1.4.2用空间向量研究夹角问题第2课时+课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2

第2课时用空间向量研究夹角问题第一章空间向量与立体几何学习目标1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成的角.2.理解直线与平面所成的角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角.3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点1利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,|cos<u,v>|

C

2.(北师大版教材习题)如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B与直线CE所成角的余弦值.知识点2利用向量方法求直线与平面所成的角直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是

|cos<u,n>|AI·思考辨析直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系?提示

设n为平面α的一个法向量,a为直线a的方向向量,直线a与平面α所成的角为θ,则体验新知1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(

)A.30°

B.60°

C.120° D.150°A

2.(北师大版例题改编)如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,底面边长为2,AA'=,则直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值是

.

解析

由正三棱柱知AA'⊥平面ABC,故以A为原点,AC,AA'所在直线分别为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量.由△ABC是边长为2的正三角形,知识点3利用向量方法求两个平面的夹角

AI·思考辨析两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别?提示

平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.区别:二面角的平面角范围是[0,π],而两个平面的夹角的范围是

.体验新知1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面夹角的大小为(

)A.45°

B.135°C.45°或135° D.90°A2.(北师大版教材例题)在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',求二面角A'-DC-A的平面角.解

如图,由AA'⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.因为A'(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),重难探究·能力素养速提升能力提升点一利用向量方法求两异面直线所成的角【例1】

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.解

以B为原点,分别以直线BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图).例题探究

(变条件)将本例条件中“∠ABC=90°”改为“∠ABC=60°”,求直线EF和BC1所成角的余弦值.

D

能力提升点二利用向量方法求直线与平面所成的角【例2】

(2026广东深圳高二期中)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为2,D是BC的中点.(1)证明:A1B∥平面ADC1;(2)求直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值.(1)证明

如图,连接A1C交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点.又D是BC的中点,则OD为△A1BC的中位线,所以OD∥A1B.又因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.

变式训练2

(2026陕西西安高三开学考试)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC=4,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:A1E⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

能力提升点三利用向量方法求两个平面的夹角【例3】

(2026北京昌平高二期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E为PD中点.(1)求证:AE⊥平面PDC;(2)求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值.(1)证明

∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD=2,且E为PD中点,∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PDC,∴AE⊥平面PDC.

变式训练3

(2026甘肃高二期中)如图,已知在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,BE⊥平面ABCD,AB=BC=BE=2AD=4.求:(1)点D到平面EAC的距离;(2)二面角A-CD-E的正切值.

本节要点归纳1.知识清单:(1)异面直线所成的角;(2)直线与平面所成的角;(3)平面与平面所成的角.2.方法归纳:转化化归法.3.常见误区:容易混淆两个向量的夹角和空间角的关系.学以致用·随堂检测促达标12345

B

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B

3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=2,则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为(

)12345B12345

4.(北师大版教材习题)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线A'B与平面A'B'CD所成角的大小为

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5.