3.3 探索与表达规律（2）-北师大版数学七上同步分层训练

.3探索与表达规律（2）-北师大版数学七上同步分层训练一、基础训练1．如图是某种结构模型，它由●和○按如图所示的方式排列，第（1）个图形有4个○，第（2）个图形有6个○，……，依此规律，第（40）个图形中○的个数是（）A．80 B．82 C．120 D．812．在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（）A． B．C． D．3．将一张长方形的纸对折，如图，对折1次可得到1条折痕（图中虚线），连续对折3次（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），可以得到7条折痕；那么连续对折5次后，可以得到的折痕的条数是（）A．31条 B．32条 C．33条 D．34条4．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（）A．4n枚 B．(4n−4)枚 C．(4n+4)枚 D．n25．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32 B．34 C．37 D．416．如图，是由一些火柴棒搭成的图案：摆第1个图案用5根火柴棒；摆第2个图案用9根火柴棒；摆第3个图案用13根火柴棒，按照这样的方式摆下去，摆第2025个图案用的火柴棒根数为．7．把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是.8．如图，下列是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第5个图案中有个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的式子表示）．9．如图，依次用火柴棒拼三角形：照这样的规律拼下去，拼n个这样的三角形需要火柴棒根．10．小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，其中第1个图形中有3根小棒，第2个图形中有5根小棒，第3个图形中有7根小棒…按此规律摆下去．（1）第5个图形中有根小棒；（2）用含n的代数式表示第n个图形中小棒的根数；（3）求第230个图形中小棒的根数．二、巩固提升11．小明用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形所需木棒的根数可以表示为（）A．7n B．2+5n C．7n−2 D．4n+212．有若干片相同的拼图，其形状如图所示（单位：cm），凸出的部分是直径为4cm的半圆，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为38cm，如图所示．下列结论正确的是（）A．依题意，4B．1片拼图的长度为9.5cmC．将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加11cmD．将n片拼图紧密拼成一行时，总长度为9n+213．图形“○”和“□”按如图所示的规律依序排列，则某幅图中“○”的个数可能是()A．42 B．48 C．60 D．7614．如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑦中火柴棒的根数是（）A．38 B．44 C．50 D．5615．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形.（用含有n的代数式表示）16．将一个大正方形分割成n个小正方形，第一次操作按如图1所示的方式分割，分割出4个小正方形；第二次操作按如图2所示的方式分割，分割出6个小正方形；第三次操作按如图3所示的方式分割，分割出8个小正方形……按照上述规律，则第n次操作后，分割出小正方形的个数为.17．将个数不同的某种杯子按如图所示的方式进行叠放，经测量并在图中标注了总高度．（1）5个这种杯子叠放时的总高度是______cm，8个这种杯子叠放时的总高度是______cm；（2）求n个这种杯子叠放时的总高度（用含n的代数式表示）；（3）小颖家橱柜的高度为50cm，妈妈买了13个这样的杯子，这1318．两种不同颜色的棋子可摆出一组形如长方形的图形，其中白棋和黑棋的数量相等．请你观察图形，完成以下问题：【规律探索】摆第1个图形需要2枚棋子；摆第2个图形需要2×1+2摆第3个图形需要2×1+2+3摆第4个图形需要2×1+2+3+4按照以上规律，写出等式：摆第5个图形需要_____________枚棋子；摆第n个图形需要_____________枚棋子；【规律归纳】由此得到1+2+3+…+n=_____________(用含n的代数式表示)；【规律应用】根据你的发现计算：101+102+103+…+200．19．自行车是很多同学家校往返的重要交通工具，如图，某款自行车每节链条的长度为2cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.7cm．（1）观察图形填写下表：链条节数（节）234链条长度（cm）

（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；（3）晓明同学的同款自行车链条生锈断了，需要在淘宝网上采购并自行安装，该型号自行车的链条（安装前）由90节这样的链条组成，那么晓明需要购买该型号链条的总长度是多少cm？实际安装长度是多少cm？20．观察图，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，由此得，1+3=22．同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32．由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42．由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52．…根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．（4）计算：1+3+5+…+99的和；（5）计算：101+103+105+…+199的和．三、应用能力21．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形．（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有1200个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果34×(1+22．【阅读】求值1+2+2（1）【运用】仿照此法计算：解：设S=1+2+2将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+2由②−①得：2S−S=2即：S=1+2=21+5+5（2）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于▲；②求正方形S

答案解析部分1．【答案】B【知识点】用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：第（1）个图形有4个○，第（2）个图形有6个○，第（3）个图形有8个○，第（4）个图形有10个○，观察可知，后一个图形比前一个图形多2个○，∴第（n）个图形中有○的个数为：4+2n−1∴第（40）个图形中有○的个数为：82.故答案为：B．

【分析】观察图形，分别数出第（1）个图形有4个○，第（2）个图形有6个○，第（3）个图形有8个○，第（4）个图形有10个○，即可发现规律，得出第（n）个图形中○的个数，即可得第（40）个图形中○的个数.2．【答案】D【知识点】用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：根据材料提示，黑色方格表示1，白色方格表示0，∴0110的图形规律为：白黑黑白，故答案为：D．

【分析】根据材料提示，黑色方格表示1，白色方格表示0，由此即可求解．3．【答案】A【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律【解析】【解答】由题可得：对折1次1=2−1=1；

对折2次3=22−1=3；

对折3次7=23−1=7；

⋯以此类推可得

对折n次可得2n−1条虚线，

∴当n=5时，4．【答案】A【知识点】探索图形规律；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】由题可得：第一个“口”有1×4=4枚旗子；

第2个“口”有2×4=8枚旗子；

第3个“口”有3×4=12枚旗子；

⋯

∴摆第n个“口”字需用4n枚棋子，

故答案为：A.

