2026初中数学一元二次方程应用-商品销售问题专题训练2

2026初中数学一元二次方程应用——商品销售问题专题训练2在初中数学的学习中，一元二次方程的应用是联系实际生活的重要纽带，而商品销售问题更是其中的典型代表。这类问题不仅考察我们对数学知识的掌握程度，更能培养我们分析问题和解决实际问题的能力。本专题将通过一系列有针对性的例题与练习，帮助同学们进一步巩固利用一元二次方程解决商品销售中的利润、定价、销量等相关问题的技巧与方法，提升解题的灵活性与准确性。一、核心思路回顾与方法提炼解决商品销售问题，关键在于理清题目中涉及的基本数量关系。在大多数商品销售问题中，我们会遇到以下几个核心量：*进价（成本价）：商家购进商品时的价格。*售价：商家卖出商品时的价格。*销售量：卖出商品的数量。*单件利润：售价减去进价。*总利润：单件利润乘以销售量。*利润率：（利润÷成本）×100%（有时题目也会直接给出利润率相关的条件）。在变化问题中，常常涉及“每降价（或提价）a元，销售量就增加（或减少）b件”这样的条件。处理这类问题时，我们通常设每件商品降价（或提价）x元，然后根据题目给出的比例关系，表示出销售量的变化量，进而表示出调整价格后的售价、单件利润和销售量，最后根据题目要求（如总利润为多少，或总利润最大等）列出方程。对于求“最大利润”的问题，在列出二次函数表达式后，可利用二次函数的顶点坐标公式求出最大值；对于已知总利润求定价或调整幅度的问题，则直接列出一元二次方程求解，并注意解的合理性（如价格不能为负，销量不能为负等）。二、典型例题精析例题1：基础利润与销量调整问题题目：某商店经营一种小商品，进价为每件20元。据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？分析：（1）问是基础计算，直接求出单件利润和对应的销售量，相乘即可。（2）问是求最大利润，需要设未知数，表达出单件利润和销售量，从而构建总利润的二次函数关系式，再求最值。解答：（1）当售价定为30元时，单件利润为：30-20=10（元）。售价从25元上涨到30元，上涨了5元，故销量减少：5×5=25（件）。此时的销售量为：105-25=80（件）。一个月的获利为：10×80=800（元）。（2）设售价定为每件x元（x≥25），一个月的获利为y元。则单件利润为：(x-20)元。售价相较于25元上涨了(x-25)元，故少卖的件数为：5(x-25)件。销售量为：105-5(x-25)=105-5x+125=(230-5x)件。总利润y=(x-20)(230-5x)。展开并整理得：y=-5x²+330x-4600。这是一个二次函数，a=-5<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为x=-b/(2a)=-330/(2×(-5))=33。当x=33时，y有最大值。将x=33代入y的表达式：y=(33-20)(230-5×33)=13×(230-165)=13×65=845（元）。点评：本题第一问主要考察对题意的理解和基本数量关系的运用。第二问则是典型的二次函数最值问题，关键在于正确表示出销售量随价格变化的关系，以及总利润的表达式。在求最值时，利用二次函数顶点公式是最直接的方法，也可通过配方求解。注意自变量x的取值范围，虽然本题中x=33在合理范围内，但实际解题中需确保销售量不能为负。例题2：已知利润求定价问题题目：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（2）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（3）若该批发商希望平均每天获利1008元，那么每箱苹果的销售价应定为多少元？分析：（1）销售量y与销售价x的关系，根据“价格每提高1元，平均每天少销售3箱”来构建。这里的基准价格是50元，对应销量90箱。（2）同例题1的第二问，构建利润函数求最值，注意售价不得高于55元的限制。（3）已知利润值，求销售价，即解一元二次方程，并根据售价限制取舍解。解答：（1）由题意可知，当销售价为x元/箱时，价格相较于50元提高了(x-50)元。则每天少销售的箱数为：3(x-50)箱。所以，销售量y=90-3(x-50)，化简得：y=90-3x+150=-3x+240。即y与x的函数关系式为y=-3x+240。（2）设每天的利润为w元。单件利润为(x-40)元，销售量为y=-3x+240箱。则w=(x-40)(-3x+240)。展开并整理得：w=-3x²+240x+120x-9600=-3x²+360x-9600。配方，求其最大值：w=-3(x²-120x)-9600=-3(x²-120x+3600-3600)-9600=-3(x-60)²+____-9600=-3(x-60)²+1200。因为a=-3<0，抛物线开口向下，对称轴为x=60。但题目规定售价不得高于55元，而55<60，故在x≤60的范围内，w随x的增大而增大。因此，当x=55时，w取得最大值。w最大值=-3(55-60)²+1200=-3×25+1200=-75+1200=1125（元）。所以，当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润是1125元。（3）由题意，令w=1008元，则有-3x²+360x-9600=1008。