概论统计课程知识要点

概论统计课程知识要点

知识点一

1、已知尸(A)=0.3,1(8)=0.5,1(AU8)=0.6,则P(丽)=0.1.

2、设4与6为独立事件，且P(A)>0,尸(8)>0,则关系成立的是P(5|A)>0；

P(A|5)=P(4)：P(AB)=P(A)P(B).

3X

服从（）

3、设两独立随机变量X〜M0,l），丫~%2（9）,则17r9

4、假设随机变量X的分布函数为尸（x）,密度函数为了（幻，若X与-X有相同的分布函

数，则正确的是/（幻=/（-/）.

4x3,()<x<l

5、设随机变量X有密度函数fM=廿…，使得概率P(X>a)=P(X<a)

0,具匕

的常数a=痘.

6、将一枚硬币重复掷〃次，以X和V分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与丫的

相关系数等于-1.

7、如果x,y满足o（x+y）=o（x-y）,则必有x与y不相关

8、某人向同一个目标独立重复进行射击，每次射击命中目标的概率为〃（0<〃<1）,则此

人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为3P2（1-〃）2

9、对任意随机变量X,若EX存在,则E[E（EX）]等于EX.

I?

10.在区间（0,1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于一的概率为一.

23

11、某厂卡车运送防“雾霾”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用

口罩、3箱消毒棉花.到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打

开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

解：A：任取2箱都是民用口罩，

线一丢失的一箱为A攵=1,2,3分别表示民用口革，去用U罩，消毒棉花.

P（A）=£P（4）P（A也）

1=1

IC\3C；1C；8

2C；10C；5C；36

P(闻A)=P(幻P(川即/P(A)

1c2383

-----=—

2C；36368

12、设随机变量X的密度函数为/（x）=Y—,求:

e+e

（1）常数A；（2）P{0<X<-ln3}；（3）分布函数尸（外.

2

解：（1）由［:=1

即「：一公"广福了。—亡竹3

2

所以4=*.

7T

⑵小<X<fn3卜沙"

71九1+(/厂

♦.arctane十二仔.

7T1°万(3416

7出

(3)分布函数F(x)=J二/⑺力=££=-arctan^x.

e'+e~'7T

13.设随机变量（x,y）的联合密度函数

A0<x<2,|y|<x

fix.），）=«

0其它

求⑴常数4；（2）条件密度函数4X3幻；（3）讨论X与y的相关性。

解：⑴由于4dy=l

得4=1/4.

⑵/xa)=「/(x，y)d)，=J04)d)，=w：0<x<2

J-8|0其他

当0<x<2时，加>)=个普={"(j)-x<y<x

JXWU其他

(3)E(X)=((//2)公=4/3,E(Y)=J：办j：(y/4)^=0,

E(XY)=J：回：()，/4)办=0,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0

所以x与y不相关.

14、设随机变量(x.y)的概率分布列为

Y

012

X

00.100.2

100.10.2

20.200.2

求U二乂一丫》=*+丫，求［/和丫的协方差.

解：容易算得

02r012

X~Y-

0.30.30.4J,0.30.10.6

易知：EX=\A,EY=\.3EX2=1.9EY~=2.5

DX=EX?-(EXy=0.69,OY=0.81

COV(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=E(X-Y)(X+Y)-E(X-Y)E(X+Y)

=E(X2-r2)-(EX-EY)(EX+EY)=EX2-EY2-[(EX)2-(EK)2]

=DX-DK=0.69-0.81=-0.12

x>0,y>0

15、设二维随机变量（X））的联合密度函数/（x,y）=<

0,其他

求Z=max{X,V}的密度函数.

解：由于

2e~2xe~yy>0

fx(x)=,xx><°0Af（>，）、=

00y<0

则随机变量x,y相互独立，而且有

2,v

Fv(x)=£fx(f)dt二2e'dt=I-e力,Fy(y)=£fy(t)dt=^e'dt=1-e-,

弓⑶=P{max(X,Y)<z}=P{X<z,Y<z]

当z>0时,

=P\X<z\P\Y<z}=Fx(z)耳(z)

2:：2:::2:3z

f,(z)=fx(z)FY(z)+Fx(z)fY(z)=2e-(l-e-)+(\-e-)e-=e~+2e--3e~

e~z4-2e~2:-3e3zz>0

故%（Z）=

0其他

16、设总体X的概率分布列为:

X0123

PB2p(l-p)j1-2P一

其中〃（0<p<l/2）是未知参数。

利用总体X的如下样本值：

1,3,0,2,3,3,1,3

求(1)p的矩估计值：(2)/)的极大似然估计值。

8

解(1)X=^X,=16/8=2

1=1

令E(X)=3-4p=X,

得〃的矩估计为p=(3-X)/4=l/4.

(2)似然函数为

Up)=立P(X=再)=P(X=0)1P(X=I)]2P(X=2)[P(X=3)「

l-l

=4/(12〃)4

InL(p)=In4+6In/?+21n(l-p)+41n(l-2/7)

622

令[lnL(p)r=?一;------——=0

p1-p\-2p

=12/72-14^4-3=0

=>/?=(7±<13)/12.由0<pvl/2,故〃=(7+屈)/12舍去

所以p的极大似然估计值为力=(7-713)/12=0.2828.

17、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数/(人，y)=16九，求

0,其他

(1)x,y的边缘密度函数；(2)当、=■!■时，y的条件密度函数4|x()'x=；)；(3)

33

P(X+Y<\).

