武汉理工数字信号处理试卷A

武汉理工人学考试试题纸〔A卷〕

课程名称数字信号处理A专业班级电信科0701-02

题号——四五六七八九十总分

题分121212101012121010100

备注：学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、(1)判断系统-1)-31伽一6)是否为线性、时不变、因果、稳定系统，说明理由，其

中，式〃)与)，(〃)分别为系统的输入与输出。(8分)

乃

(2)判定信号"5)=sin(4竺〃+1)周期性;假设是周期的，确定它的周期。(4分)

二、一因果LTI系统由常系数线性差分方程

描述，试答复以下问题

⑴当输入为x(〃)=S(〃-1),求系统的输出，并判断系统是否为稳定系统；(8分)

(2)求系统的单位阶跃响应g(〃)(即当输入为〃(〃)，系统的输出)。(4分)

三、(1)求序列的Z变换，指出收敛域，画出零极点图，并指出序列的傅里叶变

换是否存在。(6分)

l-0.5z-',|z|>g的逆Z变换。(6分)

(2)求X(z)=

〃+1,0W〃W4

四、设1(〃)=h(n)-

0,其他〃

令x(n)=x((n))6Ji(n)=h((n))6，试求£〃)与h(n)的周期卷积并作图。(10分)

五、导出N=8时按时间抽取的基2-FFT的算法，并画出流图(时间抽取采用输入倒位序，输出自然

数顺序)。(10分)

六、画出差分方程表示的离散时间系统的直接i型、直接n型，级联型和并联型的信号流程图.(奴

联型和并联型只用1阶节))，(〃)一？)，(〃一1)+2武〃-2)=工(〃)+士工(〃-1)(12分)

663

七、模拟滤波器的传输函数H,(s)二市g二j,试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转

换为数字滤波器，取样周期7=2s,并比拟两种方法设计数字滤波器的优缺点。(12分)

八、分别说明窗函数法和频率采样法设计FIR滤波器的原理和步骤，并说明其优缺点。(10分)

九、对三个正弦信号/(f)=cos2k,42«)=一COS6;Z7,%«)=COS正加进行理想采样,采样

频率为。$二8"。求三个采样输出序列，比拟这三个结果。画出乙W),xa2(t),匕3(。的波形及采

样点位置，并解释频谱混淆现象。(10分)

以汉理工人学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称数字信号处理〔A卷〕

一、解：(1)首先判断系统是否是线性系统，假设在％(〃)和/(〃)单独输入时的输出

分别为y5)和M即：

那么当输入为X(〃)=⑶式〃)+法2(〃)时，系统的输出为

所以系统是统性系统。(2分)

下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为x(〃)，系统的输出

当系统的输入为%5)二大(〃一〃2)时，系统的输出

由此可得系统是时不变系统，所以该系统为线性时不变系统。(2分)

接下来判断系统是否为因果系统，y(〃)与—和x(〃—6)有关，由因果系统的定

义可知，该系统为因果系统。(2分)

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即

此时输出满足

因此系统为稳定系统。(2分)

(2)①。二44,，那么2——71=2兀•5——二5一为有理数，5和2没有公因子，所以周期N=5；

5%4n2

【4分)

二、解：(1)因为该LTI系统是因果的，且双())=(),〃<1,所以>(())=(),以此条件

作为初始条件，先求出

再由y(l)值及输入推导义2),并依次推导得y(3),y(4)…。因而有:

故系统的输出为

即

/［、"-1

y(n)=-tt(n-l)(6分)

、3,

由系统的时不变性可知，当输入为=5(〃),系统的单位脉冲响应为

因为£做〃)|二x得=|<0°»

所以系统是稳定的。(2分)

-co\^/w=0\/乙

(2)单位阶跃响应为输入〃(〃)与6(〃)的卷积，即

g(〃)=h(n)*〃(〃)=f—1u(n)*u(n)=~-—u(ri)(4分)

⑶1-1/3

三、由z变换的定义，

X(z)=名x(n)z-n=£(一1/2)”〃(-〃-2”-"

"=­X

=N(7/2)"Z-"=£(-1/2)-〃Z"

“=F"=2(3分)

=£(-1/2)-"2〃+2=4Z2£(—2Z)"

n=0w=0

二4z?