移项得：-3x²+360x-____=0。两边同时除以-3得：x²-120x+3536=0。我们使用求根公式解此方程，a=1，b=-120，c=3536。判别式Δ=b²-4ac=(-120)²-4×1×3536=____-____=256。√Δ=16。x=[120±16]/2。解得x₁=(120+16)/2=136/2=68，x₂=(120-16)/2=104/2=52。因为售价不得高于55元，所以x=68不合题意，舍去。故每箱苹果的销售价应定为52元。点评：本题综合考察了函数关系式的建立、二次函数的最值以及一元二次方程的求解。特别需要注意的是，在求最值时，若对称轴不在自变量的取值范围内，则需要根据函数的增减性在边界处取得最值。第三问中，解出方程的根后，一定要结合实际意义进行检验和取舍。例题3：多变量与成本变化问题题目：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月____元的销售利润，且尽可能让利于顾客，赢得市场，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？分析：本题的核心是“实现平均每月____元的销售利润”，同时“尽可能让利于顾客”意味着在满足利润的前提下，售价应尽可能低。这里，进价30元，原售价40元，原销量600个。售价上涨导致销量下降。我们需要设出上涨的价格，或者直接设最终售价，然后表示出单件利润和销量，根据总利润列出方程求解。解答：设这种台灯的售价应定为x元（x>40，因为是上涨）。则单件利润为(x-30)元。售价从40元上涨到x元，上涨了(x-40)元，故销售量减少10(x-40)个。此时的销售量为：600-10(x-40)=600-10x+400=(1000-10x)个。根据总利润=单件利润×销售量，可列出方程：(x-30)(1000-10x)=____。展开得：1000x-10x²-____+300x=____。整理得：-10x²+1300x-____-____=0。即：-10x²+1300x-____=0。两边同时除以-10得：x²-130x+4000=0。因式分解：(x-50)(x-80)=0。解得x₁=50，x₂=80。因为要尽可能让利于顾客，所以应选择较低的售价，即x=50元。此时的销售量为：1000-10×50=1000-500=500（个）。所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个。点评：本题的关键在于理解“尽可能让利于顾客”这一条件对解的选择产生的影响。在列方程和解方程的过程中，步骤要清晰。设售价为x元比设上涨x元有时更直接，但无论哪种设法，核心都是准确表达出销售量和单件利润。三、专题训练题1.填空题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，设每件商品降价x元时，每星期的利润为y元，则y与x的函数关系式为_________（化成一般形式）。2.选择题：某品牌服装原价为173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A.173(1+x%)²=127B.173(1-2x%)=127C.173(1-x%)²=127D.127(1+x%)²=1733.解答题：某商店购进一批衬衫，甲顾客以7折的优惠价买了20件，乙顾客以8折的优惠价买了5件，结果商店都获利200元。求这批衬衫的进价和标价。4.解答题：某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%。在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元。（1）求这种玩具的进价。（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）。5.解答题：某商店准备购进A、B两种商品。A商品每件进价是20元，售价是28元；B商品每件进价是35元，售价是45元。若该商店准备用不超过900元购进这两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总获利不低于216元。（1）该商店有哪几种进货方案？（2）请你设计一个获利最大的进货方案，并求出最大利润。（注：此题为二元一次方程组与不等式结合，但后续利润计算可转化为函数，此处作为拓展）6.综合题：某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克。已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示（此处假设为一次函数关系，且当x=10时，y=100；当x=18时，y=20）。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式。（3）当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？四、总结与提升解决商品销售中的一元二次方程应用问题，首先要仔细审题，明确题目中的已知条件和所求问题。其次，要准确找出等量关系，特别是售价、销量、成本、利润之间的关系。在设未知数时，可以直接设所求的量，也可以设中间变量，关键是便于表达其他相关量。列出方程（或函数关