）

BCAD

B

BACa≠－2去括号不要漏乘括号里面的每一项

4

x＝6

232如果每人做6个，那么就比原计划多8个

去括号，得4x＋2＝3x＋6－x－6.移项、合并同类项，得2x＝－2，解得x＝－1

(1)小马虎解方程过程中第①步错误，原因是去括号法则运用错误(2)去分母，得12－2(7－5y)＝3(3y－1)．去括号，得12－14＋10y＝9y－3.移项、合并同类项，得y＝－1

解方程2(x＋1)＝3(x－1)，得x＝5.所以a＋2＝5，解得a＝3.于是有2[2(x＋3)－3(x－3)]＝3×3，即－2x＝－21，解得x＝10.522.（8分）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程

求解.例如：解方程x＋2|x|＝3，解：当x≥0时，方程可化为x＋2x＝3，解得x＝1，

符合题意；当x＜0时，方程可化为x－2x＝3解得x＝－3，符合题意.所以原方程

的解为x＝1或x＝－3.

仿照上面解法，解方程：x＋3|x－1|＝7.23.（8分）张婶去布店买了28米的红布和黑布，其中红布每米3元，黑布每米5元，

结账时售货员错把红布算作每米5元，黑布每米3元，结果收了张婶108元钱，是

布店受了损失，还是张婶多付了钱？为什么？当x＜1时，方程可化为x＋3－3x＝7，解得x＝－2，符合题意；当x≥1时，方程可化为x＋3x－3＝7，解得x＝2.5，符合题意．所以原方程的解为x＝－2或x＝2.5设张婶买了x米长的红布，则买了(28－x)米长的黑布．根据题意，得5x＋3(28－x)＝108，解得x＝12，则28－x＝16.所以张婶应该付3×12＋5×16＝116(元)．因为116＞108，所以布店受了损失，损失了116－108＝8(元)3.应用一元一次方程——水箱变高了1.等积变形问题：形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系是变化前后

_____相等.2.等长变形问题：形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系是变

化前后

相等.1.如图，在周长为10m的长方形窗户上钉一块宽为1m的长方形遮阳布（图中涂色部分），使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为（）A.4m2B.9m2

C.16m2D.25m22.已知一方形水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛水，水深4米，现把一

个棱长为3米的正方体沉入箱底，水面的高度将是（）A.5.4米B.7米C.5.08米D.6.67米体积AC周长第1题3.要锻造一个半径为5cm、高为8cm的圆柱形毛坯，应截取半径为4cm的圆柱形

钢材的长度为（）A.12.5cmB.13cmC.13.5cmD.14cm 4.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个

底面半径为1.5cm的圆柱，则圆柱的高是_____cm（精确到0.1cm，π取3.14）.5.把一个长、宽、高分别为8cm，7cm，6cm的长方体铁块和一个棱长5cm的正

方体铁块，熔炼成一个直径为20cm的圆柱体铁块，则这个圆柱体铁块的高约是

多少（精确到0.01cm）？A3.4

6.准备两张同样大小的正方形纸片.（1）取准备好的一张正方形纸片，将它的四周各剪去一个同样大小的正方形(如

图)，再折成一个无盖的长方体盒子，做成的长方体盒子的底面边长为6cm，容

积为108cm3，那么原正方形纸片的边长为多少？（2）取准备好的另一张正方形纸片，这张纸片恰好可做成圆柱形食品罐侧面的

包装纸（不计接口部分），这个食品罐的体积是多少（结果保留π）？

第6题

7.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32cm，则小长方形的面积是（）

A.8cm2B.10cm2C.12cm2D.16cm28.如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔

板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40cm，50cm.今将隔板抽出，若过

程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，可知

隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为（）A.43cmB.44cmC.45cmD.46cm第7题第8题CB

9.一位学生在绘画纸上画了一个周长为22cm的长方形，若该长方形的长减少1cm，

宽增加2cm就变成了一个正方形，则该长方形的面积为_____cm2.10.有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器，油器中浸有钢珠，若从中捞出546πg

钢珠，液面下降___________cm（1cm3钢珠为7.8g）.11.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高

度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后（玻璃棒靠水的底面

完全接触玻璃容器的底面，水未溢出），容器内的水面将升高多少？282.8解析：设液面下降xcm.依题意，得π×52x＝546π÷7.8，解得x＝2.8.

