《建筑力学》-第十二章　平面体系的几何组成分析

第一节杆件体系的分类与几何组成分析的目的２．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，即使在微小的荷载作用下，也会产生机械运动而不能保持其原有形状和位置的体系称为几何可变体系，如图１２-２所示。上一页下一页返回第一节杆件体系的分类与几何组成分析的目的二、几何组成分析的目的工程结构在使用过程中应能使自身的几何形状和位置保持不变，因而必须是几何不变体系。只有几何不变体系才能承受荷载而作为结构使用，所以，对结构进行分析计算时，必须首先分析判断它是否为几何不变体系。这种分析判断体系是否为几何不变体系的过程称为体系的几何组成分析，其目的在于：（１）判断某一体系是否是几何不变的，从而确定它能否作为结构，以保证结构的几何不变性。上一页下一页返回第一节杆件体系的分类与几何组成分析的目的（２）根据体系的几何组成，可以确定结构是静定的还是超静定的，从而选择相应的计算方法。（３）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。在进行几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，因而体系中的某一杆件或已经判明是几何不变的部分，均可视为刚体。平面内的刚体又称刚片。上一页返回第二节自由度与约束一、自由度平面体系的自由度，是指该体系运动时，可以独立改变的几何参变量的数目，也就是确定体系的位置所需的独立坐标的数目。平面内的一个点，要确定它的位置，需要有x、y两个独立的坐标［图１２-３（ａ）］，因此，一个点在平面内有两个自由度。确定一个刚片在平面内的位置则需要有三个独立的几何参变量。如图１２-３（ｂ）所示，在刚片上先用x、y两个独立坐标确定A点的位置，再用倾角确定通过A点的任一直线AB的位置，这样，刚片的位置便完全确定了。因此，一个刚片在平面内有三个自由度。地基也可以看作是一个刚片，但这种刚片是不动刚片，它的自由度为零。下一页返回第二节自由度与约束一般来说，如果确定一个体系的位置需要n个独立坐标，或者说，该体系有n个独立的运动方式，我们就称这个体系有n个自由度。一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。凡是自由度大于零的体系都是几何可变体系。二、约束在刚片之间加入某些连接装置，它们的自由度将减少。能使体系自由度减少的装置称为约束（或称联系）。减少一个自由度的装置，称为一个约束，减少n个自由度的装置，称为n个约束。在体系几何组成中常用的有链杆、铰和刚性连接这三类约束。上一页下一页返回第二节自由度与约束１．链杆图１２-４（ａ）表示用一根链杆犅犆连接两个刚片Ⅰ和Ⅱ。此时，当刚片Ⅰ的位置仍用三个独立的几何参变量予以确定后，由于链杆的作用，使刚片Ⅱ只能沿以B为圆心、BC为半径的圆弧移动和绕C点转动，再用两个独立的参变量α、β即可确定刚片Ⅱ的位置。这样，通过链杆的连接，使总自由度由原来的６减至５，故一根链杆能使体系减少一个自由度，相当于一个约束。上一页下一页返回第二节自由度与约束２．铰连接两个刚片的铰称为单铰。图１２-４（ｂ）表示刚片Ⅰ和Ⅱ用一个铰B连接。未连接前，两个刚片在平面内共有６个自由度。用铰B连接后，若认为刚片Ⅰ仍有３个自由度，而刚片Ⅱ则只能绕铰B做相对转动，即再用一个独立的参变量α就可以确定刚片Ⅱ的位置。所以减少了两个自由度。因此，两刚片用一个铰连接后的自由度总数为６－２＝４。故单铰的作用相当于两个约束，或相当于两根链杆的作用。同理可知，连接３个刚片的铰能减少４个自由度，因而可以把它看作两个单铰。当n个刚片用一个铰连在一起时，从减少自由度的观点来看，连接n个刚片的铰可以当作n－１个单铰。上一页下一页返回第二节自由度与约束３．刚性连接刚性连接如图１２-４（ｃ）所示，它的作用是使两个刚片不能有相对的移动及转动。未连接前，刚片Ⅰ和Ⅱ在平面内共有６个自由度。刚性连接后，刚片Ⅰ仍有３个自由度，而刚片Ⅱ相对于刚片Ⅰ既无移动亦不能转动。可见，刚性连接能减少３个自由度，相当于３个约束。上一页下一页返回第二节自由度与约束三、必要约束与多余约束必要约束：为保持体系几何不变必须具有的约束。多余约束：撤去之后体系仍能保持几何不变的约束。如图１２-５（ａ）所示，平面内有一自由点A，A点通过两根链杆与基础相连，这时两根链杆分别使A点减少一个自由度而使A点固定不动，因而两根链杆都非多余约束，因而两者皆为必要约束；在图１２-５（ｂ）中，A点通过三根链杆与基础相连，这时A虽然固定不动，但减少的自由度仍然为２，显然三根链杆中有一根没有起到减少自由度的作用，因而是多余约束（可把其中任意一根作为多余约束）。