微积分上考试题目及答案

微积分上考试题目及答案一、选择题（10题，每题3分，共30分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

2.函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上（）

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值，但未必有最小值

C.必有最小值，但未必有最大值

D.未必有最大值和最小值

3.若函数f(x)在x=c处取得极值，且f'(c)存在，则f'(c)等于（）

A.0

B.1

C.-1

D.任意实数

4.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）

A.-8

B.2

C.8

D.0

5.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=e^x

C.f(x)=ln(x)

D.f(x)=1/x

6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)>f(b)，则方程f(x)=0在区间(a,b)内（）

A.必有实根

B.未必有实根

C.必无实根

D.可能有一个实根

7.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的拐点是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(-1,0)

8.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在区间[a,b]上（）

A.必定连续

B.必定有界

C.必定可导

D.必定单调

9.下列无穷级数中，收敛的是（）

A.∑(n=1to∞)n

B.∑(n=1to∞)1/n^2

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)1/n

10.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分等于（）

A.1

B.0

C.-1

D.π

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=|x|^3

C.f(x)=x^2*|x|

D.f(x)=sin(x)

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是（）

A.f(x)在[a,b]上必有界

B.f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值

C.f(x)在[a,b]上必可积

D.f(x)在[a,b]上必可导

3.下列无穷级数中，发散的是（）

A.∑(n=1to∞)1/n^3

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

C.∑(n=1to∞)1/(n+1)

D.∑(n=1to∞)1/n^4

4.函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是（）

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=2

5.下列说法正确的是（）

A.若函数f(x)在x=c处取得极值，且f'(c)存在，则f'(c)=0

B.函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界

C.函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界

D.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0在[a,b]上恒成立

三、（一）填空题（5题，每题4分，共20分）

1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数等于________。

2.函数f(x)=e^x在x=0处的切线方程是________。

3.函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数等于________。

4.无穷级数∑(n=1to∞)1/(2^n)的和等于________。

5.函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的积分等于________。

四、综合题（2题，每题15分，共30分）

1.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性、极值和拐点。

2.计算无穷级数∑(n=1to∞)(-1)^n/(2n+1)的敛散性。

五、材料分析题（1题，20分）

已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)=f(b)，又设g(x)是f(x)的一个原函数。证明：在区间(a,b)内至少存在一点c，使得g(c)=0。

答案部分：

一、选择题

1.A

2.A

3.A

4.C

5.B

6.B

7.A

8.B

9.B

10.A

二、（一）多项选择题

1.A,C,D

2.A,B,C

3.C

4.A,C

5.A,B,C

三、（一）填空题

1.0

2.y=x

3.1

4.1

5.4

四、综合题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上：

-单调递增区间：(-1,0)和(2,3)

-单调递减区间：(0,2)

-极大值点：x=0，极大值f(0)=2

-极小值点：x=2，极小值f(2)=0

-拐点：x=1，拐点(1,0)

2.无穷级数∑(n=1to∞)(-1)^n/(2