2026高二数学暑假

2026新高二数学暑假衔接训练｜函数·图像·解析式·单调性·导数预备第页2026新高二数学暑假函数导数预备训练60题图像性质·解析式·单调性｜答案详解与关键步骤评分点项目内容适用对象新高二学生、数学教师、暑期培优班使用场景暑期承上启下、开学前诊断、课堂讲评、错题二刷资料构成知识预备讲义＋基础20题＋提升25题＋综合15题＋答题卡＋60题详解＋评分点＋复盘表＋12日计划训练积分基础40分＋提升75分＋综合60分，共175分；用于记录进步，不对应统一考试满分三步使用方法第1步｜先看知识预备讲义，用15—20分钟补齐函数表达、图像变换、单调性和变化率基础。第2步｜按“基础—提升—综合”顺序作答。首次训练不查答案，在答题卡记录用时与把握程度。第3步｜依据评分点订正，在错因归类表登记；间隔2—3天完成二刷并比较得分与用时。说明：本资料为原创暑期衔接训练材料，不等同于学校试卷。涉及导数的题目以“平均变化率—差商—瞬时变化率—切线”建立直观认识。

1.使用导读与训练路线1.1目录序号模块1使用导读与训练路线2函数与导数预备知识讲义3基础训练20题4提升训练25题5综合训练15题6答题卡与成绩登记7答案详解与关键步骤评分点8错因归类、二刷记录与12日训练计划1.2训练层级层级题号重点积分基础20题1—20概念、定义域、函数值、图像基本特征、简单平均变化率每题2分，共40分提升25题21—45分段函数、参数、单调性、解析式、差商、切线与简单建模每题3分，共75分综合15题46—60多步骤建模、图像性质整合、参数范围、优化、变化率解释每题4分，共60分1.3作答规则①解析式题必须写出必要的设元、代入或变形过程；只写最终式可能无法获得全部步骤分。②区间题注意端点是否取到；函数定义域、实际情境范围和分段条件均要核对。③图像题至少标明顶点、对称轴、零点或关键交点，并保证开口方向、对称关系正确。④变化率题先写“函数值之差÷自变量之差”；差商中h≠0，但可讨论h越来越接近0的趋势。2.函数与导数预备知识讲义2.1函数四要素速查要素含义常用检查定义域自变量允许取值的集合根号内≥0；分母≠0；实际量满足情境限制对应关系输入x后怎样得到唯一的y解析式、表格、图像、分段规则都可以表达值域函数值y可能取到的范围可利用图像、配方、单调性或实际范围判断图像所有满足y=f(x)的点(x，y)组成的集合关键点＋变化趋势＋对称性共同决定草图2.2常见函数图像与性质类型图像印象核心性质一次函数y=kx+b直线k>0递增，k<0递减；b为y轴截距二次函数y=a(x-h)²+k抛物线顶点(h，k)，对称轴x=h；a决定开口方向和宽窄反比例函数y=k/x双曲线k>0位于第一、三象限；在每个同号区间上递减绝对值函数y=|x-h|+kV形顶点(h，k)，关于x=h对称，最小值为k分段函数由多条规则拼接先判断x所在区间，再使用对应解析式；边界点尤其重要2.3图像变换口令平移与伸缩左右平移看括号：y=f(x-h)表示向右平移h；y=f(x+h)表示向左平移h。上下平移看整体：y=f(x)+k表示向上平移k；y=f(x)-k表示向下平移k。关于坐标轴对称：y=f(-x)是原图关于y轴对称；y=-f(x)是原图关于x轴对称。绝对值外置：y=|f(x)|把原图在x轴下方的部分翻到上方。2.4单调性、奇偶性与最值概念判定使用要点单调递增x变大时f(x)也变大比较函数值前必须确认自变量位于同一单调区间单调递减x变大时f(x)反而变小二次函数通常以对称轴为分界偶函数f(-x)=f(x)图像关于y轴对称奇函数f(-x)=-f(x)图像关于原点中心对称；若0在定义域内，则f(0)=0闭区间最值比较区间内关键点与端点二次函数顶点在区间内时仍需检查端点2.5从平均变化率到瞬时变化率变化率四步链平均变化率：函数在[a，b]上的平均变化率为[f(b)-f(a)]/(b-a)，对应割线斜率。差商：在x处取一个很小的增量h，差商为[f(x+h)-f(x)]/h，要求h≠0。瞬时变化率：当h越来越接近0，差商如果趋近某个确定值，该值刻画函数在该点的瞬时变化快慢。切线：瞬时变化率可理解为曲线在该点切线的斜率；切线方程常用点斜式y-y₀=k(x-x₀)。2.6公式清单名称表达式两点斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，x₁≠x₂二次函数顶点式y=a(x-h)²+k，顶点(h，k)，对称轴x=h一元二次方程判别式Δ=b²-4ac；Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根平均变化率[f(b)-f(a)]/(b-a)差商[f(x+h)-f(x)]/h，h≠0点斜式y-y₀=k(x-x₀)

