初中数学九年级上册《解直角三角形》测量应用知识清单

初中数学九年级上册《解直角三角形》测量应用知识清单一、核心概念体系与数学思想（一）测量的本质：从“直接”到“间接”的转化测量的核心在于将无法直接获取的数据（如旗杆高度、河宽、山高），通过构建可解的几何模型，转化为可以直接测量的量（如影长、距离、角度等）。这个过程体现了数学建模的核心素养，即从现实世界中抽象出数学问题，再运用数学工具加以解决。本课时的测量，并非简单使用刻度尺，而是综合运用相似三角形、全等三角形以及即将学习的直角三角形的边角关系（勾股定理、锐角三角函数），实现对不可及物体的间接测定。（二）【非常重要】核心数学思想：转化与构造1.转化思想：这是本课的灵魂。所有的测量方案，无论采用何种工具，其本质都是将待测的未知量（高、宽）转化为已知的、可直接测量的量（如人的身高、影长、观测点到物体的距离、视线与水平线的夹角等）之间的关系。2.构造思想：为了建立已知量与未知量之间的联系，我们必须主动构造出恰当的几何图形。最常见的是构造直角三角形或相似三角形。例如，通过作辅助线（如过观测点作底面的垂线）将实际问题中的关键点纳入一个规范的几何图形之中，从而为运用几何定理创造条件。（三）本课时的知识定位本课（24.1测量）是华东师大版九年级上册第24章《解直角三角形》的开启课，它起着承上启下的关键作用。●【基础】承上：它是对前面所学《相似三角形》知识的直接应用和深化，通过对各种测量方案的探究，巩固了相似三角形的判定与性质。●【重要】启下：它首次引入了从“定量”角度研究几何图形的方法，通过“测角”、“比例画图”等手段，为后续系统学习锐角三角函数（正弦、余弦、正切）埋下伏笔，让学生初步感知直角三角形中边与角之间的内在依存关系。二、【核心原理】基本原理溯源与辨析（一）【基础】原理一：相似三角形的性质这是解决本课时测量问题的最主要武器。●核心依据：相似三角形的对应边成比例。●适用条件：只要能在实物和测量图形之间构造出两个相似的三角形，即可利用比例式求解。●基本模型：1.A字型：如利用太阳光测量旗杆高度时，光线、人和旗杆构成了两个平行的A字型相似。2.8字型：如利用小镜子反射测量时，入射角等于反射角，加上人和物体都垂直于地面，可构成8字型相似。（二）【基础】原理二：全等三角形的性质在某些特定条件下（如可构造出全等条件），可以利用全等三角形的对应边相等，将不可测距离平移到可测距离上来。●核心依据：全等三角形的对应边相等。●适用条件：能够通过测量工具或几何构造，确保两个三角形的边、角满足全等条件（如SAS,ASA,AAS,SSS）。（三）【重要】原理三：勾股定理适用于构造出直角三角形的情形。●核心依据：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2。●适用条件：题目中明确或通过几何关系能推导出存在直角三角形，并且已知其中两条边的长度（或能表示出它们的关系）。（四）【热点】原理四：比例尺作图与等角原理这是一种“以小推大”的经典方法，也是向三角函数过渡的关键。●核心操作：当无法直接测量某些长度（如视线向上的高度差），但可以测量角度和一段基准距离时，按一定比例尺（如1:500）在纸上画出这个直角三角形。通过测量纸上三角形相应边的长度，再按比例尺放大，即可得到实际长度。●核心原理：1.图形的相似性：按比例尺画出的三角形与实际情景中的三角形是相似的。2.角度的不变性：在相似变换（缩放）中，对应角的大小保持不变。这就将实际测量中的角度问题，转化为了纸上可直接测量的长度问题。三、【核心方法】经典测量模型全解析（考点与考向）本部分详细阐述四种核心测量方法，是考试命题的题源和基础。（一）方法一：利用阳光下的影子（影长法）●【模型描述】：在同一时刻，太阳光线可以近似看作是平行光。人和被测物体（如旗杆）均垂直于地面，因此他们与各自的影子构成的三角形是相似的。●【数学模型】：如图，由题意可知，△ABC∼△DEF\triangleABC\sim\triangleDEF△ABC∼△DEF。人的身高人的影长=旗杆高度旗杆影长\frac{\{人的身高}}{\{人的影长}}=\frac{\{旗杆高度}}{\{旗杆影长}}人的影长人的身高​=旗杆影长旗杆高度​即ABBC=DEEF\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}BCAB​=EFDE​。●【考点与考向】：1.【高频考点】直接代入计算：已知人的身高、人的影长和旗杆的影长，求旗杆高度。2.【易错点】单位统一：影长和身高的单位必须一致，计算时若单位不统一（如米和厘米），需先进行换算。3.【拓展考向】影子不全落在地面：当物体的影子一部分落在地面，一部分落在与地面垂直的墙壁上时，不能简单地将两段影长相加。●【解题步骤】：1.4.过墙壁上影子的顶端作地面的平行线，与实物（或实物的延长线）相交。2.5.将问题转化为两部分：一部分是落在地面上的完整影子对应的实物高度（设为h1h_1h1​），另一部分是落在墙上的影子对应的实物高度（h2h_2h2​）。