小学数学五年级下册《因数和倍数》单元整体教学设计

小学数学五年级下册《因数和倍数》单元整体教学设计‌‌一、指导思想与理论依据‌‌本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导纲领，深刻践行“以学生发展为本”的课程改革理念。课程设计着力于实现从“知识传授”到“素养培养”的转变，具体体现为：‌‌（一）聚焦核心素养：将“数感”、“量感”（此处侧重数的抽象）、“推理意识”、“模型意识”和“运算能力”的培养贯穿始终。通过引导学生观察、类比、猜想、验证，经历数学概念的形成过程，发展其高阶思维。例如，在探索2、5、3的倍数特征时，不直接告知结论，而是让学生在大量计算、观察和归纳中自主发现规律，培养合情推理能力。‌‌（二）强化整体建构：打破孤立教学知识点的传统模式，以大单元视角整合教学内容。引导学生理解因数和倍数的概念是整数的基本性质，是后续学习约分、通分以及分数运算的基础，帮助学生构建系统化、结构化的数学知识网络。例如，在认识质数与合数时，将其与因数个数建立联系，形成概念之间的逻辑链条。  （三）突出数学本质：在教学中，不仅关注“是什么”，更关注“为什么”。引导学生从“整除”的本质定义出发，深入理解因数与倍数的相互依存关系，探究倍数特征的数学原理，渗透数论思想，培养严谨的理性精神。  （四）关注真实学习：设计富有挑战性和趣味性的探究任务，激发学生的内在学习动机。通过游戏、小组合作、辨析讨论等方式，让学生在“做数学”、“说数学”、“用数学”的过程中，实现知识的深度理解和灵活运用，确保教学效果达到优质、高效。‌‌二、教材分析与内容框架  （一）教材地位与作用  本单元“因数和倍数”是小学数学“数与代数”领域的重要核心内容，是学生从算术思维向代数思维过渡的关键桥梁。它是在学生已经掌握了非零自然数的认识、四则运算的基础上进行教学的，为学生后续学习分数的基本性质、约分、通分、公因数、公倍数以及更复杂的数论知识奠定了坚实的基础，在整个小学数学知识体系中具有承上启下的枢纽作用。【非常重要】  （二）主要内容结构  本单元教学共分为四个主要层次，层层递进，环环相扣：  1.因数和倍数的概念：从整数除法算式入手，结合具体情境，理解“整除”的意义，抽象概括出因数和倍数的概念，明确其相互依存的关系及研究范围（非零自然数）。  2.求一个数的因数或倍数的方法：掌握有序、不重复、不遗漏地找一个数的因数和倍数的方法，并探索一个数因数和倍数的基本特征（如最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数等）。【基础】  3.2、5、3的倍数的特征：通过观察、比较、归纳，自主发现2、5、3的倍数的特征，并能运用这些特征进行判断和简单推理。同时，在认识2的倍数的基础上，引入奇数与偶数的概念。【高频考点】【难点】（3的倍数特征是难点）  4.质数与合数：基于一个数的因数个数，理解质数和合数的概念，掌握判断一个数是质数还是合数的方法，并能熟记20以内的质数，初步了解分解质因数的思想。【重要】‌‌三、学情分析  （一）知识基础  五年级学生已经熟练掌握了自然数的概念，能熟练进行乘、除法计算，具备了一定的计算能力和观察、比较、分析的能力。这些是学习本单元知识的必要前提。  （二）认知特点与潜在困难  1.概念理解的抽象性：因数和倍数是相对抽象的概念，特别是它们之间“相互依存”的非孤立性关系，是学生首次接触，理解起来存在一定困难，容易产生“因数是一个数”的片面认识。例如，学生会说“2是因数”，而忽略了“2是谁的因数”这一前提。【难点】  2.思维方式的转折：从具体的计算转向探究数的性质，需要学生具备更强的归纳概括和逻辑推理能力。例如，探索3的倍数特征时，学生容易受2、5倍数特征的思维定势影响，仅从个位数字去寻找规律，从而导致认知冲突，这恰恰是发展思维的契机。  3.方法策略的优化：在找一个数的因数时，学生最初可能会无序地罗列，需要教师引导他们形成有序思考、全面枚举的思维策略，体会一一对应的数学思想。  （三）学习兴趣与动机  学生对具有规律性和挑战性的数学内容充满好奇。本单元的数论知识本身具有很多有趣的规律，如“哥德巴赫猜想”等，可以激发学生的探究欲望和民族自豪感。教师应充分利用这一点，设计悬念和探索活动，将外在的知识转化为内在的探究需求。‌‌四、教学目标  （一）知识与技能【基础】  1.理解因数和倍数的意义，掌握它们之间相互依存的关系，明确其研究范围（非零自然数）。  2.掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练地找出100以内某个自然数的所有因数及10以内某个自然数的倍数。  