3.基础训练20题建议用时35分钟。重点检查函数基本概念、图像关键点和平均变化率。1.设集合A={-2，-1，0，1}，按对应关系y=x²求出每个x对应的y，并判断该对应关系能否构成从A到实数集的函数。〔2分〕作答：2.求函数f(x)=√(6-2x)的定义域。〔2分〕作答：3.求函数f(x)=(x+1)/(x-2)的定义域。〔2分〕作答：4.已知f(x)=2x²-3x+1，求f(-1)。〔2分〕作答：5.已知f(x)=3x-5，若f(x)=7，求x。〔2分〕作答：6.将函数y=x²的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，写出所得函数解析式。〔2分〕作答：7.指出函数y=(x+3)²-4的顶点、对称轴和最小值。〔2分〕作答：8.求函数y=x²-5x+6的零点。〔2分〕作答：9.写出函数y=(x-1)²的单调递减区间和单调递增区间。〔2分〕作答：10.设f(x)=(x-1)²，比较f(2)与f(4)的大小。〔2分〕作答：11.判断函数f(x)=x³-4x的奇偶性。〔2分〕作答：12.已知f(x)为偶函数，且f(3)=5，求f(-3)。〔2分〕作答：13.已知f(x)为奇函数，且f(-2)=7，求f(2)与f(0)。〔2分〕作答：14.求直线y=2x+1与x轴、y轴的交点坐标。〔2分〕作答：15.一次函数图像经过点(1，3)和(4，9)，求其解析式。〔2分〕作答：16.二次函数的顶点为(2，-1)，且图像经过点(0，3)，求其解析式。〔2分〕作答：17.求函数y=x²与直线y=2x+3的交点横坐标。〔2分〕作答：18.求函数f(x)=x²+1在区间[1，3]上的平均变化率。〔2分〕作答：19.物体位移s(t)=t²+2t（单位：m），求t从1s到3s的平均速度。〔2分〕作答：20.用长度为20m的绳子围成一个矩形。设一边长为xm，写出面积函数，并求最大面积。〔2分〕作答：

4.提升训练25题建议用时60分钟。重点训练分段、参数、单调性、差商和切线。21.求函数f(x)=√(x+2)/(x-1)的定义域。〔3分〕作答：22.求函数y=3-(x-2)²的值域。〔3分〕作答：23.已知f(x)={x+2（x<0），x²（x≥0）}，求f(-3)与f(2)。〔3分〕作答：24.对第23题的分段函数，解方程f(x)=2。〔3分〕作答：25.说明y=|x-1|+2可由y=|x|怎样平移得到，并写出顶点、对称轴和值域。〔3分〕作答：26.讨论关于x的方程x²-2mx+m²+1=0的实数根个数。〔3分〕作答：27.函数f(x)=(x-a)²在(-∞，2]上递减、在[2，+∞)上递增，求a。〔3分〕作答：28.若函数f(x)=x²+ax+1为偶函数，求实数a。〔3分〕作答：29.已知f(x)为定义在实数集上的奇函数，且f(2)=3，求f(-2)+f(0)。〔3分〕作答：30.已知f(x)在[0，5]上严格递增，f(1)=2，f(4)=7。确定f(3)可能满足的范围。〔3分〕作答：31.利用函数图像思想解不等式x²<4。〔3分〕作答：32.函数f(x)=6/x。比较f(2)与f(3)，并说明f(x)在(0，+∞)上的单调性。〔3分〕作答：33.二次函数的两个零点为1和4，且图像经过点(0，8)，求解析式。〔3分〕作答：34.求函数y=-x²+4x+5在区间[0，5]上的最大值与最小值。〔3分〕作答：35.直线y=kx-1与抛物线y=x²相切，求k。〔3分〕作答：36.设f(x)=x²-3x，求f(x)在[x，x+1]上的平均变化率，并化简。