初中七年级数学“销售中的盈亏”问题一元一次方程建模导学案

初中七年级数学“销售中的盈亏”问题一元一次方程建模导学案

  一、学习目标

  1.知识与技能：

  （1）能准确理解商品销售中的进价（成本）、售价、利润、利润率、折扣等基本数量关系的数学含义，并能用代数式表示这些关系。

  （2）能熟练地从复杂的销售情境中识别关键数量，并依据“售价-进价=利润”或“利润=进价×利润率”等核心等量关系，建立关于这些数量的一元一次方程模型。

  （3）能规范地求解所建立的一元一次方程，并合理解释方程的解在实际销售问题中的意义，准确判断盈亏状态。

  2.过程与方法：

  （1）经历从现实销售情境中抽象出数学问题、用数学符号建立方程模型、求解并验证解释的全过程，体会数学建模的基本思想与方法。

  （2）通过分析对比不同类型销售问题（如直接盈利亏损、打折销售、追求预期利润率定价等）的等量关系结构，提升分析、比较、归纳和概括的思维能力。

  （3）在小组合作探究与辨析中，发展运用数学语言有条理地表达思考过程并进行交流的能力。

  3.情感态度与价值观：

  （1）感受一元一次方程作为有效数学模型在分析和解决现实经济生活问题中的力量，增强应用数学的意识。

  （2）在解决盈亏问题的过程中，初步形成理性分析、科学决策的思维习惯，理解商业活动中的基本逻辑与风险。

  （3）通过跨学科联系（如与道德与法治课程中关于诚信经营、财经素养的关联），认识数学知识的广泛应用性及其社会价值。

  二、学习重点与难点

  学习重点：从销售情境中准确提炼进价、售价、利润、利润率等核心数量，并依据它们之间的基本等量关系建立一元一次方程。

  学习难点：灵活辨析并建立不同情境下的等量关系，特别是涉及折扣、盈亏幅度与利润率相互转化时的关系；理解方程的解对于实际问题的双重意义（数值解与情境解释）。

  三、学习准备

  1.知识准备：学生需熟练掌握用字母表示数、列代数式、一元一次方程的解法。

  2.材料准备：导学案、学习小组记录单、多媒体课件（可呈现商场促销海报、线上购物结算界面、简易收支账本等情境素材）。

  3.心理准备：创设贴近学生生活经验的模拟商业情境，激发探究兴趣。

  四、学习流程设计

  （一）情境锚定，问题驱动（预计用时：10分钟）

  核心任务：激活关于商品买卖的已有生活经验，感知销售中“盈”与“亏”的直观概念，并初步尝试用数学语言描述相关量。

  教师活动：

  1.呈现两组生活化微情境：

  情境A：小明从文具批发市场以每支1.5元的价格购进一批中性笔，在校园义卖活动中以每支2元的价格全部售出。

  情境B：小丽为班级运动会准备了一批加油手拍，每个购进价为8元。由于天气原因运动会推迟，她不得已以每个6.5元的价格处理给其他班级。

  2.引导学生讨论：在两笔“生意”中，小明和小丽是“赚了”还是“赔了”？你是如何判断的？

  3.追问并板书关键量：在情境A中，“每支1.5元”是什么成本？（引出“进价”或“成本价”）“每支2元”是什么价格？（引出“售价”）“赚了”的部分怎么计算？（自然引出“利润=售价-进价”的雏形）。同理分析情境B。

  4.引出核心问题：如果我们知道商品的进价和最终是盈利还是亏损，以及盈利或亏损的金额（或比例），能否反推出它的售价？或者，知道进价和想要达到的利润率，如何确定售价？这就是我们今天要用方程这个强大工具来探究的“销售中的盈亏”问题。