h2h_2h2​等于墙上影子的长度，因为墙壁垂直于地面，光线平行，所以这段影子直接反映了实物在该部分的高度。3.6.利用相似求出h1h_1h1​，则实物总高H=h1+h2H=h_1+h_2H=h1​+h2​。（二）方法二：利用标杆（或自身）观测法●【模型描述】：观测者通过移动位置，使自己的视线、标杆顶端和被测物体顶端三点共线，从而构造出相似三角形。●【数学模型】：如图，观测者眼睛E、标杆顶端C、旗杆顶端A共线；标杆和旗杆均垂直于地面。过E作地面的平行线，交CD于M，交AB于N。则△CME∼△ANE\triangleCME\sim\triangleANE△CME∼△ANE。ANCM=ENEM\frac{AN}{CM}=\frac{EN}{EM}CMAN​=EMEN​其中，AN=AB−EFAN=ABEFAN=AB−EF（EFEFEF为眼高），CM=CD−EFCM=CDEFCM=CD−EF，ENENEN为观测点到旗杆的水平距离，EMEMEM为观测点到标杆的水平距离。●【考点与考向】：1.【难点】方程思想的运用：题目中通常给出多个观测点和多组数据，需要设出未知数（如旗杆高度），根据两组相似比列出方程组求解。2.【重要】注意“眼高”的扣除：在利用相似求ANANAN时，必须从目视高度计算。求出ANANAN后，旗杆高度AB=AN+眼高AB=AN+\{眼高}AB=AN+眼高。3.【常见题型】双观测点问题：如教材中的例题，乙从E处退到E′E'E′处再次观测，通过两次观测得到的两个比例式联立方程组，从而求出旗杆高度。（三）方法三：利用镜面反射●【模型描述】：在观测者与物体之间水平放置一面镜子，通过调整镜子的位置，使观测者恰好从镜子中看到物体的顶端。根据光的反射定律（入射角等于反射角），可构造出相似三角形。●【数学模型】：如图，由反射定律知，∠ACB=∠ECD\angleACB=\angleECD∠ACB=∠ECD。又因为人和物体都垂直于地面（∠B=∠D=90∘\angleB=\angleD=90^\circ∠B=∠D=90∘），所以△ABC∼△EDC\triangleABC\sim\triangleEDC△ABC∼△EDC。ABED=BCDC\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}EDAB​=DCBC​即人的眼高物体高度=人到镜子的距离镜子到物体的距离\frac{\{人的眼高}}{\{物体高度}}=\frac{\{人到镜子的距离}}{\{镜子到物体的距离}}物体高度人的眼高​=镜子到物体的距离人到镜子的距离​。●【考点与考向】：1.【基础考向】直接代入求解：已知眼高、人到镜子的距离、镜子到物体的距离，求物高。2.【注意事项】距离的测量：要明确“人到镜子的距离”是指人的脚（或眼睛在地面的投影点）到镜子中心的水平距离，“镜子到物体的距离”同理。3.【拓展考向】水中倒影：原理与镜面反射类似，平静的水面相当于镜面，利用入射角和反射角相等，构造相似三角形求解山高或树高。（四）方法四：利用直角三角形（勾股定理）●【模型描述】：当测量对象（如绳长、树高）与地面距离构成明显的直角三角形时，可直接利用勾股定理建立方程。●【典型模型】：如测量旗杆高度时，将旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段，拉开绳子下端使绳子拉直并接触地面。此时，旗杆（高h）、绳子拉开的水平距离（d）和绳子的总长（L）构成一个直角三角形。●【数学模型】：如图，设旗杆高为xxx米，绳子长x+ax+ax+a米（aaa为多出的部分）。拉开bbb米后，由勾股定理得：x2+b2=(x+a)2x^2+b^2=(x+a)^2x2+b2=(x+a)2●【考点与考向】：1.【高频考点】方程建模：这是中考中非常常见的“绳子问题”。解题关键在于正确识别直角三角形的三边，并用未知数表示。2.【解题步骤】：a.设未知数：通常设旗杆（或树、楼）的高度为xxx。b.用xxx表示斜边（绳子长）的长度。c.根据勾股定理列方程。d.解方程，注意检验根的合理性。3.【变式训练】除了“绳子问题”，还有“两只猴子问题”（一只爬下，一只跳下，路程相等），同样是在构造直角三角形后，利用勾股定理和代数方程求解。四、【考点突破】解题步骤、常见题型与易错点（一）【非常重要】通用解题步骤（三步建模法）1.审题建模：仔细阅读题目，将实际情境转化为数学图形。明确哪些是已知量（可测量），哪些是未知量（待求）。画出对应的几何示意图，并在图中标出已知数据和未知数。2.选择原理：根据图形的特征，判断应使用哪种数学原理。●图中有平行线或明显成比例关系→\rightarrow→相似三角形。●图中出现垂直、距离、绳长等→\rightarrow→考虑勾股定理。●图中涉及光线反射或水面倒影→\rightarrow→反射角相等，构造相似。●图中涉及观测角度和比例尺→\rightarrow→按比例作图，利用图形相似性。3.列式求解：根据所选原理，列出比例式或方程。解出未知量，并检查答案是否符合实际（如高度应为正数，长度单位是否合理）。