〔3分〕作答：37.设f(x)=2x+5，化简差商[f(x+h)-f(x)]/h（h≠0）。〔3分〕作答：38.设f(x)=x²，化简函数在x=3处的差商[f(3+h)-f(3)]/h（h≠0）。〔3分〕作答：39.根据第38题结果，判断当h趋近于0时，f(x)=x²在x=3处的瞬时变化率。〔3分〕作答：40.用差商求函数f(x)=-x²+4x在x=1处的瞬时变化率。〔3分〕作答：41.函数y=x²在x=1处的切线斜率为2，求该切线方程。〔3分〕作答：42.物体位移s(t)=t²+3t（m）。用差商思想求t=2s时的瞬时速度。〔3分〕作答：43.某产品日利润P(x)=-2x²+40x-120（元），其中x为日销量。求使利润最大的销量及最大利润。〔3分〕作答：44.解不等式x²-4x≤0，并从图像交点角度解释。〔3分〕作答：45.设f(x)=x+1，g(x)=x²，分别求g(f(x))和f(g(x))，并判断二者是否恒等。〔3分〕作答：

5.综合训练15题建议用时60分钟。每题包含至少两个知识环节，须保留建模与推理过程。46.某城市出租车计价规则：行程不超过3km收取10元；超过3km的部分按2.4元/km计费（不考虑其他费用）。设行程为xkm（x>0）。写出费用函数C(x)，并求8km费用。〔4分〕作答：47.某水箱开始时有10L水，之后匀速注水。记录如下：t/min为0，1，2，3；V/L为10，16，22，28。建立V关于t的函数，并求5min时水量。〔4分〕作答：48.二次函数图像的顶点为(1，1)，且经过点(0，3)。求解析式、单调区间，并解不等式f(x)≤3。〔4分〕作答：49.函数f(x)=x²-2ax。若f(x)在[2，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。〔4分〕作答：50.研究函数f(x)=x⁴-5x²+4：判断奇偶性，求零点，并说明零点在图像上的对称特点。〔4分〕作答：51.函数y=(x-1)²-4。求顶点、对称轴、与两坐标轴的交点，并据此写出草图应标出的关键点。〔4分〕作答：52.用24m围栏靠一面直墙围成长方形，只围与墙垂直的两边和与墙平行的一边。设垂直墙的一边长为xm。建立面积函数并求最大面积及对应边长。〔4分〕作答：53.对f(x)=x²，取点A(2，4)和B(2+h，(2+h)²)，h≠0。求割线AB斜率，并说明当h趋近0时它趋近的数。〔4分〕作答：54.用瞬时变化率思想求曲线y=x²-2x在x=3处的切线方程。〔4分〕作答：55.某函数的变化率符号满足：x<1时为正，x=1时为0，x>1时为负。判断函数的单调区间及x=1处的极值类型，并说明理由。〔4分〕作答：56.某物体竖直上抛后的高度h(t)=-5t²+20t+1（m，t≥0）。求最高点出现的时刻和最大高度；再求物体落地的正时间（可保留根式）。〔4分〕作答：57.研究函数f(x)=|x²-4|：判断奇偶性，写出分段解析式，求零点，并求其在[-3，3]上的最大值与最小值。〔4分〕作答：58.分段函数f(x)={x+1（x<1），ax²（x≥1）}。若希望图像在x=1处无跳跃，即左右两段在该点接合，求a，并求f(2)。〔4分〕作答：59.构造一个满足下列条件的函数：定义域为实数集；是偶函数；零点恰为x=±2；函数值恒不小于0。写出一个解析式并验证。〔4分〕作答：60.某暑期训练的阶段表现用函数S(d)=-d²+10d+24表示，其中d为连续训练天数，0≤d≤10。求表现最高时的d及最高值；并求S(d)≥45时d的范围。〔4分〕作答：