~l+2z

假设该序列收敛，那么要求卜2z|<l,即收敛域为：Mcg。X(z)在原点有一个两阶零点

z,=0,极点为z=—1/2,那么零极点图(收敛域为阴影局部)如下图。

由于X(z)为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：序列是左边序列(〃>%=-2

时x(〃)=0),X(z)只有一个极点，模为1/2,那么收敛域是忖<1/2,因为“二一2,那

么收敛域包含z=()。

因为收敛域不包括单位圆，所以傅里叶变换不存在。(3分)

图X(z)的零极点图及收敛域

(2)解法一：留数法

从收敛域目>0.5可以看出，工⑺是因果序列，即当〃<0时，x(/?)=0o

当“20时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(Z)Z”T在围线内的极点

马二一1/4和22=-1/2如题2解图(2)所示，因为

题2解图⑴题2解图(2)

所以

综上，

解法二：局部分式展开法

由于收敛域为所以

-<1Y(iY-

x(n)=4•［一］-3-^-—〃(〃)(6分)

四、可以用列表法求解，在一个周期内

x(tn)和-ni)如表所示，

/:(n-Xi(W)

123450y(n)

0、01111014

100111112

210011110

31100118

41110016

511110010

只要将表中对应于某个〃的一行中的〃（〃-加）值和第一行中与之对应的£（，〃）值相乘，然后

再将所有乘积结果相加,就得到此〃的双〃）值。双〃）如下图。

N/2仍为偶数，进一步分解：N/2,N/4

X,(2/)=X3(Z)

X]⑵+1)=%4(。

x,a)=x3a)+w^2x4a)

'N.

X,a+-)=X3(^)-W；/2X4/)12分)

'x2w=x5a)+w,i；2x6(/：)

,N,

X2(k+-)=X5(k)-W^/2X6(k)

六、⑴直接I型根据系数瓦确定结构。

―►­

工(〃)1

Z_,z-

2/3

z-1

(3分)

直接I型结构图

⑵直接II型对直接I型改良，合并延迟单位。

x(〃)7(/0

z

5/6

Z-1

(3分)

直接n型结构图

1+-Z

级联型：将系统函数写成“(z)=—2_1

⑶-x-j—

1——Z

x(n)

(3分)

一阶节级联型结构

7-6

(4)并联型：系统函数写成局部分式形式〃(z)=

23

7

(3分)

一阶节并联型结构

七、脉冲响应不变法z=e",双线性不变法z=-,c=2/T.

c-s

(1)脉冲响应不变法

"⑶=T—+浸”2=2-2

工V（4分）

1o-I1cL

\-e-z

(2)双线性变换

1+2z-14-z-2

H(z)=H(s)\--(4分)

a2-1

J1-Z6-2z

13）冲激响应不变法的主要优点：时域逼近良好；模拟频率。和数字频率3之间呈线性关

系,即3=。「一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器：缺点:

有频率响应混叠效应，只适应于限带的模拟滤波器。

双线性变换法的主要优点：防止/频率响应的混叠效应；缺点：模拟频率。和数字频率3之

间呈非线性关系，即Q=Ctan^j1C为常数）。（4分）

八、窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的幻（〃），这样得

到的频率响应逼近于理的频率响应斤d（〃“）。

窗函数法的设计步骤：

（1）给定希望逼近的频率响应函数”式"'"）；

（2）求单位脉冲响应力d（〃）；（//（〃）=’-I'"d）

2万J

（3）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度N。

（4）计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应：

（5）由〃（〃）求FIR滤波器的频率响应”（/'"）,检验是否满足设计要求。（3分）

窗函数设计的优缺点

优点：窗口设计法简单、方便、实用。

缺点：通带和阻带的截止频率不易控制；假设Hd（/°）不能用简单的函数表示，那么很

难求出/%5）。（2分）

频率采样法是从频域出发，把给定的理想频响〃d（d"）加以等间隔抽样，然后以此

"d（幻作为实际