【分析】根据摆前面的几个口所需的棋子数得到规律，进而得到摆第n个口所需的棋子数，从而求解.5．【答案】C【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律【解析】【解答】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．6．【答案】8101【知识点】有理数的乘法运算律；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：观察图形，得：第1个图案用了5根火柴，即5=1×4+1，第2个图案用了9根火柴，即9=2×4+1，第3个图案用了13根火柴，即13=3×4+1，…第n个图案用了4n+1根火柴，摆第2025个图案用的火柴根数为4×2025+1=8101（根）．故答案为：8101．

【分析】先观察前3个图案的火柴棒数，得出第n个图案的火柴棒数规律为4n+1，再将n=2025代入，计算4×2025+1=8101。7．【答案】11【知识点】探索图形规律【解析】【解答】解：根据图示可得：，位置（4，2）对应的正整数是11，故答案为：11.【分析】根据已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律即可求解.8．【答案】21；4n+1【知识点】探索图形规律【解析】【解答】解：第1个图案有5个阴影正方形，第2个图案有5+4=9个阴影正方形，第3个图案有5+2×4=13个阴影正方形，第5个图案有5+4×4=21个阴影正方形，第n个图案有5+（n-1）×4=4n+1个阴影正方形，故答案为：21；4n+1．【分析】根据前几项中图形的个数与序号的关系可得规律：第n个图案有5+（n-1）×4=4n+1个阴影正方形，再求解即可。9．【答案】2n+1【知识点】探索图形规律【解析】【解答】∵第一个三角形是3根火柴；第二个三角形是5根火柴，第三个三角形是7根火柴，发现依次多2个，即可推出第ｎ个这样的三角形需要2ｎ＋1根火柴．【分析】首先正确数出前三个图形中的火柴棒的根数：第一个三角形是3根火柴；第二个三角形是5根火柴，第三个三角形是7根火柴，依次多2个，可推出第ｎ个这样的三角形需要多少根火柴．10．【答案】（1）11（2）解：由（1）知，第n个图形中小棒的根数为2n+1根；（3）解：当n=230时，2n+1=2×230+1=461（根），即第230个图形中小棒的根数为461根．【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：（1）由所给图形可知，第1个图形中小棒的根数为：3=1×2+1；第2个图形中小棒的根数为：5=2×2+1；第3个图形中小棒的根数为：7=3×2+1；…，所以第n个图形中小棒的根数为2n+1根．当n=5时，2n+1=2×5+1=11（根），即第5个图形中小棒的根数为11根．故答案为：11；【分析】（1）观察图形可发现依次多2根小棒，进而得出第5个图形中小棒的根数；

（2）根据观察到的规律可得出第n个图形中小棒的根数为：（2n+1）根；

（3）当n=230时：求出（2）中代数式的值即可。（1）解：由所给图形可知，第1个图形中小棒的根数为：3=1×2+1；第2个图形中小棒的根数为：5=2×2+1；第3个图形中小棒的根数为：7=3×2+1；…，所以第n个图形中小棒的根数为2n+1根．当n=5时，2n+1=2×5+1=11（根），即第5个图形中小棒的根数为11根．故答案为：11；（2）解：由（1）知，第n个图形中小棒的根数为2n+1根；（3）解：当n=230时，2n+1=2×230+1=461（根），即第230个图形中小棒的根数为461根．11．【答案】B【知识点】有理数的乘法法则；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：观察图形得：第1个图形所需小棒的根数为：7=1×5+2，第2个图形所需小棒的根数为：12=2×5+2，第3个图形所需小棒的根数为：17=3×5+2，…根据规律得：第n个图形所需小棒的根数为2+5n根．故答案为：B．【分析】观察图形求出第1个图形、第2个图形、第3个图形所需小棒的根数，根据规律得：第n个图形所需小棒的根数为2+5n根．12．【答案】D【知识点】用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】∵当4片拼图紧密拼成一行时长度为38cm∴4a+b=38，故A选项说法错误，不符合题意；∵凸出的部分是直径为4cm的半圆，∴b=2∴4a+2=38∴a=9∴a+b=9+2=11∴1片拼图的长度为11cm，故选项B说法错误，不符合题意；将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加9cm，故选项C说法错误，不符合题意；将n片拼图紧密拼成一行时，总长度为9n+2cm故选：D．【分析】观察图形结合题意可得4a+b=38且b=2，则a=9，即1片拼图的长度为9cm，则每增加一片拼图总长度增加9cm，即将n片拼图紧密拼成一行时，总长度为9n+2cm13．【答案】C【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：由题图得，第1幅图中O的个数为1X2=2；