6.答题卡与成绩登记6.1客观结果速记基础训练（1—20）题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论1234567891011121314151617181920提升训练（21—45）题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论21222324252627282930313233343536373839404142434445综合训练（46—60）题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论题号答案/结论4647484950515253545556575859606.2分层得分与用时层级满分首做得分二刷得分用时基础20题40提升25题75综合15题60合计1756.3把握程度标记在题号旁标记：A＝思路清楚且独立完成；B＝有思路但计算或表达不稳；C＝无有效思路或依赖答案。二刷优先处理C，再处理B。7.答案详解与关键步骤评分点评分说明基础题每题2分：关键方法1分，结论1分。提升题每题3分：关键关系1分，推导或运算1分，完整结论1分。综合题每题4分：建模或起始关系1分，核心推导2分，完整结论及情境解释1分。同一题若使用其他正确方法，可按等价关键步骤给分。7.1基础训练解析1.答案：对应值依次为4，1，0，1；能构成函数。解析：函数要求定义域中的每一个x都有唯一确定的y。虽然不同的x可以得到相同的y，但不影响函数成立。评分点：列出4个对应值1分；判断并说明“每个x只有一个y”1分。易错点：误以为不同的x不能对应同一个y。2.答案：x≤3。解析：根号内必须非负：6-2x≥0，解得x≤3。评分点：写出6-2x≥0得1分；解出x≤3得1分。易错点：不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向。3.答案：x≠2。解析：分母不能为0，因此x-2≠0，即x≠2。评分点：指出分母不为0得1分；写出x≠2得1分。易错点：把分子为0的点也错误排除。4.答案：f(-1)=6。解析：代入x=-1：2×(-1)²-3×(-1)+1=2+3+1=6。评分点：正确代入1分；计算结果1分。易错点：漏写负数平方的括号。5.答案：x=4。解析：由3x-5=7，得3x=12，所以x=4。评分点：列方程1分；求出x=4得1分。易错点：把函数值7误当成自变量。6.答案：y=(x-2)²+1。解析：“右移2”对应把x换成x-2，“上移1”对应整体加1。评分点：右移变换1分；完整解析式1分。易错点：把右移写成x+2。7.答案：顶点(-3，-4)，对称轴x=-3，最小值为-4。解析：二次函数顶点式y=(x-h)²+k的顶点为(h，k)。本题h=-3，k=-4，开口向上。评分点：顶点1分；对称轴与最小值均正确1分。易错点：把x+3误读为顶点横坐标3。8.答案：x=2或x=3。解析：令y=0，因式分解：x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0。评分点：正确因式分解1分；两个零点1分。易错点：只写一个零点。9.答案：在(-∞，1]上递减，在[1，+∞)上递增。解析：图像开口向上，对称轴为x=1；越接近对称轴函数值越小。评分点：递减区间1分；递增区间1分。易错点：区间端点遗漏或把两个区间写反。10.答案：f(2)<f(4)。解析：f(2)=1，f(4)=9，因此f(2)<f(4)。也可利用函数在[1，+∞)上递增判断。评分点：正确计算或使用单调性1分；结论1分。易错点：只比较自变量大小，未确认所在单调区间。11.答案：f(x)是奇函数。解析：定义域关于原点对称，且f(-x)=(-x)³-4(-x)=-x³+4x=-f(x)。评分点：检查定义域并写出f(-x)1分；结论1分。易错点：只看最高次幂判断奇偶性。12.答案：f(-3)=5。解析：偶函数满足f(-x)=f(x)，所以f(-3)=f(3)=5。评分点：写出偶函数关系1分；结果1分。易错点：把偶函数关系写成f(-x)=-f(x)。13.答案：f(2)=-7，f(0)=0。解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，所以f(2)=-f(-2)=-7；令x=0可得f(0)=-f(0)，故f(0)=0。评分点：求出f(2)1分；求出f(0)1分。易错点：忽略奇函数在原点处函数值为0这一结论。14.答案：与x轴交于(-1/2，0)，与y轴交于(0，1)。解析：令y=0得x=-1/2；令x=0得y=1。评分点：两个截距各1分。易错点：求x轴交点时仍令x=0。15.答案：y=2x+1。