新版人教版八年级上册第十一章三角形导学案

第十一章三角形本章导言同学们，我们的生活中充满了各种各样的几何图形，其中，三角形是最为基本也最为常见的图形之一。从稳固的屋顶结构到精密的机械零件，从宏伟的桥梁设计到微小的分子模型，三角形都扮演着不可或缺的角色。这一章，我们将一同走进三角形的世界，探索它的基本性质、构成要素以及在实际问题中的应用。通过本章的学习，我们不仅要掌握相关的数学知识，更要培养观察、分析和推理的能力，为后续更复杂的几何学习打下坚实的基础。准备好了吗？让我们开始这段充满发现与挑战的旅程吧。11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边学习要点：理解三角形的概念，掌握三角形三边之间的关系，并能运用该关系解决简单问题。我们在小学阶段已经对三角形有了初步的认识。那么，从数学的角度，我们如何给三角形下一个准确的定义呢？三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。这个定义中有几个关键词需要我们仔细体会：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”。你能想象一下，如果“在同一条直线上”会是什么情况吗？组成三角形的三条线段叫做三角形的边。相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。为了方便表示，我们通常用大写字母表示三角形的顶点，比如顶点A、B、C，那么这个三角形就可以记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用小写字母表示，一般地，顶点A所对的边记作a，顶点B所对的边记作b，顶点C所对的边记作c。思考与探究：1.观察你身边的物体，找出几个三角形的实例，并尝试指出它们的边和顶点。2.任意画一个三角形，测量它三条边的长度，然后比较任意两边之和与第三边的大小关系，你有什么发现？通过大量的实践和观察，我们可以得到一个重要的结论：三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。推论：三角形任意两边之差小于第三边。这个关系非常重要，它不仅揭示了三角形边的基本特性，也是我们判断三条线段能否组成三角形的依据。例如：有三条线段，长度分别为3、4、5，它们能组成三角形吗？因为3+4>5，3+5>4，4+5>3，满足任意两边之和大于第三边，所以能组成三角形。再如：长度分别为1、2、4的三条线段，能组成三角形吗？因为1+2=3<4，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。尝试练习：判断下列各组线段能否组成三角形，并说明理由。(1)4，5，6(2)3，4，8(3)5，5，10小结：本节我们学习了三角形的定义、表示方法以及三边之间的重要关系。理解并灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边”是解决相关问题的关键。11.1.2三角形的高、中线与角平分线学习要点：理解三角形的高、中线、角平分线的概念，能画出任意三角形的高、中线、角平分线，并了解它们的一些性质。三角形除了边和角这两个基本元素外，还有一些重要的线段，它们分别是三角形的高、中线和角平分线。1.三角形的高我们已经学过垂线的概念。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如：在△ABC中，从顶点A向它的对边BC所在直线作垂线，垂足为D，那么线段AD就是△ABC的一条高。动手操作：(1)画一个锐角三角形，分别画出它的三条高。观察这三条高的位置关系，它们相交吗？交点在三角形的内部还是外部？(2)画一个直角三角形，再画出它的三条高。观察直角三角形的高有什么特殊之处？(3)画一个钝角三角形，画出它的三条高（提示：钝角两边上的高在三角形外部）。观察它们的交点位置。通过画图，我们发现：任意三角形都有三条高，并且这三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心是直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。2.三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。例如：在△ABC中，点D是BC边的中点（即BD=DC），那么线段AD就是△ABC的一条中线。动手操作：画一个任意三角形，画出它的三条中线。观察这三条中线的位置关系，它们相交吗？交点在三角形的什么位置？我们发现：三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形内部，并且它到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的两倍。（这一点我们以后会进一步学习和证明）思考：三角形的一条中线把三角形分成了两个部分，这两个部分的面积有什么关系？为什么？3.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。注意：三角形的角平分线是一条线段，而我们之前学的角的平分线是一条射线。例如：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，那么线段AD就是△ABC的一条角平分线。动手操作：画一个任意三角形，画出它的三条角平分线。观察这三条角平分线的位置关系，它们相交吗？交点在三角形的什么位置？我们发现：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。三角形的内心在三角形内部，它到三角形三边的距离相等。（这一点我们以后也会学习）小结：三角形的高、中线和角平分线都是线段，它们分别从不同角度揭示了三角形的性质。掌握它们的画法和基本性质，对于我们深入理解三角形至关重要。11.1.3三角形的稳定性学习要点：了解三角形的稳定性及其在实际生活中的应用。我们在生活中会发现这样的现象：用三根木条钉成一个三角形框架，它的形状是固定不变的；而用四根木条钉成一个四边形框架，它却可以轻易地改变形状。这说明三角形具有一种特殊的性质——稳定性。三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。这种稳定性在我们的生活中有着广泛的应用。例如，自行车的车架、照相机的三脚架、屋顶的桁架、起重机的吊臂等，都利用了三角形的稳定性来保证结构的稳固。思考与讨论：1.你还能举出哪些利用三角形稳定性的生活实例？2.四边形为什么不具有稳定性？如何才能让一个四边形框架也具有稳定性？（提示：可以尝试添加一些木条）小结：三角形的稳定性是三角形的一个重要特性，它在建筑、机械等领域有着重要的应用价值。理解这一特性，有助于我们更好地认识和利用身边的几何图形。