3.掌握2、5、3的倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、5、3的倍数。理解奇数、偶数的意义，能正确进行区分。  4.理解质数、合数的意义，能根据因数的个数正确判断一个数是质数还是合数，熟记20以内的质数。  （二）过程与方法【重要】  1.经历因数和倍数概念的抽象过程，以及2、5、3的倍数特征和质数、合数概念的探究过程，培养观察、比较、抽象、概括、归纳和推理的能力。  2.在探索规律和方法的过程中，学习运用“列举”、“分类”、“归纳”、“验证”等数学思想方法解决问题，发展思维的条理性和深刻性。  3.通过小组合作、讨论交流，学会清晰地表达自己的思考过程，倾听和评价他人的观点。  （三）情感、态度与价值观  1.在自主探索和合作交流中，体验数学探究的乐趣，感受数学规律的奇妙与简洁美，增强学好数学的信心。  2.通过了解数学史上著名的“哥德巴赫猜想”等内容，感受数学文化的魅力，激发民族自豪感和探索未知世界的热情。  3.养成严谨、细致的学习习惯，如有序思考、全面考虑问题、对结论进行检验等。‌‌五、教学重难点  （一）教学重点  1.理解因数和倍数的概念及相互依存关系。【非常重要】  2.掌握求一个数的因数和倍数的方法。  3.掌握2、5、3的倍数的特征。  4.理解质数和合数的概念。  （二）教学难点  1.理解因数和倍数的相互依存关系，准确表述一个数是另一个数的因数（或倍数）。  2.探索和理解3的倍数的特征及其背后的算理。【难点】  3.正确区分奇数、偶数、质数、合数等易混淆的概念。【难点】‌‌六、课时安排（总计约67课时）  第一课时：因数和倍数的意义  第二课时：求一个数的因数  第三课时：求一个数的倍数及因数和倍数的特征  第四课时：2、5的倍数的特征及奇数和偶数  第五课时：3的倍数的特征  第六课时：质数与合数  第七课时：整理和复习‌‌七、教学实施过程（分课时详案）  （一）第一课时：因数和倍数的意义  1.创设情境，引入新知（约5分钟）  ‌‌教师出示12个小立方体，提问：“如果老师想把它们摆成一个长方体，可以怎样摆？用算式表示你的摆法。”学生独立思考后汇报，教师根据学生的回答板书算式：1×12=12，2×6=12，3×4=12。教师进一步引导学生用除法算式表示这些关系，如12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4。【基础】  2.合作探究，构建概念（约20分钟）  ‌‌（1）以2×6=12为例，引导学生观察并思考：“这个乘法算式中的数之间有什么关系？”在学生初步感知“2和6与12存在一种特殊关系”的基础上，教师正式引入概念：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。并举例说明：因为12÷2=6，所以12是2的倍数，2是12的因数；同样，12是6的倍数，6是12的因数。  ‌‌（2）辨析理解，突破难点【非常重要】。教师抛出核心问题：“能不能单独说12是倍数，或者2是因数？为什么？”引导学生展开讨论，明确因数和倍数是表示两个数之间的一种关系，它们是相互依存的，必须说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。教师板书强调“相互依存”四个字。  ‌‌（3）迁移应用，深化理解。学生尝试用同样的方法描述1×12=12，3×4=12两个算式中各数之间的关系。并引导他们发现，为了方便，我们研究因数和倍数时，所说的数一般指非零自然数。【重要】  3.巩固练习，内化新知（约12分钟）  ‌‌（1）基础练习：根据下面的算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。如：15÷3=5，7×8=56。  ‌‌（2）辨析练习：判断下面的说法是否正确，并说明理由。如：“因为9÷4=2.25，所以9是4的倍数，4是9的因数。”（错误，强调必须整除）“因为18÷6=3，所以18是倍数，6是因数。”（错误，强调相互依存）“0÷5=0，可以说0是5的倍数。”（引导学生理解研究范围是非零自然数，暂不研究0）  4.课堂小结，回顾反思（约3分钟）  ‌‌引导学生回顾：“这节课你学到了什么？关于因数和倍数，你有什么要提醒大家注意的地方？”  （二）第二课时：求一个数的因数  1.复习引入，激活经验（约3分钟）  ‌‌提问：“什么是因数？什么是倍数？