应当指出，多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的，但在几何体系中增设多余约束，往往可以改善结构的受力状况，并非真的多余。上一页返回第三节虚铰与瞬变体系一、虚铰虚铰是一类特殊的约束。图１２-６所示体系中，刚片Ⅰ在平面上本来有３个自由度，用两根不共线链杆１和２把它与基础相连接，则此体系仍有１个自由度。现对它的运动特性加以分析。由于链杆的约束作用，A点的微小位移应与链杆１垂直；C点的微小位移应与链杆２垂直。以O表示两根链杆轴线的交点，显然，刚片Ⅰ可以发生以O为中心的微小转动。O点称为瞬时转动中心。这时刚片Ⅰ的瞬时运动情况与它在O点用铰与基础相连接时的运动情况完全相同。因此，从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点O处的一个铰所起的约束作用。这个铰称为虚铰。在体系运动过程中，虚铰的位置也在不断变化。下一页返回第三节虚铰与瞬变体系二、瞬变体系如图１２-７（ａ）所示，在点A加一根水平的支座链杆１后，犃点还可以移动，是几何可变体系。图１２-７（ｂ）是用两根不在一条直线上的支座链杆１和２把A点连接在基础上，A点上下、左右移动的自由度全被限制住了，不能发生移动。故图１２-７（ｂ）是约束数目恰好够用的几何不变体系，称为无多余约束的几何不变体系。图１２-７（ｃ）是在图１２-７（ｂ）上又增加一根水平的支座链杆３，这第三根链杆，就保持几何不变而言，是多余的。故图１２-７（ｃ）是有一个多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第三节虚铰与瞬变体系图１２-７（ｄ）是用在一条水平直线上的两根链杆１和２把A点连接在基础上，保持几何不变的约束数目是够用的。但是这两根水平链杆只能限制A点的水平位移，不能限制A点的竖向位移。在图１２-７（ｄ）中，两根链杆处于水平线上的瞬时，A点可以发生很微小的竖向位移到A′点处，这时，链杆１和２不再在一直线上，A′点就不继续向下移动了。这种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。瞬变体系是约束数目够用，但由于约束的布置不恰当而形成的体系。瞬变体系在工程中不能采用。上一页返回第四节几何不变体系的基本规则下面分别叙述组成几何不变体系的三个基本规则。规则一（二元体规则）：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。二元体规则是分析一个点与一个刚片之间应当怎样连接才能组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形是最基本的几何不变体系。如图１２-８（ａ）所示，在铰接三角形中，将BC看作刚片Ⅰ，AB、AC看作连接A点和刚片Ⅰ的两根链杆，体系仍然是几何不变体系。由此得规律：一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连，组成几何不变体系，且无多余约束。下一页返回第四节几何不变体系的基本规则由两根不共线的链杆连接一个节点的构造，称为二元体，如图１２-８（ａ）中的BAC。在原体系上增加或减少若干个二元体不改变原体系的几何组成性质。图１２-８（ｂ）中，A点通过两根不共线的链杆与刚片Ⅰ相连，组成几何不变体系，其中的第三根链杆是多余约束。规则二（两刚片规则）：两刚片用不在一条直线上的一个铰（B铰）和一根链杆（AC链杆）连接，则组成无多余约束的几何不变体系。两刚片规则是分析两个刚片如何连接才能组成几何不变体系，且没有多余约束。此规则也可由铰接三角形推得。如图１２-９（ａ）所示，将AB、BC分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ，将AC看作链杆①，体系仍然为几何不变体系。由此可见：两刚片用一个铰和一根链杆相连，且链杆与此铰上一页下一页返回第四节几何不变体系的基本规则不共线，组成几何不变体系，且无多余约束。一个单铰相当于两根链杆约束，所以两根链杆可以代替一个铰，因此又得到图１２-９（ｂ）所示的两刚片三链杆体系，也是几何不变体系。但当三链杆互相平行［图１２-９（ｃ）］或者交于一点［图１２-９（ｄ）、（ｅ）］时，就成了瞬变体系。这是因为两刚片可作瞬时相对水平移动，或作瞬时相对转动。由此可得出两刚片规则的另一种表达方式：两刚片用三根既不完全平行又不交于一点的链杆相连，组成几何不变体系，且无多余约束。