（二）【难点与易错点】警示与辨析1.【易错点一】影子的误解：在利用影长测量时，若影子有一部分落在墙上或坡上，切不可将影长简单相加。必须通过作辅助线，将影子分解为“全落地部分”和“垂直部分”分别处理。墙上的影长直接等于实物在该段的高度。2.【易错点二】观测水平线的处理：在标杆法或测角仪法中，用于相似计算的三角形的高，是“观测者的眼睛”到“被测物体顶端”的竖直高度差。计算最终结果时，必须加上“观测者的眼高”。3.【易错点三】比例尺的混淆：在用比例尺作图的方法中，要分清图上距离与实际距离的关系。比例尺=图上距离:实际距离。计算时要特别注意单位换算。4.【易错点四】方程的增根：在利用勾股定理列出一元二次方程求解时，所得的解可能为负数，必须舍去。要确保答案符合实际情境。（三）【热点】常见题型汇编1.【基础计算题】：直接给出影长、身高或反射距离，求物高。考察对基本公式的掌握。2.【综合应用题】：结合两个测量点（如两次观测、或一次影长一次标杆），需要设未知数列方程组求解。考察综合运用知识的能力。3.【方案设计题】：要求设计一种测量学校旗杆或河宽的方案，并说明理由。考察数学建模和语言表达能力。解答时需写明测量工具、测量步骤、测量数据，最后给出计算表达式。4.【跨学科融合题】：结合物理中的光的反射定律（镜面、水面）、或地理中的比例尺知识进行测量计算。五、【思维拓展】从测量到解直角三角形本课时的学习，不仅仅是掌握几种具体的测量方法，更重要的是建立起一种观念：在一个直角三角形中，除了直角外，还有五个元素（两条直角边、一条斜边、两个锐角）。如果知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其余三个元素。这正是下一节“解直角三角形”的核心思想。●【衔接点】在“按比例画图”的测量方法中，我们通过测量角度∠BAC\angleBAC∠BAC和一条直角边ACACAC（水平距离），然后在纸上画出相似的△A′B′C′\triangleA'B'C'△A′B′C′，再通过测量B′C′B'C'B′C′并放大得到实际BCBCBC。这个过程，本质上就是用“几何作图”的方法，替代了未来的“三角函数计算”。当学习了锐角三角函数后，我们就可以直接用BC=AC×tan⁡(∠BAC)BC=AC\times\tan(\angleBAC)BC=AC×tan(∠BAC)计算出结果，而无需再画图测量。这体现了数学从特殊到一般、从具体到抽象的发展过程。六、【综合素养检测】典型例题精析（一）例题1：影子问题（考察影长法及分类讨论）【题目】：某一时刻，身高1.6米的小明在阳光下的影长为0.8米。同一时刻，他身旁的一棵树，其落在地面上的影长为2.4米，落在墙上（与地面垂直）的影长为1.2米。求这棵树的高度。●【考点】：影子不全落地的处理。●【分析】：墙上的影长CD=1.2CD=1.2CD=1.2米，直接对应树高的一部分BDBDBD。我们需要求出树在地上的影子BC=2.4BC=2.4BC=2.4米对应的那部分高度ABABAB。●【解答】：1.设树在地面上的影子BCBCBC对应的高度为ABABAB米。2.根据同一时刻，物高与影长成正比，得：ABBC=小明身高小明影长\frac{AB}{BC}=\frac{\{小明身高}}{\{小明影长}}BCAB​=小明影长小明身高​AB2.4=1.60.8\frac{AB}{2.4}=\frac{1.6}{0.8}2.4AB​=0.81.6​3.解得AB=1.60.8×2.4=2×2.4=4.8AB=\frac{1.6}{0.8}\times2.4=2\times2.4=4.8AB=0.81.6​×2.4=2×2.4=4.8（米）。4.树的总高度H=AB+BD=4.8+1.2=6.0H=AB+BD=4.8+1.2=6.0H=AB+BD=4.8+1.2=6.0（米）。●【答案】：这棵树的高度为6.0米。（二）例题2：双观测点问题（考察方程思想）【题目】：如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度。他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上。已知DE=0.5米，EF=0.3米，测得目测点C到旗杆底部B的距离CB=15米，眼睛到地面的高度DC=1.5米。求旗杆AB的高度。●【考点】：相似三角形的构造与方程组的应用。●【分析】：过D作AB的垂线，构造出两个相似直角三角形。●【解答】：1.如图，过点D作DG⊥ABDG\perpABDG⊥AB于点G，交EF于点H。2.由题意，四边形DCBG是矩形，所以GB=DC=1.5GB=DC=1.5GB=DC=1.5米，DG=CB=15DG=CB=15DG=CB=15米。3.在Rt△DEF和Rt△DGA中，∵EF∥AGEF\parallelAGEF∥AG（都垂直于地面），∴∠EDF=∠ADG\angleEDF=\angleADG∠EDF=∠ADG（同位角相等），又∵∠DFE=∠DGA=90∘\angleDFE=\angleDGA=90^\circ∠DFE=∠DGA=90∘，∴△DEF∼△DAG\triangleDEF\sim\triangleDAG△DEF∼△DAG。