你能举个例子说说它们的相互依存关系吗？”  2.探究方法，有序思考（约22分钟）  ‌‌（1）提出问题，自主尝试。出示例题：18的因数有哪几个？学生独立尝试找出18的所有因数。教师巡视，收集不同的作品。  ‌‌（2）展示交流，对比优化。呈现几种典型的找法：无序罗列的（如1、18、2、9、3、6）；遗漏的（如只找到1、2、3、6）；有序书写的。引导学生对比、评价：“哪种方法更好？好在哪里？”【重要】  ‌‌（3）归纳方法，提炼策略。在学生充分讨论的基础上，教师总结找一个数的因数的方法：a.列乘法算式。从1开始，一对一对地找，看哪两个整数相乘的积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。例如，18=1×18，18=2×9，18=3×6，所以18的因数有1，2，3，6，9，18。b.列除法算式。用这个数除以1、除以2……看哪些除法算式的商是整数且没有余数，那么除数和商都是这个数的因数。强调有序思考，做到不重复、不遗漏。【核心方法】  ‌‌（4）即时练习，巩固方法。用自己喜欢的方法找出24的因数和30的因数。并引导学生观察一个数的因数有什么特征。  3.观察发现，总结特征（约10分钟）  ‌‌引导学生观察18、24、30的因数，小组讨论：“一个数的因数有什么共同点？”学生汇报发现：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的因数个数是有限的。【基础】  4.拓展应用（约5分钟）  ‌ 猜数游戏：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，它的所有因数是1，2，3，6，9，18。这个数是多少？  （三）第三课时：求一个数的倍数及因数和倍数的特征  1.复习旧知，引出新知（约3分钟）  ‌ 提问：“我们已经学会了找一个数的因数。那你能找一个数的倍数吗？比如，2的倍数有哪些？”  2.探究方法，发现特征（约22分钟）  ‌ （1）自主探究，尝试列举。学生独立尝试找2的倍数。可能会出现：2、4、6、8……教师引导思考：“你是用什么方法找到的？”明确：用2分别乘1、乘2、乘3……所得的积就是2的倍数。【基础】  ‌ （2）对比迁移，总结方法。引导学生将找因数的方法迁移到找倍数上来。总结：找一个数的倍数，可以用这个数分别乘非零自然数1，2，3，4……，所得的积就是这个数的倍数。  ‌ （3）深化练习，探究特征。找出3的倍数和5的倍数。引导学生观察所找出的倍数，思考：“一个数的倍数有什么特征？”小组讨论后汇报：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数个数是无限的。【基础】  3.综合对比，完善认知（约10分钟）  ‌ 引导学生列表对比因数和倍数的异同点，从“意义”、“找法”、“个数”、“最小”、“最大”等几个维度进行梳理，形成系统的知识结构。【重要】  4.巩固练习（约5分钟）  ‌ 完成课本相关练习，如：写出下面各数的因数和倍数（各写5个）。  （四）第四课时：2、5的倍数的特征及奇数和偶数  1.游戏导入，激发兴趣（约3分钟）  ‌ “我说一个数，请是2的倍数的同学站起来。”教师说一些数，如15，28，37，40，51，62……学生判断并起立。提问：“为什么你们能判断得这么快？是不是有什么窍门？”引出探究主题：2的倍数的特征。【高频考点】  2.合作探究，发现规律（约22分钟）  ‌ （1）观察百数表，初步感知。学生拿出百数表，独立圈出2的倍数。观察这些数，看看它们的个位有什么特点。学生汇报：2的倍数，个位上是0，2，4，6，8。  ‌ （2）举例验证，得出结论。学生任意举一些大数，如1236，7890等，验证是否个位是0，2，4，6，8的数都能被2整除。从而验证结论的正确性。教师板书结论。【重要】  ‌ （3）类比迁移，探究5的倍数特征。让学生用同样的方法，在百数表中圈出5的倍数，观察其特征。得出结论：个位上是0或5的数，是5的倍数。   （4）引入奇数、偶数概念。教师说明：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。【基础】  3.深化理解，综合应用（约10分钟）  ‌ （1）辨析：下面的数，哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些既是2的倍数又是5的倍数？35，80，106，255，370。