湖南省邵阳市2025-2026学年高二数学下学期开学考试试题【含答案】

时量：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积公式计算可得答案.【详解】由于

，则

，所以，解得

.故选：A2.抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由抛物线的几何性质求解．【详解】由抛物线，得，则，得，得抛物线的焦点到其准线的距离为，故选：C3.如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱的棱长均为，可得，所以，可得，则，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：C.4.函数的单调递增区间是（）A. B. C.和 D.【答案】B【解析】【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可.【详解】因为函数的导函数为，令，即得，所以函数的单调递增区间是.故选：B.5.求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可.【详解】由题知抛物线的焦点坐标为，所以到直线的距离为,所以，所求圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程为.故选：A6.设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可.【详解】若成立，则，符合等差数列的定义，所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立.若数列是等差数列,设其公差为，则,..所以,所以.即必要性成立.所以甲是乙的充分必要条件.故选：A.7.把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（

）A.10种 B.种 C.种 D.45种【答案】B【解析】分析】采用隔板法求解.【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.故选：B.8.若存在，对任意，都有，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值.【详解】任意的，都有，则有在上恒成立，令，函数定义域为，，令，解得，时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，，因此存在，使，令，，令，解得，时，在上单调递增；时，在上单调递减，有，所以时，的最大值为.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列导数计算正确的有（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据求导公式逐项求导即可求解.【详解】对于A选项，由，故A选项正确；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项正确；对于D选项，由，故D选项正确.故选：ACD.10.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.数列的公差小于0 B.中最大C.数列的公差与数列的公差相等 D.使得的正整数n的最小值为24【答案】AB【解析】【分析】由题意可得，进而可判断A；进而可得中最大，可判断B；计算可得，进而计算可判断C；利用等差数列的前项和公式可求得，，可判断D.【详解】对于A选项，由，可得，可得数列的公差d小于0，故A选项正确；对于B选项，由,可得中最大，故B选项正确；对于C选项，由，可得数列的公差为，故C选项错误；对于D选项，由，，可得使得<0的n的最小值为23，故D选项错误.故选：AB.11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.B.的零点个数为3C.的极值点个数为3D.若方程有三个实数根，则的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，A，，A错误；B，，零点个数为3，B正确；C，当时，求导得，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，由奇函数的性质得在时，取得极大值，因此的极值点个数为2，C错误；D，在坐标平面内作出函数的图象，如图：观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点，因此的取值范围是，D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________.【答案】##【解析】【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，结合椭圆的离心率公式进行求解即可.【详解】设，所以有，因为弦的中点坐标为，所以，直线AB斜率为，，即故答案为：13.某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可.【详解】依题意，完成这件事共分两步完成，第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法，由分步乘法计数原理得一共种排法．故答案为：.14.已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案.【详解】当时，，设切点为，则切线斜率为，那么切线方程为，将代入方程中解得，故切线方程为；由于为偶函数，其图像关于轴对称，故当时，切线方程为.综上可知，切线方程为和.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，求的最值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值.【小问1详解】依题意，，，则切线斜率为，又，即切点坐标为，故所求切线方程为：，即.【小问2详解】由.当时，，则在上单调递增，故当时，取到最小值为，当时，取到最大值为，故在区间上的最大值为，最小值为.16.记为数列的前项和，为数列的前项积．已知.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，然后当时，由题意可得，代入中化简可得，从而可得是以为首项，以为公差的等差数列，（2）由题意可得，由（1）可得，从而可求出，再由可求出，检验是否满足，从而可求出数列的通项公式【详解】解：（1）当时，，易得当时，代入消去得，化简得所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列。（2）易得，由（1）可得，当时，可得，显然不满足该式,所以17.如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.（1）求证：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，，，四边形OCFG是平行四边形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系∵BE与平面ABCD所成的角为，，，，，，.，设平面BEF的法向量为，，，设平面的法向量设二面角的大小为..【点睛】本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.18.已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点．（ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值；（ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程.（2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论.（ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值.【小问1详解】根据椭圆的定义可知，根据题意可得，解得，，，所以椭圆的方程为．【小问2详解】（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以，根据题意直线AB与OM的斜率都存在，所以直线AB与OM的斜率乘积为，因为A，B在椭圆上，所以，，两式相减可得，化简得，可得，因此直线AB与OM的斜率乘积为．（ⅱ）设，，，由（1）可知，，因为点P在椭圆上，所以，由题意PA：，PB：，将直线PA与椭圆E联立，可得，整理可得：，所以，即，，即，同理，将直线PB与椭圆E联立，可得，整理可得：，所以，即，，即，所以OP的斜率为，的斜率为，故，因为点P在第一象限内，故，，的最大值为，当且仅当在处取到等号．19.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数有两个零点，记作，.（ⅰ）求参数的取值范围；（ⅱ）若，证明：.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解；（2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，