解析：斜率k=(9-3)/(4-1)=2。设y=2x+b，代入(1，3)得b=1。评分点：求斜率1分；写出解析式1分。易错点：斜率分子、分母对应次序不一致。16.答案：y=(x-2)²-1。解析：设y=a(x-2)²-1。代入(0，3)：4a-1=3，得a=1。评分点：设出顶点式1分；求出a并写出解析式1分。易错点：顶点式中横坐标符号写反。17.答案：x=-1或x=3。解析：联立得x²=2x+3，即x²-2x-3=0，分解为(x-3)(x+1)=0。评分点：列出交点方程1分；求出两个横坐标1分。易错点：只求方程根但未说明它们是交点横坐标。18.答案：平均变化率为4。解析：[f(3)-f(1)]/(3-1)=(10-2)/2=4。评分点：写出平均变化率公式1分；结果1分。易错点：分母写成函数值之差。19.答案：平均速度为6m/s。解析：s(1)=3，s(3)=15，平均速度=[15-3]/(3-1)=6m/s。评分点：求位移差1分；除以时间差并带单位1分。易错点：用s(3)/3代替区间平均速度。20.答案：面积S=x(10-x)=-x²+10x，0<x<10；最大面积为25m²。解析：由2(x+y)=20得y=10-x。面积S=x(10-x)=-(x-5)²+25，因此x=5时最大，最大值25。评分点：建立面积函数1分；配方或利用顶点求最大值1分。易错点：忘记写出0<x<10，或把周长20直接写成x+y=20。7.2提升训练解析21.答案：[-2，1)∪(1，+∞)。解析：需同时满足x+2≥0和x-1≠0，即x≥-2且x≠1。评分点：写出两个限制各1分；用区间表示完整1分。易错点：只考虑根号条件，遗漏分母条件。22.答案：(-∞，3]。解析：因为(x-2)²≥0，所以3-(x-2)²≤3；当x=2时取得最大值3，向两侧函数值可无限减小。评分点：指出最大值3得1分；说明可向下无限延伸1分；写出值域1分。易错点：把开口向下函数的3误判为最小值。23.答案：f(-3)=-1，f(2)=4。解析：-3<0，使用第一段；2≥0，使用第二段。评分点：选择分段规则1分；两个函数值各1分。易错点：不先判断自变量所在区间。24.答案：x=√2。解析：当x<0时，x+2=2得x=0，但不满足x<0，舍去；当x≥0时，x²=2得x=±√2，只有√2满足x≥0。评分点：分两段求解1分；检验区间限制1分；最终答案1分。易错点：求出候选解后不检验分段条件。25.答案：向右平移1个单位，再向上平移2个单位；顶点(1，2)，对称轴x=1，值域[2，+∞)。解析：绝对值函数的“V”形顶点随平移移动，开口方向不变。评分点：平移方向1分；顶点与对称轴1分；值域1分。易错点：把“x-1”误判为左移1。26.答案：对任意实数m，均无实数根。解析：左边=(x-m)²+1，恒大于0，不可能等于0。也可用判别式Δ=(-2m)²-4(m²+1)=-4<0。评分点：完成配方或计算判别式1分；说明恒无实根1分；结论覆盖任意m得1分。易错点：看到含参数就直接分类，忽略可整体配方。27.答案：a=2。解析：开口向上的抛物线以x=a为对称轴，在对称轴左侧递减、右侧递增。题给分界点为2，因此a=2。评分点：识别单调分界点1分；对应对称轴1分；结论1分。易错点：只看解析式中的a，不把它与单调区间端点对应。28.答案：a=0。解析：f(-x)=x²-ax+1。偶函数要求f(-x)=f(x)，故-ax=ax对任意x成立，只能a=0。评分点：写出f(-x)1分；建立恒等关系1分；求出a=0得1分。易错点：仅代入某一个x值进行判断，不能保证对所有x成立。29.答案：-3。解析：奇函数有f(-2)=-f(2)=-3，且f(0)=0，所以和为-3。评分点：求f(-2)1分；求f(0)1分；求和1分。易错点：奇函数符号关系写反。30.答案：2<f(3)<7。解析：因为1<3<4，且函数严格递增，所以f(1)<f(3)<f(4)。评分点：比较自变量顺序1分；利用严格递增1分；写出范围1分。易错点：把“严格递增”写成可以取等号。31.答案：-2<x<2。解析：比较y=x²与y=4的图像。两图交于x=±2；抛物线在两交点之间位于直线下方。