2025-2026学年天津市环城四区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市环城四区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知=（7，6），=（-3，m），=（-1，2m），若A，B，D三点共线，则m=（）A. B. C. D.3.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是75，76，80，82，87，91，92，94，95，98，则这组数据的70%分位数为（）A.91 B.92 C.93 D.944.设m,n,l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

B.若m⊥n,m⊂α，n⊂β，则α⊥B

C.若l⊥m,l⊥n,m⊂α，n⊂α，则l⊥α

D.若m⊥α，m∥n,n∥β，则α⊥β5.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'=2，则以下说法正确的是（）

A.△A'B'C'面积是 B.△ABC的面积是2

C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC的周长是6.2026年天津“泥人张”非遗体验馆推出一款互动游戏：参与者需从两只独立的盲盒中各抽取一张卡片，每只盲盒中的卡片数字均为1～6，且等可能出现.设A1表示“第一只官盒抽到数字2”，A2表示“第一只盲盒抽到奇数”，A3表示“两张卡片的数字之和为6”，A4表示“两张卡片的数字之和为7”，则下列选项正确的是（）A.A3与A4为对立事件 B.A2与A4为相互独立事件

C.A1与A3为相互独立事件 D.A2与A3为互斥事件7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的个数是（）

①若cosA＞cosB，则A＞B；

②若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰直角三角形；

③若C=30°，b=2，，则符合条件的△ABC有两个；

④若△ABC的面积，则.A..1 B..2 C..3 D.48.如图，在△ABC中，，，且BF与CE交于点M，，则x-2y=（）A.-1

B.

C.

D.9.在钝角△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,O为△ABC的重心，且满足9asin2C=4（a2+b2-c2）sinB，b=3，当时，△ABC的面积为（）A. B. C. D.6二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知向量满足=4，且与的夹角为60°，则=

.11.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且其侧面积为8π，则此圆锥的体积为

.12.已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为

.13.2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动.来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为.则至少有一人答对题目的概率为

；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为

.14.三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的表面上，若PA=AC=PC=，AB=2，BC=PB=，则球O的表面积为

.15.在边长为4的菱形ABCD中，，以AB为直径的上半圆与AD交于点P，E是此半圆上的动点，则=

；的最大值是

.三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知复数，z2=（a+i）（2-3i），i为虚数单位.

（1）求|z1|；

（2）若z2在复平面内对应的点在第一象限，求实数α的取值范围.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，垂足为A，PA=AB=4，AC交BD于点O，点M是PD的中点.

（1）求证：OM∥平面PAB；

（2）求二面角B-AM-C的平面角的正弦值；

（3）求点P到平面AMC的距离.18.(本小题15分)

为了了解高一年级学生的数学学习情况，某校组织高一年级的500名学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.

（1）求图中a的值，估计本次数学测试成绩的平均分；（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）求本次数学测试成绩的第60百分位数；

（3）为了进一步了解学生数学学习的情况，在成绩位于[80，100]的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率.19.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PC的中点，AP=AB=2，PB=2BC=4，设平面ADE交PB于F.

（1）求证：AF⊥PB；

（2）求证：平面PBC⊥平面ADE；

（3）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值.20.(本小题16分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足（snA-sinC）2=sin2B-sinAsinC.

（1）求B；

（2）已知D为AC边上的一点，且.

（i）求；

（ii）若，E是线段BD上（不与B重合）的一个动点，求BE+2AE的最小值.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】8π

15.【答案】12

16.【答案】

17.【答案】证明：因为底面ABCD是正方形，AC，BD为对角线，所以O为BD中点，

又点M是PD的中点，所以OM∥BP．

又OM⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，

所以OM∥平面PAB

18.【答案】a=0.025，平均分约为71

74

19.【答案】证明：因为ABCD是矩形，

所以AD∥BC，

又因为BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

所以AD∥平面PBC，

又因为平面ADE交PB于F，平面ADE交PC于E，

所以EF=平面ADE∩平面PBC，

所以AD∥EF，所以EF∥BC，

又因为E是PC的中点，

所以F是PB的中点，

又因为AP=AB，

所以AF⊥PB

证明：因为ABCD是矩形，

所以BC⊥AB，

又因为AB=平面ABCD∩平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，B