设容器内的水面将升高xcm.由题意，得π×102x＝π×22×(12＋x)，解得x＝0.5.所以容器内的水面将升高0.5cm第11题12.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14m，其他三边用竹篱笆围成.现有长为35m的竹篱笆，小陈打算用它围成一个长比宽长5m的养鸡场；小李打算用它

围成一个长比宽长2m的养鸡场.谁的设计符合实际？并说明理由.小李的设计符合实际理由：设小陈设计的养鸡场的长为xm，则宽为(x－5)m.由题意，得x＋2(x－5)＝35.解得x＝15.因为15m＞14m，所以小陈的设计不符合实际．设小李设计的养鸡场的长为ym，则宽为(y－2)m.由题意，得y＋2(y－2)＝35，解得y＝13.因为13m＜14m，所以小李的设计符合实际．

4.应用一元一次方程——打折销售1.利润＝

－

；利润＝

×利润率.2.利润率＝__________________＝

___

.1.某服装的进货价为80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（）A.5B.6C.7D.82.（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的6折出售，那么每件赔

本40元；如果按原价的9折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是()A.160元B.180元C.200元D.220元3.快放寒假了，小宇来到书店准备买一些课外读物在假期里阅读.在选完书结账

时，收银员告诉小宇，如果花20元办理一张会员卡，用会员卡结账买书，可以

享受8折优惠.小宇心算了一下，觉得这样可以节省13元，很合算，于是采纳了

收银员的意见.小宇买这些书的原价是___________元.售价BC成本成本利润÷成本×100%(售价－成本)÷成本×100%1654.李明组织同学一起去看电影，票价为每张60元，20张以上（不含20张）打8折，

他们一共花了1200元.他们一共买了________张电影票.5.（2018•牡丹江）小明按标价的8折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这

双鞋的实际售价为_________元.6.（2018•长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表

示：如果多购，可以优惠.结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得

了同样多的利润.求：（1）每套课桌椅的成本；（2）商店获得的利润.20或25160(1)设每套课桌椅的成本为x元．根据题意，得60×100－60x＝72×(100－3)－72x，解得x＝82.所以每套课桌椅的成本为82元(2)60×(100－82)＝1080(元)，所以商店获得的利润为1080元7.某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时

按全额9折优惠.一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两

次购物合并成一次性付款可节省多少元？①若第二次购物超过300元，设此时所购物品价值为x元，则90%x＝288，解得x＝320.两次所购物价值为180＋320＝500(元)，500＞300，所以享受9折优惠，因此应付500×90%＝450(元)．这两次购物合并成一次性付款可节省180＋288－450＝18(元)；②若第二次购物没有过300元，两次所购物价值为180＋288＝468(元)，468>300，所以享受9折优惠．这两次购物合并成一次性付款可以节省468×10%＝46.8(元)．综上所述，这两次购物合并成一次性付款可节省18元或46.8元8.（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一

件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是()A.盈利B.亏损C.不盈不亏D.与售价a有关9.一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，此时这件商品

的利润率为（）A.20%B.15%C.8%D.5%BC

10.某商场购进一批服装，又恰巧碰到双十一的促销活动，商场决定将这批服装按

标价的5折销售，若打折后每件服装可获纯利润60元，其利润率为10%；若双十

一过后，该商场按这批服装的标价打8折出售，那么获得的纯利润是_______元.11.书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②

一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打9折；③一次性购书超过200元，一律按原价打7折.小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第

二次购书的原价是第一次购书的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是___________元.456