上一页下一页返回第四节几何不变体系的基本规则规则三（三刚片规则）：三刚片用不在一条直线上的三个铰两两连接，则组成无多余约束的几何不变体系。如图１２-１０（ａ）所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相连。若将刚片Ⅱ固定不动（例如看作是基础），则刚片Ⅰ将只能绕B点转动，其上A点必在半径为AB的圆弧上运动，而刚片Ⅲ则只能绕C点转动，其上A点又必在半径为AC的圆弧上运动。因A点不可能同时在两个不同的圆弧运动，故知各刚片之间不可能发生相对运动，所以这样组成的体系是几何不变且无多余约束的。同样，由于两根链杆的作用相当于一个铰，故可将三刚片中的任一个铰换为两根链杆所构成的虚铰，只要三个虚铰不共线，便可知如图１２-１０（ｂ）所示的体系也是几何不变且无多余约束的。上一页下一页返回第四节几何不变体系的基本规则由此，可以得到三刚片法则的另外一种形式，即三钢片六链杆法则：三钢片两两之间用两根不完全平行也不共线的链杆相连接，而六根链杆所形成的三个虚铰又不在同一直线上，这样的体系是几何不变且无多余约束的体系。综上所述，这三个规则及其推论，实际上都是三角形规律的不同表达方式，即三个不共线的铰，可以组成无多余约束的铰接三角形体系。上一页返回第五节平面体系几何组成分析举例几何不变体系的基本组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系灵活使用这些规则，就可以判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。分析时，方法如下：（１）选择刚片。在体系中任一杆件或某个几何不变的部分（例如基础、铰接三角形），都可选作刚片。在选择刚片时，要考虑哪些是连接这些刚片的约束。（２）扩大刚片。先从能直接观察出的几何不变的部分开始，应用几何组成规则，逐步扩大几何不变部分直至整体。下一页返回第五节平面体系几何组成分析举例（３）简化体系。对于复杂体系可以采用以下方法简化体系：１）当体系上有二元体时，应依次拆除二元体。２）如果体系只用三根不全交于一点也不全平行的支座链杆与基础相连，则可以拆除支座链杆与基础。（４）注意利用约束的等效替换。如只有两个铰与其他部分相连的刚片用直链杆代替；连接两个刚片的两根链杆可用其交点处的虚铰代替。上一页返回下一页第五节平面体系几何组成分析举例【例１２-１】试对图１２-１１所示的体系进行几何组成分析。【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆１相连，组成几何不变体系，可看作是一个扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点也不完全平行的三根链杆BC、２、３和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第五节平面体系几何组成分析举例【例１２-２】分析图１２-１２所示体系的几何组成。【解】此体系中，上部体系是在一个由三刚片构成的铰接三角形ABC的基础上，依次增加二元体连接１、２、３、４、５点构成的几何不变体系，进而将整个上部体系视为刚片Ⅰ，地基视为刚片Ⅱ，则刚片之间用既不共点又完全平行的三链杆相连，符合两刚片法则，故此体系为几何不变且无多余约束的体系。由上述分析可见，一个体系如果用不交于一点且不互相平行的三根链杆与基础相连，并不改变原体系的几何组成性质，所以遇到这种情况只要分析上部体系（去掉基础和三根链杆）即可得到结论。上一页下一页返回第五节平面体系几何组成分析举例【例１２-３】分析图１２-１３所示体系的几何组成。【解】以铰接三角形ABC和BDE分别为刚片Ⅰ和Ⅱ，链杆１与２相当于虚铰F，链杆３与４相当于虚铰G，由此可见，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ和地基通过不在一条直线上的铰F、G、B相连，符合三刚片规则，故组成无多余约束的几何不变体系。【例１２-４】分析图１２-１４所示体系的几何组成。【解】将图１２１４中的AC、BD、基础分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，刚片Ⅰ和Ⅲ以铰A相连，刚片Ⅱ和Ⅲ用铰B连接，刚片Ⅰ和Ⅱ用CD、EF两链杆相连，相当于一个虚铰O。由于连接三刚片的三个铰A、B、O不在一直线上，符合三刚片规则，故体系为几何不变且无多余约束的体系。上一页下一页返回第五节平面体系几何组成分析举例【例１２-５】分析图１２-１５所示体系的几何组成。【解】在此体系中，刚片AC只有两个铰与其他部分相连，其作用相当于一根用虚线表示的链杆２。同理，刚片