1.2一定是直角三角形吗-北师大版数学八上同步分层训练

.2一定是直角三角形吗-北师大版数学八上同步分层训练一、基础训练1．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（)A．1，2，3 B．2，3，4C．5，12，13 D．4，5，62．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（）A．∠A=∠B+∠C B．cC．a：b：c=3：4：5 D．a3．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.54．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定5．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC=．6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为.7．如图，在3×4的正方形网格中，∠2=8．若△ABC的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足a2+c29．如图，AB⊥BC，AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，请你连结AC.求：（1）AC的长；（2）四边形ABCD的面积.二、巩固提升10．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、1311．如果m表示大于1的整数，设a=2m，b=m2−1，c=2A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d12．如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D13．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是()A． B．C． D．14．如图所示的一块土地，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°，则这块土地的面积为m2.15．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A出发沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点同时出发，则3s时，△BPQ的面积为cm2.16．如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是17．已知△ABC的三边a，b，c满足a−52+（b−12）218．如图所示，在四边形ABCD中，AB=15，BC=DE=9，DE⊥AC于E，S△DAC=54，则∠ACB的度数等于19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90∘（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形.20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB为最长边，当a2+b2=c2（1）当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形.（2）猜想：当a2+b2c2（3）当a=2，b=4时，探究△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围.三、能力应用21．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=1222．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长.23．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．问题如何测量墙体是否与地面垂直？工具若干条无弹性的绳子小组第一小组第二小组第三小组测量方案模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a．如下图放置这总长是12a的绳子，使在OM上的绳子OA=4a，在ON上的绳子OB=3a，若AB=5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN于点O，否则不垂直．如图2，在射线OM，ON上分别取点A，B，放置绳子AB，对折AB得到相等的两段AC，BC，放置绳子OC，用叠合法比较OC与BC的长度，若OC=BC，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直．测量示意图（1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A：∵1+2=3，∴这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；B：∵22+32=4+9=13，C：∵52+122=25+144=169，D：∵42+52=16+25=41，故答案为：C.【分析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项即可．2．【答案】D【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：对A选项，∠A=∠B+∠C，而A+B+C=180°，得∠A=90°，△ABC为直角三角形，故A不符合题意；

对B选项，c2−a2=b2得c2=a2+b2，故△ABC为直角三角形，故B不符合题意；

对C选项，a：b：c=3：4：5，a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，故C不符合题意；

对D选项，a2:b23．【答案】D【知识点】勾股数【解析】【解答】解：A、32B、62C、72D、1.52故答案为：D．【分析】勾股数必须为正整数且满足两边的平方和等于最大边的平方。本题根据勾股数的定义逐项进行计算并分析即可得出答案。4．【答案】C【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，AD=12，BD=9，

由勾股定理得：AB=BD2+AD2=92+122=15，

设DC=x，则BC=BD+DC=9+x，

在Rt△ADC中，AD=12，DC=x，AC=20，

由勾股定理得：AD2+DC2=AC25．【答案】45°【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】解：连接AC，如图．由题意得AC2=12∴AC2+B∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．【分析】连接AC，如图．在网格中，根据勾股定理可得出AC2=12+22=5，BC26．【答案】24【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵62+82=102

∴该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8

∴三角形的面积为1故答案为：24【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8，再根据三角形面积即可求出答案.7．【答案】90【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题【解析】【解答】解：如图，∵AC=BC=12∴A∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠2=90°，故答案为：90．

【分析】利用勾股定理求得对应线段的长度，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，即可求解．8．【答案】B【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵a2∴△ABC为直角三角形，∠B=90°．故答案为：B.【分析】根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，且最大边所对的角是直角”可判断得出答案.9．【答案】（1）解：连接AC，

∵AB⊥BC，AB=4，BC=3，∴AC=（2）∵A∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°，在Rt△ABC中，S在Rt△ADC中，SS【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理【解析】【分析】(1)根据∠B=90°，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC，即可解答；