248或29612.如图，试根据图中的信息，解答下面的问题：（1）购买6根跳绳需________元，购买12根跳绳需________元.（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付5元，有这种可能吗？若

有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.第12题150240(2)有这种可能设小红购买跳绳的根数为x.根据题意，得25×80%x＝25(x－2)－5，解得x＝11.所以小红购买跳绳的根数为1113.某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的9

折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%.（1）商品A的进价为每件多少元？（2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和

商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进

货多少件？(1)设这种商品A的进价为每件a元．由题意，得(1＋10%)a＝1000×90%－20，解得a＝800.所以这种商品A的进价为每件800元(2)设商品A需进货x件，则商品B需进货(100－x)件．根据题意，得800×10%x＋500(100－x)×8%＝6320，解得x＝58.所以商品A需进货58件，商品B需进货42件

甲商品乙商品进价/（元/件）2230售价/（元/件）2940

5.应用一元一次方程——“希望工程”义演在含有两个未知量的问题中，一般有两个等量关系，我们设一个未知数，根据题意中的一个

，用含有一个未知数的代数式来表示另一个未知数，另一个等量关系则用来列方程.1.（2019•杭州）已知七年级某班30名学生共种树72棵，男生每人种3棵树，女生每

人种2棵树，设男生有x人，则可列方程为（）A.2x＋3（72－x）＝30B.3x＋2（72－x）＝30C.2x＋3（30－x）＝72D.3x＋2（30－x）＝722.某农场，放养的鸡和羊一共70只，已知鸡和羊的腿数之和为196条，则鸡的只数

比羊的只数多（）A.20B.14C.15D.13DB等量关系3.小明用172元钱买了两种书为“希望工程”募捐，共10本，单价分别为18元、10

元，每种书小明各买了多少本？若设单价为18元的书买了x本，可列方程为_____

_______________；若设用y元买了单价18元的书，可列方程为________________.4.学校食堂提供两种午餐：

已知12月盈盈在学校共吃了22次午餐，每次吃一份，刚好把妈妈给的300元午餐

费全部用完，则盈盈这个月的午餐吃自助餐_____次.5.A，B两种型号的机器生产同一种产品，已知7台A型机器一天生产的产品装满8箱

后还剩2个，5台B型机器一天生产的产品只差4个就能装满6箱.每台A型机器比每

台B型机器一天少生产2个产品，每箱装多少个产品？18x＋10(10－x)＝172

用餐种类自助餐盒饭价格/（元/份）1510

6.（2018•永州）在某市青少年某教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到某教

育基地参观，如图是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观某教

育基地的男生和女生的人数.第6题设小明班上参观某教育基地的男生有x人，则女生有(55－x)人．依题意，得x＝1.5(55－x)＋5，解得x＝35，则55－x＝20.所以小明班上参观某教育基地的男生有35人，女生有20人7.（2018•济南）本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，

共支付票款2000元，票价信息如下：（1）参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？地点票价历史博物馆10元/人民俗展览馆20元/人(1)设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆的有(150－x)人．依题意，得10x＋20(150－x)＝2000，解得x＝100，则150－x＝50.所以参观历史博物馆的有100人，参观民俗展览馆的有50人(2)2000－150×10＝500(元)．所以若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元8.把一根长为100cm的木棍锯成两段，使其中一段的长度比另一段的2倍少5cm，

则锯成的木棍的长度不可能为（）A.70cmB.65cmC.35cmD.35cm或65cm9.在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有20人，现在另调40人去支援他们，使在

甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，则应调往甲处_______人.10.一个三位数，其各个位上的数字之和为15，百位上的数字比十位上的数字小1，

个位上的数字是十位上的数字的2倍，则这个三位数是________.A解析：设一段为xcm，则另一段为(2x－5)cm.由题意，得x＋2x－5＝100，解得x＝35，则2x－5＝65.3134811.在手工制作课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七（2）