  学生活动：

  1.观看情境，基于生活常识快速判断小明盈利、小丽亏损。

  2.尝试口头描述判断依据：“卖价比进价高就赚，低就赔”，“赚了多少就是卖价减去本钱”。

  3.在教师引导下，学习并使用规范的数学术语：“进价”、“售价”、“利润”（正值为盈利，负值为亏损）。

  设计意图：从最朴素的生活经验出发，消除学生对“经济问题”的陌生感。通过对比鲜明的简单实例，让学生在“赚”与“赔”的直观感受中，自然建构起进价、售价、利润这三个最核心概念及其最基础的数量关系（利润=售价-进价），为后续复杂关系的探究奠定坚实的认知基础和情感认同。

  （二）概念辨析，关系梳理（预计用时：15分钟）

  核心任务：在基础关系之上，引入“利润率”、“折扣”等概念，并通过辨析和公式变形，系统构建销售问题中各类数量关系的网络图。

  教师活动：

  1.深化“利润”与“利润率”：

  提出新情境：两家店铺都卖出了进价为100元的同款书包。甲店获利30元，乙店获利50元。请问哪家店的经营效益更好？学生可能直观认为乙店好。

  接着补充信息：甲店卖出了一个书包，乙店卖出了两个书包（总进价200元）。引导学生思考：此时比较总利润（甲30元，乙100元）或比较单个利润都不再公平。需要引入一个可以比较“赚钱效率”或“投资回报比例”的概念——利润率。

  给出定义：利润率通常指利润相对于成本的百分比，即利润率=(利润/进价)×100%。

  计算：甲店利润率=(30/100)×100%=30%；乙店（单包）利润率=(50/100)×100%=50%。显然乙店效益更好。

  由此推导变形公式：利润=进价×利润率；售价=进价+利润=进价×(1+利润率)。

  2.引入“折扣”：

  展示商场“八折优惠”标签。解释：“折扣”即按原价（通常指标价或定价，在本课基础模型中，若无特别说明，可初步视为我们讨论的“售价”）的百分比出售。八折即原价的80%，或写作0.8。

  公式：折后售价=原定价×折扣率。强调折扣率常用百分数或小数表示。

  3.关系网络图构建：

  引导学生一起梳理，将进价（a）、售价（b）、利润（c）、利润率（p）、折扣（d，如八折即d=0.8）之间的关系用箭头和公式连接起来，形成清晰的思维导图。核心强调两条基本等量关系链：

  链一：基于金额关系：售价(b)-进价(a)=利润(c)。

  链二：基于比例关系：利润(c)=进价(a)×利润率(p)；进而b=a×(1+p)。

  折扣通常作用于链中的售价（b）。明确：当利润为正时，盈利；利润为负时，亏损；利润为零时，不盈不亏（保本）。

  学生活动：

  1.参与讨论，理解引入“利润率”的必要性，认识到它是评价盈利能力的相对指标。

  2.跟随教师推导并记录相关公式的变形，理解其来龙去脉。

  3.在教师引导下，尝试口头描述或简单绘制各个量之间的关系，努力在头脑中形成结构化知识网络。

  设计意图：此环节是本节课的知识基石。通过“哪家店效益好”的认知冲突，自然引出利润率概念，使其学习充满意义。系统化的公式推导与关系梳理，旨在帮助学生将零散的生活经验上升为结构化的数学知识体系，理解不同关系式之间的内在联系与转换，为后续灵活选用等量关系列方程做好充分准备。

  （三）建模探究，范例精析（预计用时：35分钟）

  核心任务：通过由浅入深、类型丰富的例题，引导学生亲历“审题-设元-找等量关系-列方程-解方程-检验作答”的完整数学建模过程，掌握列方程解销售盈亏问题的通法。

  教师活动与学生活动交互进行：

  探究一：基础盈亏判断

  例题1：某商店将一件进价为120元的衬衫提价50%后标价，再按标价的八折出售。这件衬衫商店是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

  1.审题与设元：教师引导学生逐句分析，识别关键信息：进价120元，“提价50%”是针对进价吗？（通常指在进价基础上提价，即利润率为50%）。“标价”是多少？设标价为x元？不一定需要。可以直接用关系式：标价=进价×(1+利润率)=120×(1+50%)=180元。“八折出售”：最终售价=标价×折扣率=180×0.8=144元。