(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的面积和△ACD的面积之和，即可解答.10．【答案】A【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、22B、32C、62D、52故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.11．【答案】B【知识点】完全平方公式及运用；勾股数【解析】【解答】解：∵a=2m，b=m2−1，c=2∴a2=(2m)2=4m2A．a2+b2=4m2+m4−2m2+1=m4+2B．a2+b2=4m2C．a2+c2=4m2+4m4+8D．b2+c2=m4−2m2+1+4故选：B．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可．12．【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：设题图中每个小正方形的边长均为1.A选项，连接MN，AN，因为.AM2=12=1,MN2=12+12=2,AN2=12+22=5,所以AM13．【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A选项，72+202≠242，152+202=25故答案为：C.【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可.14．【答案】24【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：如图，连接AC.因为AB=3m，BC=4m，∠ABC=90°，所以由勾股定理得AC2=BC2+AB2=25,所以AC=5m.因为CD=13m，AD=12m，所以AC【分析】连接AC，先求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是以∠CAD为直角的Rt△,最后根据S△ACD15．【答案】18【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm.因为周长为36cm，所以AB+BC+AC=36cm，所以3x+4x+5x=36，解得x=3，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因为AB2+BC2=A16．【答案】24【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：如图，过点C作CQ'⊥AB交AB于点Q'，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PQ根据垂线段最短可知，此时PC+PQ有最小值，最小值为CQ∵AC=6，BC=8，AB=10，由勾股定理可知，AC∴∠ACB=90°，∴S∴CQ∴PC+PQ的最小值为245故答案为：245【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化为垂线段长度，结合面积法求垂线段.17．【答案】直角【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：因为a−52+b−122+∣c−13|=0，所以a-5=0，b-12=0，c-13=0，所以a=5，b=12，c=13.因为52+12218．【答案】90°【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵DE=9，S△DAC∴12解得：AC=12，∵AB=15，BC=9，∴AC∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，故答案为：90°．

【分析】根据面积求出AC，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案.19．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，所以BC2（2）证明：∵在△BCD中，DC=4,DB=3D∴△BCD是直角三角形．【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长解答即可；（2）利用勾股定理逆定理判断△BCD的形状即可．20．【答案】（1）锐角；钝角（2）>；<（3）解：因为c为最长边的长，2+4=6，所以4≤c<6.①当a2+b2②当a2+b③当a2+b2【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：(1)当一个直角三角形的两直角边长为6，8时，斜边长为10，因为9<10，所以当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；因为11>10，所以当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形.

故答案为锐角，钝角.(2)当a2+b2>【分析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可.(2)利用勾股定理判断即可；(3)分三种情形：①当a2+b2>c2时，②当a21．【答案】m【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数【解析】【解答】解：因为a，b，c是勾股数，其中a，b均小于ca=12m2−12故答案为：m.【分析】根据勾股数的定义解答即可.22．【答案】解：（1）点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：

如图，

∵AM=2.5，MN=6.5，BN=6，

∴AM2+BN2=2.52+62＝42.25，MN2=6.52＝42.25，

∴AM2+BN2=MN2，

∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，

∴点M，N是线段AB的勾股分割点.

(2)如图，

设BN=x，则MN=30−AM−BN=25−x，

①当MN是最长边时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴AM2+BN2=MN2，

∴52+x2=(25−x)2，解得：x=12，

∴BN【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的逆定理；线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】（1）根据AM=2.5，MN=6.5，BN=6，结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆定理计算出MN2＝42.25，A（2）根据AB=30，AM=5，设BN=x，则MN=25−x，结合点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得AM2+BN223．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，理由如下：方案一如下图所示，证明：因为BO若AB则AO∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，∴MO⊥PN；方案二、证明：如下图所示，∵AC=BC，若OC=BC，则AC=OC=CB，∴∠CAO=∠COA，∠COB=∠CBO，又∵∠CAO+∠COB+∠OAC+∠CBO=180°，∴∠CAO+∠COB=∠OAC+∠CBO=90°，∴AO⊥OB，∴MO⊥PN．（2）解：第三小组的测量方案是：如下图所示，在射线OM，ON，OP上分