4.由相似三角形的性质，得：AGEF=DGDF\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DF}EFAG​=DFDG​在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF=DE2+EF2=0.52+0.32=0.25+0.09=0.34=3410米（可暂保留小数或无理数）DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{0.5^2+0.3^2}=\sqrt{0.25+0.09}=\sqrt{0.34}=\frac{\sqrt{34}}{10}\{米（可暂保留小数或无理数）}DF=DE2+EF2<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,704.7,510.7,1060.3,512,1067l00c4.7,7.3,11,11,19,11H40000v40H1012.3s271.3,567,271.3,567c38.7,80.7,84,175,136,283c52,108,89.167,185.3,111.5,232c22.3,46.7,33.8,70.3,34.5,71c4.7,4.7,12.3,7,23,7s12,1,12,1s109,253,109,253c72.7,168,109.3,252,110,252c10.7,8,22,16.7,34,26c22,17.3,33.3,26,34,26s26,26,26,26s76,59,76,59s76,60,76,60zMHv40hz">​=0.52+0.32<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,704.7,510.7,1060.3,512,1067l00c4.7,7.3,11,11,19,11H40000v40H1012.3s271.3,567,271.3,567c38.7,80.7,84,175,136,283c52,108,89.167,185.3,111.5,232c22.3,46.7,33.8,70.3,34.5,71c4.7,4.7,12.3,7,23,7s12,1,12,1s109,253,109,253c72.7,168,109.3,252,110,252c10.7,8,22,16.7,34,26c22,17.3,33.3,26,34,26s26,26,26,26s76,59,76,59s76,60,76,60zMHv40hz">​=0.25+0.09<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=0.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=1034<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​米（可暂保留小数或无理数）为了计算简便，这里我们利用相似也可以避开求DF。由△DEF∼△DAG\triangleDEF\sim\triangleDAG△DEF∼△DAG，其相似比也可以表示为对应直角边的比：AGEF=DGDF\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DF}EFAG​=DFDG​同时，在△DEF中，DE和EF已知，我们也可以用对应边的关系：AGEF=DGDE？不对，AG对应EF，DG对应？需要找准对应边。\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DE}\{？不对，AG对应EF，DG对应？需要找准对应边。}EFAG​=DEDG​？不对，AG对应EF，DG对应？需要找准对应边。更准确地，由△DEF∼△DAG\triangleDEF\sim\triangleDAG△DEF∼△DAG，对应顶点：D↔DD\leftrightarrowDD↔D，E↔AE\leftrightarrowAE↔A，F↔GF\leftrightarrowGF↔G。所以对应边比例：DEDA=EFAG=DFDG\frac{DE}{DA}=\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}DADE​=AGEF​=DGDF​。我们用EFAG=DFDG\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}AGEF​=DGDF​，但DF未知。或者用DEDA=EFAG\frac{DE}{DA}=\frac{EF}{AG}DADE​=AGEF​。更直接的方法：过E作EM⊥DGEM\perpDGEM⊥DG于M，则四边形EMGH是矩形。