  2.找关系与列方程：本题可直接计算利润=售价-进价=144-120=24元>0。但为示范建模过程，可设利润为y元，根据基本关系列方程：y=120×(1+50%)×0.8-120。

  3.解与验：求解y=24。解释：利润为正，故盈利24元。

  4.方法提炼：教师强调，对于直接问盈亏额的简单问题，理清“进价→标价（若涉及）→售价”的路径，直接计算利润是最快捷的。但列方程的思想是一致的。

  探究二：已知盈亏状态求原价或进价

  例题2：一台电视机按进价提高40%后标价，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台电视机仍赚了300元。求这台电视机的进价。

  1.审题与设元：此题未知量是进价，设为x元。

  2.找等量关系：核心等量关系是“仍赚了300元”，即“利润=300元”。利润如何表示？路径：进价x→标价x(1+40%)→售价x(1+40%)×0.8。因此，利润=售价-进价=x(1+40%)×0.8-x。

  3.列方程：x(1+40%)×0.8-x=300。

  4.解与验：解方程：1.12x-x=300→0.12x=300→x=2500。检验：进价2500，标价3500，售价2800，利润确为300元。作答。

  5.方法提炼：当问题所求是成本、原价等“起点”量时，设其为未知数，用含该未知数的代数式表示出销售链条上的其他量，最后利用题目给出的具体盈亏数额或状态（如赚…元、亏损…元）作为等量关系列方程。

  探究三：涉及利润率反求定价或折扣

  例题3：某商场购进一批运动服，每件进价为100元，商场希望这批运动服能获利不低于20%。那么在销售时，最低可打几折？（结果保留整数折）

  1.审题与设元：设最低折扣为d折（注意此处是“几折”，生活中常用“几折”表示折扣率×10，如8折即d=8，对应折扣率0.8；或直接设折扣率为x）。为便于理解，设最低可打x折（则折扣率为x/10）。

  2.找等量关系：“获利不低于20%”是核心。可以理解为：实际利润率≥20%。为了求“最低”折扣，我们取临界点，即实际利润率=20%作为等量关系。实际利润=售价-进价。售价如何表示？题中未给出标价，通常在这种问题中，默认将“进价提高期望利润率后的价格”作为原定价（标价）。故标价可设为100×(1+20%)=120元。那么，折后售价=120×(x/10)。

  3.列方程：利用“利润=进价×利润率”这一关系列方程更直接：折后售价-进价=进价×利润率。即：120×(x/10)-100=100×20%。

  4.解与验：解方程：12x-100=20→12x=120→x=10。检验：打10折即原价出售，售价120，利润20，利润率20%，符合要求。作答：最低可打10折（即不打折）。此结果可能出乎学生意料，教师可引导讨论：若想获得高于20%的利润，折扣应高于10折还是低于10折？（应高于，即售价需高于120元，这在常规折扣表述中不存在，因此此题暗示了按20%利润率定价后，通常不会打折，或需引导学生理解“不低于”在临界点的应用）。

  变式探究：若例题3中，商场计划在标价（进价提价20%后）的基础上打折，且要求每件仍有10元的利润，求折扣。此时等量关系变为：折后售价-进价=10。列方程：120×(折扣率)-100=10。解得折扣率≈0.917，约打9.2折。

  设计意图：通过三个层次的探究，逐步提升问题的复杂度和思维要求。探究一巩固基本概念和计算路径；探究二重点训练设未知数、用代数式表示复杂关系并寻找等量关系的能力，是建模的核心演练；探究三引入“不低于”等条件，涉及临界点选择、利润率与折扣的联动，并触及生活经验与数学结果的辩证分析，培养学生严谨思维和实际应用能力。在每个探究后及时进行方法提炼，有助于学生从具体案例中抽象出一般化的解题策略。