评分点：求交点1分；判断图像上下关系1分；写出解集1分。易错点：只写x<2，遗漏左侧边界。32.答案：f(2)=3>f(3)=2；f(x)在(0，+∞)上递减。解析：正比例常数6>0，反比例函数在每个同号区间上递减。也可直接比较函数值并结合图像判断。评分点：函数值比较1分；单调性1分；区间表述准确1分。易错点：把(-∞，0)与(0，+∞)合并成一个单调区间。33.答案：y=2(x-1)(x-4)=2x²-10x+8。解析：设y=a(x-1)(x-4)。代入(0，8)得4a=8，所以a=2。评分点：按零点设式1分；代点求a1分；写出解析式1分。易错点：漏掉待定系数a。34.答案：最大值9，最小值0。解析：配方得y=-(x-2)²+9，顶点x=2在区间内，最大值9；端点值y(0)=5，y(5)=0，所以最小值0。评分点：求顶点值1分；计算两个端点值1分；比较并给出最值1分。易错点：只看顶点，不检查闭区间端点。35.答案：k=2或k=-2。解析：联立得x²-kx+1=0。相切意味着方程有两个相等实根，所以Δ=k²-4=0，得k=±2。评分点：建立交点方程1分；相切对应Δ=0得1分；求出两个k值1分。易错点：相切条件误写成Δ>0。36.答案：2x-2。解析：[f(x+1)-f(x)]/1。f(x+1)=x²-x-2，与f(x)=x²-3x相减得2x-2。评分点：写出平均变化率结构1分；正确展开1分；化简结果1分。易错点：把区间长度误写为x+1。37.答案：2。解析：f(x+h)=2x+2h+5，与f(x)相减得2h，再除以h得2。评分点：写出f(x+h)1分；相减化简1分；约去h得1分。易错点：约分前漏掉h≠0。38.答案：6+h。解析：f(3+h)=(3+h)²=9+6h+h²。减去9后为6h+h²，除以h得6+h。评分点：正确展开1分；相减提取h1分；化简1分。易错点：把(3+h)²错误展开为9+h²。39.答案：6。解析：差商为6+h。当h越来越接近0时，6+h越来越接近6，因此瞬时变化率为6。评分点：引用差商结果1分；说明趋近过程1分；结论1分。易错点：把h直接当作等于0代入原差商，导致0作分母。40.答案：2。解析：f(1)=3，f(1+h)=3+2h-h²。差商=[2h-h²]/h=2-h，当h趋近0时得到2。评分点：求f(1+h)1分；化简差商1分；取趋近值得1分。易错点：展开负号时把-h²写成+h²。41.答案：y=2x-1。解析：切点为(1，1)。点斜式：y-1=2(x-1)，化简得y=2x-1。评分点：确定切点1分；列点斜式1分；化简1分。易错点：只写斜率，未使用切点坐标。42.答案：7m/s。解析：[s(2+h)-s(2)]/h=[(2+h)²+3(2+h)-10]/h=7+h。当h趋近0时，速度为7m/s。评分点：建立位移差商1分；化简为7+h得1分；结论和单位1分。易错点：把瞬时速度与从0到2的平均速度混淆。43.答案：x=10时利润最大，最大利润为80元。解析：P(x)=-2(x-10)²+80。开口向下，顶点给出最大值。评分点：完成配方或求顶点1分；销量10得1分；最大利润80元得1分。易错点：求出顶点横坐标后没有代回求利润。44.答案：x∈[0，4]。解析：x²-4x=x(x-4)，零点为0和4。开口向上的抛物线在两零点之间不高于x轴，因此解集为[0，4]。评分点：求零点1分；判断开口与符号1分；写出含端点的解集1分。易错点：遇到“≤”却遗漏零点。45.答案：g(f(x))=(x+1)²，f(g(x))=x²+1；二者不恒等。解析：复合时先算内层函数。两式之差为2x，并非对所有x都为0。评分点：求g(f(x))1分；求f(g(x))1分；判断不恒等1分。易错点：把函数复合当成函数相乘。7.3综合训练解析46.答案：C(x)={10（0<x≤3），10+2.4(x-3)（x>3）}；C(8)=22元。解析：计费规则在3km处分段。8>3，代入第二段：10+2.4×5=22。评分点：分段点与自变量范围1分；两段解析式1分；正确代入1分；金额与单位1分。易错点：第二段误写为2.4x，遗漏前3km的起步价。47.答案：V(t)=6t+10；V(5)=40L。