第2幅图中O的个数为1+2+1=4=1X4；

第3幅图中O的个数为2X4=8；

第4幅图中O的个数为2+3+2+3+2=12=2X6；

∴当n为奇数时，O的个数为12(n+1)2；

当n为偶数时，O的个数为n（n+2）2，

当n=8时：O的个数为8（8+2）2=40；当n=9时：O的个数为12(9+1)2=50；当n=10时：O的个数为10（10+2）故答案为：C.【分析】首先根据已有图形得出规律当n为奇数时，O的个数为12(n+1)2；当n为偶数时，O的个数为n（n+2）14．【答案】B【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：观察图形得：图①中火柴棒的根数为：8=1×6+2，图②中火柴棒的根数为：14=2×6+2，图③中火柴棒的根数为：20=3×6+2，…根据规律得图n中火柴棒的根数为6n+2个，∴当n=7时，6n+2=44（根），∴图⑦中火柴棒的根数为44根．故答案为：B．【分析】观察图形求出图①、图②、图③、火柴根数，总结出图n中火柴棒的根数为6n+2个，进一步得当n=7时，6n+2=44（根），即图⑦中火柴棒的根数为44根即可.15．【答案】（4n+1）【知识点】探索图形规律【解析】【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，

第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2-1=9，

第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3-2=13，

…，

第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n-（n-1）=4n+1.

故答案为：4n+1.

【分析】观察图形得出，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．16．【答案】2n+2【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】题图1分割出1+1+2×1=4(个)小正方形；题图2分割出1+1+2×2=6(个)小正方形；题图3分割出1+1+2×3=8(个)小正方形；……则第n次操作后，分割出小正方形的个数为1+1+2n=2n+2.故答案为：2n+2.

【分析】通过分析前几次操作分割出小正方形的个数的规律，推导出第n次操作后分割出小正方形个数的表达式.17．【答案】（1）27，36（2）解：∵一个杯子的高度为15cm，叠放时每增加1个杯子高度就增加18+15=3∴n个这种杯子叠放时的总高度为15+3n−1（3）解：这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜，理由如下：当n=13时，3n+12=3×13+12=51cm∵51>50，∴这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜．【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】（1）解：15+（5-1）×（18-15）=27cm；15+（8-1）×（18-15）=36cm；∴5个这种杯子叠放时的总高度是27cm，8个这种杯子叠放时的总高度是36cm；故答案为：（1）27，36；【分析】（1）观察发现，一个杯子高是15cm，每增加一个杯子，总高度增加18-15=3cm，因此当5个杯子叠放时，增加（5-1）×（18-15）=12cm，而最底下的杯子的高15cm不变，求和即可；8个杯子的计算方法和思路相同；

（2）结合（1）的分析思路，利用n个这种杯子叠放时的总高度=15+3×(叠放杯子数−1)，即可用含n的代数式表示出n个这种杯子叠放时的总高度；

（3）代入n=13，求出3n+12的值，再将其与52cm（1）解：根据题意得：5个这样的杯子叠放在一起的高度是15+3×5−18个这样的杯子叠放在一起的高度是15+3×故答案为：27，36；（2）∵一个杯子的高度为15cm，叠放时每增加1个杯子高度就增加3∴n个这种杯子叠放时的总高度为15+3n−1（3）这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜，理由如下：当n=13时，3n+12=3×13+12=51cm∵51>50，∴这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜．18．【答案】【规律探索】：2×1+2+3+4+5=5×6=30；2×1+2+3+…+n=n×n+1【规律应用】：解：101+102+103+…+200===15050．【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律【解析】【解答】解：

【规律探索】：∵摆第1个图形需要2枚棋子；摆第2个图形需要2×1+2摆第3个图形需要2×1+2+3摆第4个图形需要2×1+2+3+4∴摆第5个图形需要2×1+2+3+4+5摆第n个图形需要2×1+2+3+…+n故答案为：2×1+2+3+4+5=5×6=30；2×1+2+3+…+n=n×n+1；

【规律归纳】：∵2×1+2+3+…+n=n×n+1，

∴19．【答案】（1）解：根据图形可得出：2节链条的长度为：2×2−0.7=3.3，3节链条的长度为：2×3−0.7×2=4.6，4节链条的长度为：2×4−0.7×3=5.9．故答案为：3.3,4.6,5.9；（2）解：由（1）可得x节链条长为：y=2x−0.7(x−1)=1.3x+0.7；∴y与x之间的关系式为：y=1.3x+0.7；（3）解：当x=90,y=1.3×90+0.7=117.7cm故晓明需要购买该型号链条的总长度是117.7cm因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.7，故这辆自行车链条的总长为1.3×90=117厘米，所以90节这样的链条总长度是117厘米．【知识点】用代数式表示图形变化规律；求代数式的值-直接代入求值【解析】【分析】（1）根据给定的图形，找出规律，分别求得2节、3节、4节链条的长度，即可得到答案；（2）由（1）中的计算方法，写出表示链条节数的