  （四）融会贯通，综合应用（预计用时：20分钟）

  核心任务：在小组合作中解决更具综合性和开放性的问题，促进知识整合与迁移，发展分析、决策和表达能力。

  活动形式：小组合作学习。

  问题情境：“校园文创店策划”项目

  你们小组负责为学校文创店策划一款定制笔记本的销售方案。已知信息：

  -笔记本空白本生产成本（进价）：每本4元。

  -定制logo和校徽图案：一次性设计制版费200元（此成本需分摊到售出的笔记本中）。

  -计划销售周期内，预计能售出200本。

  任务：请为笔记本定价，并撰写简明的定价理由报告（需包含计算过程）。报告需从以下两个方案中选择其一进行详细论证：

  方案A：确保销售周期结束后，总利润达到400元。

  方案B：确保销售周期结束后，总利润率达到25%（总利润率=总利润/总成本×100%）。

  （可选挑战）方案C：如果希望吸引更多顾客，计划在方案A或方案B确定的价格基础上打九折促销，同时希望通过增加销量来弥补折扣带来的利润损失。请分析，销售量至少要增加到多少本，才能保持原来的总利润目标不变？（可任选一原目标分析）

  教师活动：

  1.发布项目任务，解释背景和各项成本的含义，确保学生理解“一次性制版费”作为固定成本需要分摊。

  2.巡视各小组，观察讨论情况，对共性问题（如总成本的计算、总利润与总利润率的区别、设哪个量为未知数更简便等）进行点拨。

  3.鼓励小组内部分工合作，有的负责理清关系，有的负责列式，有的负责计算检验，有的负责撰写报告要点。

  学生活动：

  1.小组内阅读并理解任务背景，明确“总成本”包含两部分：可变成本（4元/本×本数）和固定成本（200元）。

  2.选择方案进行讨论。例如选择方案A：

  设每本售价为x元。

  总销售额=200x。

  总成本=4×200+200=1000元。

  等量关系：总利润=总销售额-总成本=400。

  列方程：200x-1000=400→解得x=7。

  定价理由：为确保总利润400元，每本需定价7元。

  3.尝试方案B或其他方案，并进行比较。

  4.若有能力，尝试挑战问题，建立新的方程（如设至少销售y本，原目标利润400，现售价打九折，则新方程：(0.9×原售价)×y-(4y+200)=400）。

  5.整理计算过程和结论，形成简要报告。

  设计意图：将本节课所学置于一个真实的微型项目中进行综合应用。问题涉及固定成本与可变成本的区分，总利润与总利润率两个不同目标的选择，以及促销后的销量目标分析，具有很强的综合性和一定的开放性。小组合作形式有助于学生碰撞思维，学习从数学计算和商业决策双重视角思考问题，撰写报告则锻炼了数学表达与交流能力。挑战性问题为学有余力的学生提供了延伸空间。

  （五）反思凝练，体系建构（预计用时：10分钟）

  核心任务：引导学生回顾学习过程，总结知识要点、方法技能和思想收获，构建并内化关于销售问题的一元一次方程解题模型。

  教师活动：

  1.引导学生以思维导图或知识树的形式，从“核心概念”（进价、售价、利润、利润率、折扣）、“基本关系式”（利润=售价-进价，利润=进价×利润率，售价=进价×(1+利润率)，售价=标价×折扣率）、“解题一般步骤”（审、设、找、列、解、验、答）、“常见题型”（求进价/原价、求定价/折扣、判断盈亏、综合决策）等方面进行系统梳理。

  2.提问引导深度思考：

  -列方程解销售问题时，设哪个量为未知数往往比较方便？（通常设题目所求的直接量为未知数，或设基础量如进价为x）。

  -如何准确找到等量关系？（紧扣题目中关于盈亏数额、利润率目标、折扣与标价关系等描述性语句，将其转化为数学等式）。

  -解出方程后，为什么必须检验并解释其实际意义？（确保答案符合现实逻辑，如售价、成本通常为正数，折扣率在0-1之间等）。

  3.强调数学建模思想：从现实销售情境中“剥离”出数学要素（数量），用符号和关系式“表达”它们之间的联系，通过求解方程“求解”实际问题，最后将数学结果“回归”现实进行解释。这就是用数学工具认识和改造世界的一个缩影。