班共有学生44名，每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.要求1个筒身配2

个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配______名学生剪

筒身，____名学生剪筒底.2420解析：设分配a人剪筒身，则分配(44－a)人剪筒底．由题意，得50a×2＝120(44－a)，解得a＝24，则44－a＝20.所以应该分配24名学生剪筒身，20名学生剪筒底．

12.甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合

同规定15天完成，若完不成视为违约，甲、乙两人经过商量后签订了该合同.（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？（2）现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，两人是否违约？13.为庆祝“六一”儿童节，某市中、小学统一组织文艺演出，甲、乙两校共92人

（其中甲校的人数多于乙校，且甲校的人数不足90）准备统一购买服装参加演出.

下面是某服装厂给出的演出服的价格表：如果两校分别单独购买服装，那么一共需付5000元.（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装可以节省多少元？（2）甲、乙两校分别有多少名学生准备参加演出？（3）如果甲校有10名学生被抽调去参加书法、绘画比赛，不能参加演出，那么

请你为两校设计一种最省钱的购买服装的方案.购买服装的套数1～4546～9091及以上每套服装的价格60元50元40元(1)5000－92×40＝1320(元)，所以可以节省1320元(2)设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有(92－x)名学生准备参加演出．由题意，得50x＋60(92－x)＝5000，解得x＝52，则92－x＝40.所以甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出(3)因为甲校有10人不能参加演出，所以甲校有52－10＝42(人)参加演出．①两校联合购买：50×(42＋40)＝4100(元)；②各自购买：(42＋40)×60＝4920(元)；③两校联合购买91套：40×91＝3640(元)．因为3640＜4100＜4920，所以最省钱的购买服装的方案是购买91套服装6.应用一元一次方程——追赶小明1.相遇问题和追及问题中的等量关系：

相遇问题：

＋

＝原始路程；

追及问题：

－

＝原始路程.2.顺流、逆流问题中的等量关系：

顺流速度＝船在静水中的速度＋

；逆流速度＝船在静水中的速度－

.

快行路程慢行路程快行路程慢行路程水流速度水流速度A2.小明星期天早晨在9点前去离家2千米的图书馆看书.小明以60米/分的速度从家

出发去图书馆，8分钟后，小明的爸爸发现了小明的借书证落在家里.于是，立

即以140米/分的速度去追赶，则小明的爸爸追上小明所用的时间为（）A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟3.小华从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min，每小时骑12km

就会迟到5min，则他家到学校的路程是（）A.35kmB.20kmC.18kmD.15km4.一艘轮船由甲码头到乙码头，顺流而行，用了2h，由乙码头返回甲码头逆流

而行，用了2.5h.已知船在静水中的速度为27km/h，则水流的速度为_______.5.甲、乙两站相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为80千米/时，从乙站开

出一列快车，速度为120千米/时.如果两车同时开出，同向而行（慢车在后），

那么经过______小时两车相距300千米.CD3km/h

6.A，B两地相距240千米，一辆公交车从A地出发，以每小时48千米的速度驶向B

地；一辆小轿车从B地出发，以每小时72千米的速度沿同条道路驶向A地.若小

轿车从B地出发1小时后，公交车从A地出发，两车相向而行，公交车出发后几

小时两车相遇？设公交车出发后x小时两车相遇．根据题意，得48x＋72(x＋1)＝240，解得x＝1.4.所以公交车出发后1.4小时两车相遇7.甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m.