解：⑴当0cx<1时,/xaxJhwynGxa-x)

故

6x(1—x)0<x<1

A(x)=lo其他

当0vy<1时，/>，(')=£()xdx=3y2

故力'°')30

其他

113

⑵当工<”1时,fY(y\X=-)=-^—=-t

33AO2

J

(31,

I——<y<1

故人(yix=q)=《23'•

3[o其他

,、fl/2l-xl/21

(3)P(X+Y<\)=£6.也Jf,分'=上f6X(1-2A)^=-.

18、设随机变量X~N(O,1),求y=2X?+1的概率密度。

解：随机变量X的概率密度为

]上

f(x)=,—e2(-co<A<-Ko)

设随机变量y的分布函数为6(v),则有

12

FY(y)=P{Y<y}=P{1X+1<PX

当yKl时，Fr(>')=0;

加力母(),)=后产.显才号丁?

i子

所以/r(y)=p7^'：y-l)y>，

Io，yG

„[(6^+l)(x—5)°5<x<6八八

19、已知随机变量X的密度函数为/(X)=|八廿//(°>°),

0其他

其中夕均为未知参数，求e的矩估“星与极大似然估计星.

解:EX=J：x(0+\)(x-5/dx=J；xd(x-5)°“=6-£(x-5)〃”公=6—

故。的矩估计量为@=_1^_2

6-X

似然函数=n/（工网=（e+1）"口（七一5）",

;=1

故

InL(0)=nIn(l+。)+〃汇1］】(七—5)

四@=—+力n(；_5)=0

dei+夕白’

夕的极大代1然估t十量为3=-——---------1

Xln(X,.-5)

f-1

20、进行4次独立试验，在每次试验中4出现的概率均为0.3。如果A不出现，则8也不

出现；如果A出现一次，则6出现的概率为。6；如果A出现不少于两次，则8出现的概

率为U试求：

（1）4次独立试验中A出现i次的概率（OWi44）；

（2）8出现的概率:

(3)在6出现的情况下，A出现一次的概率。

解：记X为4次独立试验中A出现的次数，

(1)

P(X=i)=C：0.3'0.7i,i=0,1,2,3,4;

(2)

P(8)=tp(X=i)P(4|X=i)

1=0

4

=C1.0.3•0.73•0.6+C*0.3z.0.74-/

i-2

=0.59526

(3)

P(X=1)P(B|X=1)C：.0.3•ONOE

P(X=1|8)==0.4149

P(B)0.59526

21、设二维随机向量（x,y）的联合密度函数为

C,0<x<l,x2<y<x

/(羽y)=«

0,其它

试求：（1）常数C：

（2）求边缘密度函数八（工）,AU），并讨论x和y的独立性;

(3)P(2K<X)

解：(1)由C［：dxJ；dy=l得C=6

6(x-/),0<x<1

⑵fxM=\

0,其它

6(77-y),0<y<1

(3)fv(y)=

o.其它

由于f(x,y)WfxMfY(y),则X和y不独立。

(3)P(2Y<X)=^dxj\6(ly

1

=-

8

知识点二

一.填空

1.a=生时，p(X=m)=a•0.2"；tn=1,2,...才能成为随机变量X的分布列。

2.若X~N卬、？),则三二名服从N(O,1)分布。

(7----------

3.向指定的目标射击三枪，用4,42，43分别表示第一、第二、第三枪击中目标，则只击中

第一枪可表示为AAA。

4.设X为随机变量，且EX=2,则E(2X+1)=5。

5.对事件4,B,如果满足_2(48)=P(4/(3)一则称事件48相互独立。

6.设随机变量X〜p(㈤，则P(X=i)=4e〃，i=0,1,2,…。

/!

7.若X~N(〃,cr2),则3二K服从N(0』)分布。

8.向指定的目标射击三枪，用％,A2,&分别表示第一、第二、第三枪击中目标，则三枪均

未击中可表示为凡&兄。

二.解答题

kx2,0<x<10,

1.设随机变量X的分布密度是/(幻=

0,其它

求(1)常数k(2)〃(3vX<5)(3)X的分布函数。

-HJO

解：(1).由]/。)心=1,所以，

-x-

k=^-.⑵.p[3<X<5)=ff(x)dx=

0.098

1000人

(3)F(x)=£

当x<0时，F(x)==J'Ot/r=0

当OvxWlO时,F(x)-[f(t)dt-fOdt+f——=---x

J-J-J。10001000

当x>10时，F(x)=fX=

J—00

0,x<0

综上可得：尸")=.1:

io66A0<x<10

x>10

2.设总体X服从正态分布,其中〃及o■是未知参数。若样本观测值为

X],修，…,簿，求参数〃及。的矩估计值»

解：•・・E(X)=押E(X2)=D(X)+[E(X)]2=a2+*

令T2元/+/=挣,.,

_1«__

得〃及o■的矩估计值为。=x,a2=—Yx/-x~2

〃,=i

3.设甲袋中有四个红球及两个白球，乙袋中有五个红球及三个白球，从甲袋中任取一球(不

看颜色)放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求最后从乙袋中取空红球的概率。

解：以A表示“从甲袋中取得红球”，以B表示“从乙袋中取得红球”，由全概率

--17

公式得P(B)=P(A)P(81A)+P(A)P{B\A)=—

27

4.三人独立的去破译一份密码，他们能破译出这份密码的概率分别为0.2,0.4,0.3,问能

将此密码译出的概率是多少？

解：以A,B,C分别表示：“三人各自能破译出密码”则所求概率为

〃(AU8UC)=1—/XMJBUC)=1-p(A)p(B)p(C)=l-O.8xO.6xO.7=0.6644.设

离散型随机变量X的概率函数为

X9101112

p,0.20.30.40.1

求y=4X和Z=X2的分布律。

解：由于y=4X,因此，y可能取值为36,40,44,48。Y的分布律为:

Y36404448

0.20.3