在Rt△DEM中，DM=?不好求。换一种思路：利用相似三角形对应高的比等于相似比。∵EF\parallelAG，∴点D到EF的距离（即DH）与点D到AG的距离（即DG）之比等于相似比。过D作EF的垂线，垂足为H，则H在EF的延长线上？EF是水平放置的，DE是斜边。H应该是过D作EF所在直线的垂线。不太好理解。回到最初的比例：AGEF=DGDF\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DF}EFAG​=DFDG​。由勾股定理，DF=DE2−EF2?DF=\sqrt{DE^2EF^2}?DF=DE2−EF2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​?不对，DE是斜边还是EF是斜边？题目说“斜边DF”，所以DF是斜边。则DF=DE2+EF2=0.52+0.32=0.34DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{0.5^2+0.3^2}=\sqrt{0.34}DF=DE2+EF2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=0.52+0.32<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=0.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。这是一个无理数，代入后计算繁琐。但我们可以保留平方。在实际解题中，我们通常利用另一个比例关系：AGEF=DGDF\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DF}EFAG​=DFDG​和DH?\frac{DH}{?}?DH​不常用。另一种更常用的解法是：由△DEF∼△DAG\triangleDEF\sim\triangleDAG△DEF∼△DAG，我们也可以得到：AGEF=DGDE\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{DE}EFAG​=DEDG​？对应边：AG对应EF，DG对应DE？检查：在△DEF中，∠D所对的边是EF，在△DAG中，∠D所对的边是AG，所以EF和AG是对应边。∠E和∠A是对应角，∠E所对的边是DF，∠A所对的边是DG，所以DF和DG是对应边。因此比例应为：EFAG=DFDG和DEDA=DFDG\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}\quad\{和}\quad\frac{DE}{DA}=\frac{DF}{DG}AGEF​=DGDF​和DADE​=DGDF​还是无法避免DF。所以这个题目设计的初衷，可能是为了让学生练习“对应边要找准”。我们继续用这个比例：EFAG=DFDG⇒0.3AG=0.3415\frac{EF}{AG}=\frac{DF}{DG}\Rightarrow\frac{0.3}{AG}=\frac{\sqrt{0.34}}{15}AGEF​=DGDF​⇒AG0.3​=150.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​解得AG=0.3×150.34=4.50.34AG=\frac{0.3\times15}{\sqrt{0.34}}=\frac{4.5}{\sqrt{0.34}}AG=0.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​0.3×15​=0.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​4.5​。为了简化，将0.34写成分数34100\frac{34}{100}10034​，则0.34=3410\sqrt{0.34}=\frac{\sqrt{34}}{10}0.34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=1034<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​。AG=4.5×1034=4534=453434AG=4.5\times\frac{10}{\sqrt{34}}=\frac{45}{\sqrt{34}}=\frac{45\sqrt{34}}{34}AG=4.5×34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​10​=34<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​45​=<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5