  学生活动：

  1.在教师引导下，个人或同桌之间尝试复述、整理本节课的核心知识脉络和方法步骤。

  2.思考并回应教师的深度提问，分享自己的心得体会。

  3.尝试用自己的语言描述“数学建模”在解决今天这类问题中是如何体现的。

  设计意图：及时的反思、归纳与升华是知识内化、能力形成的关键环节。通过系统梳理，将零散的例题、练习整合到清晰的知识方法框架中，形成可迁移的解题策略。通过深度思考题，引导学生超越具体解题步骤，感悟数学思想方法（如建模思想、方程思想）的力量，提升数学素养。

  五、分层作业设计

  A层（基础巩固）：

  1.填空：

  （1）一件商品进价a元，售价为b元，则利润为______元。

  （2）若利润率为20%，进价为m元，则利润为______元，售价为______元。

  （3）某商品打九折后售价为n元，则原标价为______元。

  2.某服装店以每件60元的价格购进一批T恤，按进价提高50%后标价。因换季清仓，现决定按标价的六折出售。问每卖出一件T恤，商店是盈利还是亏损？盈（亏）多少元？

  B层（能力提升）：

  1.某书店将一种图书按标价的9折出售，仍可获利20%。已知该图书的进价为21元，求它的标价是多少元？

  2.某商场销售一款空调，每台进价为2400元。市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元，每台空调的定价应为多少元？（提示：设降价x个50元，用代数式表示单台利润和销量）

  C层（拓展探究）：

  1.（方案决策）某文具厂生产某种学生用笔记本，固定成本为20000元（与产量无关），每本笔记本的可变成本为2元。该笔记本的市场调查显示，其售价与预期销量存在关系：若定价为5元，预计可售出8000本；售价每提高0.5元，预计销量减少1000本。请你为工厂设计一个定价方案，使得总利润最大化。并思考：用一元一次方程模型解决最优化问题有什么局限性？这为你未来的数学学习提出了什么新问题？（此题为开放性探究，旨在引导学生思考更复杂的模型，如二次函数）

  2.（数学写作）撰写一篇短文，题为《一元一次方程：我的“小店”盈亏计算器》。结合本节课的学习，想象你经营一家小店（如奶茶店、文具角），描述你如何运用方程的思想来制定价格、预测利润或分析促销效果。

  六、学习评价设计

  1.过程性评价：

  -课堂观察：记录学生在情境导入、概念辨析、小组探究、反思归纳等环节的参与度、提问质量、表达逻辑和合作态度。

  -导学案完成情况：检查学生在“关系梳理”、“探究精析”环节的笔记、推导过程和随堂练习的完成质量。

  -小组项目报告：评估“校园文创店策划”小组报告中，问题分析的清晰度、模型建立的准确性、计算的正确性以及结论陈述的合理性。

  2.终结性评价：

  -通过分层作业的完成情况，评估学生对基础概念、基本建模方法、综合应用及拓展思考等不同层次目标的达成度。

  -可设计包含1-2道典型销售盈亏问题的单元小测，进行量化评分。

  3.评价标准：

  -优秀：能透彻理解所有核心概念及其关系；能独立、流畅、准确地完成各类销售问题的建模与求解；在小组项目中能发挥主导作用，提出有价值的见解；能清晰地进行知识梳理和方法总结。

  -良好：能理解核心概念及基本关系；能在少量提示下完成大部分问题的建模与求解；能积极参与小组合作，完成分配的任务；能复述主要的知识要点和步骤。

  -达标：能识别进价、售价、利润等基本概念；在明确引导下，能利用给定公式解决简单的直接计算问题或套用范例解决类似问题；能参与小组活动。

  -待进步：对基本概念辨识不清；难以独立建立数量关系；需要持续协助才能完成基础练习。

  七、教学反思与资源链接（供教师使用）

  （此部分不直接呈现给学生，是教师专业发展的记录与延伸）

  教学预设反思：

  1.本节课容量较大，需严格控制各环节时间，重点确保“概念辨析”的扎实和“建模探究”的充