福建省莆田市荔城区莆田中山中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

答案第1页，共=sectionpages33页福建省莆田中山中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷一、单选题1．下列四个交通标志中，属于中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．抛物线y=3A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）3．已知正比例函数y=kx经过点A（1，3），点B为x轴正半轴上一点，则∠AOB=（）A．120° B．60° C．45° D．30°4．用配方法解一元二次方程x2A．x−32C．x−32=15．如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，直线a与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，直线b与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点，若AB=3A．4 B．5 C．6 D．76．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC=32°，则∠BDC=（）A．64° B．62° C．60° D．58°

7．如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为AB的中点，OC交AB于点M，且OM∶MC＝3∶2，则CM长为（

）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2025~2026赛季中国男子篮球职业联赛，采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为190场，若设参赛队伍有xA．xx−1=190 C．12xx+19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，∠ABD=70°，则∠BCD的大小是（

）A．120° B．130° C．140° D．150°10．二次函数y=2x2+4x+m+1（m为常数）的图象过A−4,yA．若y1y2>0，则y3C．若y3y4<0，则y1二、填空题11．2sin612．若关于x的方程x2+mx−n13．已知△ABC∽△A'B'C'，AB=3，A'B14．在平面直角坐标系中，将抛物线y=−2x−12+2向右平移2个单位，再向上平移15．如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是m．（图中CD，FG均表示小明身高）16．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点F，AC⊥BD，且AC=8，BD=83，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使至AE，得∠PAE=∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE三、解答题-问答题17．解方程：x218．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD=∠C．(1)求证：△ADF∽△DEC．(2)若AB=8,AD=63,AF=4319．已知：关于x的方程2x(1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根为x1，x2且满足x120．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30∘，若边长(1)写出ABCD的面积y(cm2)与x(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．21．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°(1)尺规作图：作⊙O，使它过点A、C，且圆心O在AB上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的⊙O中，求证：点B在⊙O上．

22．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD=DE；（2）若BD=1，求AD，CD的长．23．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，且经过M(m,n)(1)求证：am+ap+b=0；(2)若抛物线经过点(1,−a)，m+p>2，求证：抛物线与x轴的两个交点都在正半轴．

24．根据以下素材，探索完成任务．如何设计喷水装置的高度？素材1图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m素材2如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP（OP⊥CD，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点P的高度差为0.8m②不能碰到图2中的水柱；③落水点G，M的间距满足：GM:FM=2:7．问题解决任务1确定水柱形状在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．任务2探究落水点位置在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．任务3拟定喷水装置的高度求出喷水装置OP的高度．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交边AC于点E，过点C作CH⊥AB于点H，交BD于点F，连接CD．(1)求证：∠ACH=∠DBC．(2)若AB=AC．①当△BCE是等腰三角形时，求∠A的度数．②若sin∠ACD=55第第页《福建省莆田中山中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考》参考答案题号12345678910答案ABBCCDBBCD11．312．−913．9y=−15．216．217．解：xxxxx1=18.（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，，∵，，即，解得：．19．（1）证明：∵Δ=k∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据根与系数的关系得：x1+x∵x1∴(x∴(−k∴k2解得：k=±即k的值为±220．解：(1)过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30∘，∴AE=1又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4−x，∴y=AE⋅BC=1（2）y=−=−1∵a=−1∴当x=2时，y有最大值，其最大值为2．21．（1）如图所示，⊙O为所求，；（2）如图，连接OC，由（1）得直线l为AC的垂直平分线，∴OC=OA，∴∠A=∠OCA，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°且∠OCB+∠OCA=90°，∴∠B=∠OCB∴OC=OB，即OC=OB=OA，∴A、B、C三点共圆，点B在⊙O上．22．（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC＝120°，∵∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°；∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，在Rt△DCE中，DC=D23．（1）解：将M(m,n)和N(p,n)两点代入抛物线y=axa两式相减得：am因式分解得：m−pam+ap+b由于m≠p，则am+ap+b=0；（2）解：将点(1,−a)代入抛物线y=ax2+bx+c得：a+b+c=−a由（1）可知，b=−am+p则c=am+p−2设抛物线与x轴的交点为x1、x则x1+x由于m+p>2，则m+p−2>0所以x1+x因此，抛物线与x轴的两个交点都在正半轴．24．解：任务1：以O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．∵AB＝∴A(−10,0)．∵水柱距水池中心7m处到达最高，高度为5∴左侧抛物线顶点为(−7,5)，设抛物线解析式为y=ax+7把A(−10,0)代入得a=−5∴y=−59x+7任务2：令y=1.8，得1.8=−5解得x1=−9.4（舍去），∵EF=CD=12，∴FM=6－∵MG︰∴MG=0.4，∴点G的坐标为(−4.2,1.8)．任务3：如图2．设P(0,m)，从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为(k,m+0.8)，又∵抛物线形状相同，∴抛物线表达式为y=−5把P(0,m)代入得m=−5解得k=−1.2或1.2（舍去），∴y=−5把G(−4.2,1.8)代入得m=6，∴喷水装置OP的高度为6米．25（1）解：BD是⊙O直径，∴∠BCD=90°,∴∠CDB+∠CBD=90°,∵CH⊥AB，∴∠BAC+∠ACH=90°,∵∠BAC=∠BDC，∴∠ACH=∠DBC．（2）解：设∠A=x，则∠D=x，∵AB=AC，∴∠ACB=180°−x∵∠BCD=90°，∴∠DBC=90°−x，∵△BCE是等腰三角形，∴a.当BE=BC时，∠ACB=180°−∴180°−x2=90°+x∴∠A=45°；b：当CE=BC时，∠BEC=∠CBE=90°−x，∴∠ACB=180°−290°−x∴180°−x2=2x，解得：∴∠A=36°；c.当BE=CE时，∠ACB=∠BDC=90°−x，∴180°−x2=90°−x，解得：x=0，即综上，∠A的度数为45°和36°．②如图：连接AO并延长交BC于G，连接AD,则AG⊥BC，BC=2BG,∵∠ABD=∠ACD,∴sin∠ABD=∵BD是⊙O的直径，∴∠BA