山东省临沂市2025-2026学年高二下学期期末学科素养水平监测数学试卷（含解析）

山东临沂市2025-2026学年高二下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．函数求导正确的是（

）A．， B．，C．， D．，3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的大致图象是（

）A． B． C． D．5．某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为（

）A．120 B．144 C．240 D．3367．，使成立，则（

）A． B． C． D．8．已知二项式的展开式中所有项的系数和为128，若，且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7二、多选题9．若，则（

）A． B． C． D．10．根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（

）A．决定系数变小 B．残差平方和变小C．相关系数变大 D．相关系数变小11．已知函数，则（

）A．的值域为B．关于的方程有3个实数根C．当时，关于的方程有4个实数根D．若函数，则对于，都有三、填空题12．已知函数.其中为正实数，则__________．13．若函数满足，且，则__________．14．在维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标（，，…，），其中（，）．定义：在维空间中两点（，，…，）、（，，…，）的曼哈顿距离为．在3维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________．四、解答题15．为研究学生的课外阅读情况对数学成绩的影响，某学习小组从该校高二全体学生中随机抽取100名学生开展问卷调查．调查规定：每周有固定课外阅读时间的学生记为“坚持课外阅读”，否则记为“不坚持课外阅读”；根据学生的数学成绩，分为“优秀”和“不优秀”两类．经统计得出如下列联表：单位：人数学成绩课外阅读合计不坚持课外阅读坚持课外阅读不优秀402060优秀103040合计5050100(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与坚持课外阅读有关联？(2)在统计中，常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，称为似然比．现从这100人中任选一人，表示“选到的人坚持课外阅读”，表示“选到的人数学成绩优秀”，请利用样本数据，估计．附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型进行拟合．根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，．7.322.280.264.7013.242.82(1)根据模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为多少人？（精确到1）(2)现从全国同类企业中随机调研12家，已知每家企业能达到（1）中收益增量水平的概率为0.7，且各企业是否达标相互独立．记这12家企业中达到该收益增量水平的企业数为．求的数学期望，并求使得概率取得最大值的正整数．附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，．17．已知函数．(1)求的定义域；(2)若函数的图象关于直线对称，求，；(3)解关于的不等式．18．现有标号为的10张质地、大小完全相同的卡片，充分混合后从中一次性取张卡片，记抽取的张卡片中标号的最大值为随机变量（，）．(1)求在“”的条件下“取得的卡片中标号最小值为2”的概率；(2)求的分布列，并借助该分布列证明：；(3)求．19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若恒成立，求的取值范围．

参考答案1．B【详解】，又，故，，则.2．C【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.3．D【详解】由题可知，，根据指数函数单调递增，所以，当时，，所以不是的充分条件；当时，满足，但，因此，是的既不充分也不必要条件.4．A【详解】由题可知，函数的定义域为，则当时，，，所以；当时，，，所以，则选项C错误；又当时，指数的增长远快于，所以当时，，则选项B和选项D错误.5．B【详解】的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.且，.所以.6．B【详解】把丙丁看成一个整体，丙丁之间有种排列方式，此时相当于有丙丁整体和另外2名同学，共3个元素进行全排列，排列数为种，这3个元素排好后，会形成4个空位（包括两端），从中选2个空位安排甲乙，保证甲乙不相邻，排列数为种，将各步骤结果相乘得到，故选项B正确.7．C【详解】令，，令，解得（），当时，，在上是单调递减函数，当时，，在上是单调递增函数，即函数在时取极小值且为上的最小值，令，则；，则；，则，即在上的最大值为，若使得不等式成立，则即可，即，解得，即，即，故选项C正确.8．A【详解】将代入，得所有项系数和为.因为，因此得.已知，正态分布的正态曲线关于直线对称，本题中，即对称轴为.由得，说明关于对称轴对称，根据正态分布对称性，又，因此.9．ACD【详解】由可知，且.选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确；选项B：因为，所以，，因此，B错误；选项C：由，可得，，由得，C正确；选项D：变形不等式，已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确.10．AD【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差；选项A，决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，A正确；选项B，残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，B错误；选项C，越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，C错误，D正确11．ABD【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则.对选项A：∵.∴当时，，故.当时，，故.∴的值域为，A正确.对选项B：令，方程转化为.解得（舍去），即，故或.∵时，，共个解.时，，共个解.∴方程共有个实根，B正确.对选项C：令，方程转化为，判别式.当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，.若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误.对选项D：当时，，显然在上单调递减.∵时，，且，即.∴，即，D正确.12．【详解】，.13．【详解】因为，所以，两式相加得，则，所以函数的周期是6，因为，所以.14．【详解】∵3维立方体共有个顶点，任取两个不同顶点的总取法为.随机变量的可能取值为1，2，3.当时，两点仅有1个坐标分量不同，其余2个坐标分量相同，∴满足条件的点对数量为，故.当时，两点有2个坐标分量不同，剩余1个坐标分量相同，∴满足条件的点对数量为，故.当时，两点3个坐标分量均不同，∴满足条件的点对数量为，故.∴，，∴.15．(1)数学成绩与坚持课外阅读有关联(2)【详解】（1）零假设：数学成绩与坚持课外阅读无关．易知．依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为数学成绩与坚持课外阅读有关联，该推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由题意可知，，，所以．16．(1)，26人(2)8.4，【详解】（1）根据题意知：，所以，则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为，由题意，，解得，又为整数，所以要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为26人．（2）由题意，，．法一、作商法：．令，即时单调递增，时单调递减，故使得概率取得最大值的正整数．法二、不等式组，则，化简得，解得.故使得概率取得最大值的正整数．17．(1)(2)，(3)【详解】（1）由，即，解得或，得到的定义域为．（2）由（1）可知，的定义域为.因为函数的图象关于直线对称，所以，则，即，所以，从而，解得，故，．（3）①当时，，易知在和在上均单调递增，由复合函数的单调性知在为增函数，则等价于，即，记，显然为上的增函数，，所以．②当时，，此时，，所以当时，成立，综上所述，不等式的解集为．18．(1)0.3(2)5678910由分布列的概率性质可知，则；(3)【详解】（1）设事件“”，“取得的卡片中标号最小值为2”，则，，所以；（2）由题设，的可能取值有，且，，，，，，分布列如下：5678910（证明略）（3）由题设，的所有可能取值为，，…