11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角学习要点：掌握三角形内角和定理，并能运用该定理解决与三角形内角有关的计算和证明问题。我们知道，三角形有三个内角。那么，这三个内角的度数之和是多少呢？动手实验：1.任意画一个三角形，用量角器分别量出它三个内角的度数，并计算它们的和。2.把这个三角形的三个内角剪下来，拼一拼，看看它们能组成一个什么角？通过实验，我们可以发现一个基本事实：三角形三个内角的和等于180°。这就是著名的三角形内角和定理。虽然我们通过实验验证了这个定理，但数学是一门严谨的学科，我们还需要从理论上对它进行证明。定理证明思路：要证明三角形的内角和是180°，我们可以通过作辅助线，将三角形的三个内角“转移”到一个平角上，因为平角的度数是180°。已知：△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明（一种常见方法）：过点A作直线EF平行于BC。∵EF∥BC，∴∠B=∠EAB（两直线平行，内错角相等），∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。∵点E、A、F在同一条直线上，∴∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义）。∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）。即∠A+∠B+∠C=180°。思考：你还能想到其他的证明方法吗？（例如，过一个顶点作对边的垂线，或者在三角形内部取一点等）三角形内角和定理的应用：1.已知两个角的度数，求第三个角的度数。例如：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求∠C的度数。解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°。2.已知一个角的度数以及另外两个角的数量关系，求这两个角的度数。例如：在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大30°，求∠B和∠C的度数。解：设∠C=x，则∠B=x+30°。∵∠A+∠B+∠C=180°，∴50°+(x+30°)+x=180°，解得x=50°。∴∠C=50°，∠B=50°+30°=80°。尝试练习：1.在一个直角三角形中，一个锐角是40°，求另一个锐角的度数。2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，求这个三角形三个内角的度数，并判断它是什么类型的三角形。小结：三角形内角和定理是三角形中最基本、最重要的定理之一，它是我们解决三角形内角计算问题的基础。我们不仅要记住这个结论，更要理解它的证明思路。11.2.2三角形的外角学习要点：理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质，并能运用这些性质解决问题。三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。例如：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，它是由边BC的延长线与边AC组成的角。每个三角形都有六个外角（每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，大小相等）。思考与探究：观察△ABC的一个外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A和∠B）以及相邻的内角（∠ACB）之间有什么数量关系？通过观察和度量，我们可以发现：1.∠ACD+∠ACB=180°（邻补角的定义）。2.∠ACD=∠A+∠B。三角形外角的性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。性质1的证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义），∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。由性质1很容易推出性质2：因为∠A和∠B都是正数，所以∠ACD=∠A+∠B>∠A，且∠ACD=∠A+∠B>∠B。三角形外角性质的应用：例如：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，求∠ACD的度数。解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B=70°+60°=130°。例如：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少度？解：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=2×180°=360°。由此可知，三角形的外角和等于360°。尝试练习：1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则与∠C相邻的外角的度数是多少？2.如图，∠A=30°，∠B=40°，∠C=20°，求∠ADC的度数。（提示：可以考虑△ABD或△BCD的外角）小结：三角形的外角不仅与相邻的内角互补，还等于不相邻的两个内角之和。这个性质为我们提供了另一种角度来解决与三角形角有关的问题，有时会比直接应用内角和定理更简便。11.3多边形及其内角和11.3.1多边形学习要点：理解多边形、正多边形的概念，了解多边形的内角、外角、对角线等概念。我们已经学习了三角形，由三角形我们可以推广到更一般的图形——多边形。多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。例如，三角形是三边形，四边形是四边形，五边形是五边形等等。多边形的分类：多边形按照组成它的线段的条数可以分为三角形、四边形、五边形……多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。我们通常所说的多边形，如果没有特别说明，指的都是凸多边形。凸多边形的特点是：整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧。多边形的相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如，正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形等。思考与探究：1.画出一个四边形，从它的一个顶点出发，可以引几条对角线？这些对角线把四边形分成了几个三角形？2.画出一个五边形，从它的一个顶点出发，可以引几条对角线？这些对角线把五边形分成了几个三角形？3.你能发现从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？这些对角线把n边形分