两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能

跑完第一圈.（1）甲、乙两人的速度分别是多少？（2）两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方

向继续跑.若想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高多少？(1)设乙的速度是xm/min，则甲的速度是(x＋200)m/min.由题意，得3x＋150＝200×3，解得x＝150，则x＋200＝350.所以甲的速度是350m/min，乙的速度是150m/min

(2)(200×3－300×1.2)÷1.2＝200(m/min)，200－150＝50(m/min)．所以乙的速度至少要提高50m/min8.已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通

过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别

是（）A.20米/秒，200米B.18米/秒，180米C.16米/秒，160米D.15米/秒，150米9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日

健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，

路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前

一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A.24里B.12里C.6里D.3里C

C10.A，B两地相距450km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行.已知

甲车的速度为120km/h，乙车的速度为80km/h，则经过________h，两车相距50km.11.如图，O为模拟钟面圆心，M，O，N在一条直线上，指针OA，OB分别从OM，ON同

时出发，绕点O按顺时针方向转动，OA的运动速度为每秒12°，OB的运动速度

为每秒4°，当一根指针与起始位置重合时，转动停止，设转动的时间为t秒，

当t＝________时，∠AOB＝60°.2或2.5第11题15或30解析：根据题意，知OA旋转的角度为12t°，OB旋转的角度为4t°，①OA与OB重合前，12t＋60＝180＋4t，解得t＝15；②OA与OB重合后，4t＋60＋180＝12t，解得t＝30.综上，当t＝15或30时，∠AOB＝60°.12.一天早晨，乐乐以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的爸爸发现他忘了带数学

书，爸爸立即骑自行车以280米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他，请

解决以下问题：（1）爸爸追上乐乐用了多长时间？（2）爸爸追上乐乐后，乐乐搭爸爸的自行车回到学校，结果提前了10分钟到校，

若爸爸搭上乐乐后的骑行速度为240米/分，求乐乐家离学校的距离.

13.一位旅行者由A地步行到B地，然后返回原地，共花了3小时43分钟.已知由A地

到B地的道路，前一段是上坡，中间是平地，然后是下坡.如果旅行者上坡的速

度是4千米/时，平地的速度是5千米/时，下坡的速度是6千米/时，而A，B之

间的路程是9千米，那么平地的路程有多少千米？

14.某市实验中学学生步行到郊外旅行.七（1）班学生组成前队，速度为4千米/时，

七（2）班学生组成后队，速度为6千米/时.前队出发1小时后，后队才出发，同

时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速

度为12千米/时.（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距2千米？(1)设后队追上前队需要x小时．由题意，得(6－4)x＝4×1，解得x＝2.所以后队追上前队需要2小时(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路程，即12×2＝24(千米)．所以后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米

专题训练（八）巧用一元一次方程的相关概念求字母系数的值类型一利用一元一次方程的定义求相关字母的值1.已知方程（3m－4）x2－（5－3m）x－4m＝－2m是关于x的一元一次方程.（1）求m的值和方程的解；（2）若n满足关系式|2n＋m|＝1，求n的值.

C

根据题意，得小丽移项后所得方程为2x＋ax＝－21.将x＝－3代入这个方程，可得－6－3a＝－21，解得a＝5.所以原方程为2x＝5x－21，解得x＝7.综上所述，a＝5，原方程的解为x＝7

10.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟

方程”.如方程2x＝4和方程3x＋6＝0为“兄弟方程”.（1）若关于x的方程5x＋m＝0与方程2x－4＝x＋1是“兄弟方程”，求m的值；（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的方程2x＋3m－2＝0和3x－5m＋4＝0是“兄弟方程”，求这两个方

程的解.

专题训练（九）一元一次方程的应用类型聚焦类型一形积问题1.如图，小明将一张正方形纸片剪出一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个

长条的面积为（）

A.16cm2B.20cm2C.80cm2D.160cm22.一个瓶子的容积为500毫升，瓶内装着一些溶液，如图①，当瓶子正放时，瓶内

溶液的高度为20厘米，如图②，当瓶子倒放时，空余部分的高度为5厘米.瓶内溶

液的体积为多少毫升？第1题C解析：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪下的长条的长是(x－4)cm，宽是5cm，则4x＝5(x－4)，解得x＝20.所以一个长条的面积为20×4＝80(cm2).第2题设瓶子的底面积为x平方厘米．根据题意，得x(5＋20)＝500，解得x＝20.所以瓶内溶液的体积为20×20＝400(毫升)类型二销售问题3.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为80元，打7折售出后，仍可