引导学生发现：个位是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。  ‌ （2）游戏巩固：请学号是奇数的同学拍拍手，请学号是偶数的同学跺跺脚。  4.课堂小结（约5分钟）  ‌ 回顾2、5的倍数特征以及奇数、偶数的概念。  （五）第五课时：3的倍数的特征  1.制造冲突，引发猜想（约5分钟）  ‌ 教师提问：“我们已经知道了2和5的倍数特征都和个位有关。那么3的倍数，是不是也和个位有关呢？”学生可能会猜想“个位是3、6、9的数是3的倍数”。教师出示反例：13个位是3，但13不是3的倍数；16个位是6，16也不是3的倍数；19个位是9，19也不是3的倍数。认知冲突产生：“看来3的倍数特征不能只看个位，那它的奥秘到底藏在哪儿呢？”激发学生强烈的探究欲望。【难点】【非常重要】  2.合作探究，发现特征（约20分钟）  ‌ （1）提供支架，引导观察。教师为学生提供百数表，引导学生再次圈出3的倍数。这次不只看个位，而是鼓励他们横着看、竖着看、斜着看，或者计算每个数各位上数字的和，看看有什么新的发现。  ‌ （2）小组讨论，汇报交流。学生经过观察和计算，可能会发现：3的倍数，它们各位上的数字的和，似乎都是3的倍数。例如，12：1+2=3；27：2+7=9；45：4+5=9；111：1+1+1=3。  ‌ （3）举例验证，归纳结论。学生任意举出更大的数，如624，1236等，计算各位数字之和，验证是否为3的倍数，再验证这个数本身是不是3的倍数。通过大量正反例证，最终归纳出结论：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【核心结论】  3.探究原理，深化理解（选讲，约8分钟）  ‌ 对于学有余力的学生，可以简单渗透其中的算理。以12为例：12=10+2=9+1+2，9是3的倍数，所以12是不是3的倍数，就看(1+2)。再以123为例：123=100+20+3=99+1+18+2+3，99和18都是9的倍数，也一定是3的倍数，所以123是不是3的倍数，就看(1+2+3)的和。通过这样的分解，让学生初步理解为什么是“看各位数字之和”。【拓展】  4.巩固练习（约7分钟）  ‌ 判断下面各数哪些是3的倍数：96，213，405，1111。并让学生互相出题，考考对方。  （六）第六课时：质数与合数  1.复习引入，设疑激趣（约3分钟）  ‌ 回顾找一个数的因数的方法。提问：“如果让你按因数的个数，给120这些数分分类，你会怎么分？”学生可能会按因数个数是1个、2个、多个来分。  2.分类探究，构建概念（约22分钟）  ‌ （1）自主分类，初步感知。学生独立写出120各数的所有因数，然后尝试分类。教师巡视指导。  ‌ （2）汇报交流，提炼标准。请不同分法的学生上台展示。引导学生重点关注按“因数的个数”来分，并观察每一类数的特点。学生会发现：有一个数只有1个因数（1）；有一类数只有两个因数（如2，3，5，7，11……）；其余的数都有两个以上因数（如4，6，8，9，10……）。  ‌ （3）揭示概念，明确定义。教师顺势引出质数和合数的概念：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。并说明1既不是质数，也不是合数。【非常重要】【基础】  3.深化理解，熟记质数（约10分钟）  ‌ （1）即时判断。判断2，15，23，28，37是质数还是合数，并说明理由。  ‌ （2）寻找100以内的质数。引导学生用“筛选法”（如排除2、3、5、7的倍数等）在百数表中找出100以内的质数，并重点熟记20以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19。特别强调2是最小的质数，也是唯一的偶质数。【高频考点】  4.文化渗透（约5分钟）  ‌ 简单介绍“哥德巴赫猜想”——“任何大于2的偶数都可以写成两个质数的和”，并举例说明（如4=2+2，6=3+3，8=3+5），激发学生对数学奥秘的向往和民族自豪感（因为我国数学家陈景润在此领域做出了杰出贡献）。  （七）第七课时：整理和复习  1.知识梳理，构建网络（约15分钟）  ‌ 引导学生回顾本单元所学内容，以小组合作的形式，用思维导图或知识树的方式，将“因数和倍数”的核心概念、求法、特征以及易混淆概念（因数倍数、奇数偶数、质数合数）进行系统整理。教师选取优秀作品进行展示和点评，帮助学生形成完整的认知结构。【重要】  2.综合练习，查漏补缺（约20分钟）  ‌ 设计层次分明的练习，包括基础题、变式题和拓展题。  ‌ （1）基础练习：填空、判断、选择，覆盖所有