解析：相邻1min水量均增加6L，故注水速率为6L/min；t=0时截距为10。评分点：从表中求变化率1分；确定初始量1分；建立函数1分；求V(5)并带单位1分。易错点：只写V=6t，漏掉初始水量。48.答案：f(x)=2(x-1)²+1；在(-∞，1]上递减，在[1，+∞)上递增；f(x)≤3的解集为[0，2]。解析：设f(x)=a(x-1)²+1，代入(0，3)得a=2。再由2(x-1)²+1≤3得(x-1)²≤1，所以0≤x≤2。评分点：求解析式1分；单调区间1分；建立不等式并化简1分；解集1分。易错点：解平方不等式时只取x-1≤1，遗漏下界。49.答案：a≤2。解析：配方得f(x)=(x-a)²-a²，对称轴为x=a。开口向上的抛物线在[a，+∞)上递增。要使整个[2，+∞)位于递增一侧，需要2≥a。评分点：配方或确定对称轴1分；指出递增区间1分；建立a≤2得1分；结论1分。易错点：误认为递增区间固定为[0，+∞)。50.答案：f(x)为偶函数；零点为x=±1，±2；零点关于原点左右成对、图像关于y轴对称。解析：f(-x)=x⁴-5x²+4=f(x)。令u=x²，则u²-5u+4=(u-1)(u-4)=0，故x²=1或4。评分点：判断偶函数1分；换元分解1分；求出四个零点1分；说明对称性1分。易错点：由x²=4只写x=2。51.答案：顶点(1，-4)，对称轴x=1；与x轴交于(-1，0)、(3，0)，与y轴交于(0，-3)。草图应标出上述四个点并画开口向上的对称抛物线。解析：令y=0得(x-1)²=4，所以x=-1或3；令x=0得y=-3。评分点：顶点与对称轴1分；x轴交点1分；y轴交点1分；草图特征1分。易错点：交点坐标只写横坐标，或图像不关于x=1对称。52.答案：S(x)=x(24-2x)=-2x²+24x，0<x<12；x=6m时，另一边为12m，最大面积72m²。解析：两条垂直边共2x，平行墙的一边为24-2x。S=-2(x-6)²+72。评分点：建立边长关系1分；写面积函数与定义范围1分；求x=6和另一边12得1分；最大面积72并带单位1分。易错点：把四条边都计入围栏。53.答案：割线斜率为4+h；当h趋近0时，斜率趋近4。解析：k=[(2+h)²-4]/h=(4h+h²)/h=4+h。点B向A靠近时，割线逐渐趋近切线。评分点：写斜率公式1分；展开化简1分；极限值4得1分；说明割线到切线的含义1分。易错点：直接令h=0导致分母为0。54.答案：切线方程为y=4x-9。解析：差商：[f(3+h)-f(3)]/h=4+h，故斜率为4。切点为(3，3)，于是y-3=4(x-3)。评分点：求差商或斜率1分；确定切点1分；列点斜式1分；化简1分。易错点：切线斜率正确但代错切点纵坐标。55.答案：函数在(-∞，1)上递增，在(1，+∞)上递减；x=1处取得极大值。解析：变化率为正表示函数随x增大而上升，为负表示下降。符号由“正”变“负”，因此在分界点由增转减，形成极大值。评分点：两个单调区间各1分；极大值判断1分；用符号变化解释1分。易错点：看到变化率为0就直接判断极值，不检查左右符号。56.答案：t=2s时最高，最大高度21m；落地正时间t=2+√105/5s，约4.05s。解析：h(t)=-5(t-2)²+21。落地时-5t²+20t+1=0，解得t=2±√105/5，舍去负根。评分点：配方求最高时刻1分；最大高度1分；解落地方程1分；筛选正根并解释1分。易错点：保留了不符合t≥0的负根。57.答案：f为偶函数；当|x|≥2时f=x²-4，当|x|<2时f=4-x²；零点x=±2；在[-3，3]上最大值5，最小值0。解析：x²-4在|x|≥2时非负，在|x|<2时为负。候选点包括端点±3、分段点±2和区间中部0：函数值分别为5、0、4。评分点：奇偶性1分；分段式1分；零点1分；比较关键点求最值1分。易错点：去绝对值时未按x²-4的正负分类。58.答案：a=2，f(2)=8。解析：左段靠近x=1时函数值趋近2；右段在x=1处函数值为a。接合要求a=2。随后f(2)=2×2²=8。评分点：求左侧接合值1分；写出右侧值1分；求a1分；求f(2)1分。易错点：把x=1代入不适用的第一