获利5%，则标签上的价格为（）A.110元B.120元C.130元D.140元4.已知某商店甲商品的进价为40元/件，利润率为50%；乙商品的进价为50元/件，

利润率为60%.（1）若该商店同时采购甲、乙商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的

件数；（2）元旦期间，针对甲、乙商品进行如下优惠活动：小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品

的件数.B一次性购物总金额优惠措施少于等于500元无超过500元，但不超过800元其中500元部分不打折，超过500元部分9折超过800元其中800元部分8.8折，超过800元部分8折(1)设该商店采购甲商品x件，则采购乙商品(50－x)件．根据题意，得40x＋50(50－x)＝2300，解得x＝20.所以采购甲商品20件(2)设小明购买乙商品y件，易知小明消费超过500元，分两种情况讨论：①当一次性购物总金额超过500元，但不超过800元时，500＋0.9(40×1.5×5＋50×1.6y－500)＝752，解得y＝6；②当一次性购物总金额超过800元时，800×0.88＋0.8(40×1.5×5＋50×1.6y－800)＝752，解得y＝7.综上所述，小明购买乙商品6件或7件类型三行程问题5.甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑摩托车，乙骑自行车，甲的速度

是乙的速度的3倍，甲到达B地后停留了30分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见

了乙，此时距他们出发的时间刚好是1小时，则甲的速度是（）A.20千米/时B.60千米/时C.25千米/时D.75千米/时6.元旦期间，晓云驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回

时平均速度提高了27.5千米/时，在港珠澳大桥上的用时比去时少用了10分钟，

求港珠澳大桥的长度.B

类型四古代数学问题7.（2019•株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问

题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者

追之，问几何步及之？其大意为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，

现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走________步才

能追到速度慢的人.8.（2018•张家界）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买羊，

人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？其大意为：若干

人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各

是多少.250设买羊的有x人．根据题意，得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.则5×21＋45＝150(元).所以买羊的有21人，羊价为150元类型五图表信息问题9.某电信公司提供的移动通讯服务的收费标准有两种套餐如下表：李民选用了A套餐.（1）5月李民的通话时间为120分钟，则李民应付话费多少元？（2）李民6月的通话时间超过了150分钟，若他选用B套餐可以省4元钱，则李民6

月的通话时间是多少分钟？（3）10月李民改用了B套餐，李民发现如果与9月付相同的话费，10月他可以多通

话15分钟，李民9月付了多少话费？

A套餐B套餐每月基本服务费/元2030每月免费通话时间/分钟100150每月超过免费通话时间加收通话费/（元/分）0.40.5(1)20＋(120－100)×0.4＝28(元)，所以5月李民应付话费28元(2)设李民6月的通话时间为x(x＞150)分钟．根据题意，得20＋0.4(x－100)＝30＋0.5(x－150)＋4，解得x＝210.所以李民6月的通话时间为210分钟(3)设李民9月的通话时间为y分钟．①当100＜y≤135时，20＋0.4(y－100)＝30，解得y＝125.因为150－125＝25＞15，所以y＝125不符合题意．②当y＞135时，20＋0.4(y－100)＝30＋0.5(y＋15－150)，解得y＝175.所以20＋0.4(y－100)＝20＋0.4×(175－100)＝50.所以李民9月付了50元话费类型六方案决策问题10.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的

电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，

丙种电视机每台2500元.若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，

恰好用去9万元.（1）请你设计进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200

元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案

中，为使销售获利最多，则该选择哪种进货方案？(1)①设购进甲种电视机x台，则乙种电视机(50－x)台．由题意，得1500x＋2100(50－x)＝90000，解得x＝25，则50－x＝25；②设购进乙种电视机y台，则丙种电视机(50－y)台．由题意，得2100y＋2500(50－y)＝90000，解得y＝87.5(不合题意，舍去)；③设购进甲种电视机z台，则丙种电视机(50－z)台.由题意