2024年河南省焦作市中考数学一模试卷及答案

2024年河南省焦作市中考数学一模试卷一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）（2024•焦作一模）下列各数中比1大的数是（）A．﹣2 B．0.618 C．﹣1 D．22．（3分）（2024•焦作一模）如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（）A．汉“山阳”陶罐 B．东汉五层彩绘陶仓楼 C．东汉彩绘陶房 D．西汉铜提梁卣3．（3分）（2024•焦作一模）记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值221.4亿元，进出口规模创历史新高．数据“221.4亿”用科学记数法表示为（）A．2.214×109 B．2.214×1010 C．22.14×109 D．0.2214×10114．（3分）（2024•焦作一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE＝113°，则∠BOC的度数为（）A．46° B．56° C．67° D．77°5．（3分）（2024•焦作一模）化简m2A．mm+1 B．m-1m+1 C．m-1m6．（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，分别交AB，BC于D，E，连接DE，CD，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．（3分）（2024•焦作一模）如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）A．这10个月的月销售量的众数为28 B．这10个月中7月份的月销售量最高 C．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 D．4月至7月的月销售量逐月增加8．（3分）（2024•焦作一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（3分）（2024•焦作一模）如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），B（4，4），若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第75次结束时，矩形对角线交点D的坐标为（）A．（2，2） B．(0，22) C．(-210．（3分）（2024•焦作一模）如图1，点P从等腰直角三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到AC的中点D．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2 D．22二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）（2024•焦作一模）代数式3n可表示的实际意义是．12．（3分）（2024•焦作一模）方程组x+2y=52x+3y=8的解为13．（3分）（2024•焦作一模）焦作市两部优秀作品入选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为．14．（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．则DE的长为．15．（3分）（2024•焦作一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E为CD的中点，取AE的中点F，连接BE，BF，当△BEF为直角三角形时，a的值为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（2024•焦作一模）（1）计算：14（2）化简：（2x+y）2﹣4x（x+y）．17．（9分）（2024•焦作一模）某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，描述和分析．下面给出部分信息：a．七年级成绩的频数分布直方图如图：b．七年级成绩在80≤x＜90这一组的是：8080.58282828283.58484858686.587888989c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级平均数中位数七年级85.3m八年级87.285根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数m是分，七年级成绩的众数不可能在组；（2）甲同学测试成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，请判断甲同学是哪个年级的学生，并说明理由；（3）七年级共有500名学生，若成绩在80分以下（不含80分）的同学需要参加消防安全知识培训，请你估计七年级有多少名同学需要参加消防安全知识培训．18．（9分）（2024•焦作一模）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，连接CD．（1）请用无刻度的直尺和圆规在CD的上方作等边△CDE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，求证：BD＝AE．19．（9分）（2024•焦作一模）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，CB的长为半径作扇形BCD，BD交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，再以点C为圆心，CE的长为半径作扇形（1）求反比例函数的解析式；（2）求EG的长；（3）直接写出图中阴影部分面积之和．20．（9分）（2024•焦作一模）南水北调第一楼位于山阳故城东南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度．如图是测量第一楼高度的示意图，无人机在距地面136.65米的P处测得第一楼顶部A的俯角为11.3°，测得第一楼底部B的俯角为45°．求南水北调第一楼AB的高度．（结果精确到0.1m．sin11.3°≈0.196，cos11.3°≈0.980，tan11.3°≈0.200）．21．（9分）（2024•焦作一模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：品名AB进价（元/枚）4560售价（元/枚）6690（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？22．（10分）（2024•焦作一模）根据以下素材，探索完成任务．设计小区大门灯笼的悬挂方案素材1图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为10m，高为12m，抛物线形拱的高为2m．素材2为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为1m的灯笼，如图3．为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在0.8﹣1.5m之间．问题解决任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．23．（10分）（2024•焦作一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点A（1，﹣3）作y轴的对称点A1，再分别作点A1关于直线y＝x和x轴的对称点A2，A3，则点A2可以看作是点A绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；点A3可以看作是点A关于点的对称点．（2）探究迁移如图2，正方形ABCD中，P为直线AD下方一点，作点P关于直线CD的对称点P1，再分别作P1关于直线BD和直线AD的对称点P2和P3，连接PD，P2D，请仅就图2的情况解决以下问题：①请判断∠PDP2的度数，并说明理由；②若PD＝m，求P2，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若PD=2，∠PDC＝30°，请直接写出P1P2的长．

2024年河南省焦作市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）（2024•焦作一模）下列各数中比1大的数是（）A．﹣2 B．0.618 C．﹣1 D．2【答案】D【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，由此即可得到答案．【解答】解：比1大的数是2．故选：D．【点评】本题考查实数大小比较，算术平方根，关键是掌握实数的大小比较方法．2．（3分）（2024•焦作一模）如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（）A．汉“山阳”陶罐 B．东汉五层彩绘陶仓楼 C．东汉彩绘陶房 D．西汉铜提梁卣【答案】A【分析】根据三视图的定义可得答案．【解答】解：由各选项可知，A选项的主视图与左视图相同．故选：A．【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．3．（3分）（2024•焦作一模）记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值221.4亿元，进出口规模创历史新高．数据“221.4亿”用科学记数法表示为（）A．2.214×109 B．2.214×1010 C．22.14×109 D．0.2214×1011【答案】B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：221.4亿＝22140000000＝2.214×1010．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（3分）（2024•焦作一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE＝113°，则∠BOC的度数为（）A．46° B．56° C．67° D．77°【答案】A【分析】先求出∠BOE的度数，根据角平分线的定义即可得出∠BOD的度数，从而求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠AOE＝113°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣113°＝67°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝134°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣134°＝46°，故选：A．【点评】本题考查了邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．5．（3分）（2024•焦作一模）化简m2A．mm+1 B．m-1m+1 C．m-1m【答案】C【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．【解答】解：m=(m+1)(m-1)=m-1故选：C．【点评】此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解．6．（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，分别交AB，BC于D，E，连接DE，CD，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A＝40°，根据圆周角定理及邻补角定义求出∠BDC＝90°，根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠DCB＝20°，∵∠BED＝∠DCB+∠CDE＝∠A＝40°，∴∠CDE＝20°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．7．（3分）（2024•焦作一模）如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）A．这10个月的月销售量的众数为28 B．这10个月中7月份的月销售量最高 C．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 D．4月至7月的月销售量逐月增加【答案】C【分析】根据众数的定义、方差的意义，结合图形逐一判断即可．【解答】解：A．将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，所以这组数据的众数为28，此选项正确，不符合题意；B.7月份的销量为40，月销量最高，此选项正确，不符合题意；C．由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故此选项错误，符合题意；D.4月至7月的月销售量逐月增加，此选项正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数的定义和方差的意义．8．（3分）（2024•焦作一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】根据函数图象可知a＞0，b＞0，从而可以得到关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况，本题得以解决．【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，∴Δ＝a2+4b＞0，故一元二次方程x2+ax﹣b＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（3分）（2024•焦作一模）如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），B（4，4），若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第75次结束时，矩形对角线交点D的坐标为（）A．（2，2） B．(0，22) C．(-2【答案】C【分析】根据B（4，4）求出OB，进而求出OD，每次旋转45°，8次一个循环，75÷8＝9•••3，第75次结束时，矩形的对角线交点D与第3次的点D的坐标相同，第3次点D落在x轴的负半轴上，由此可得结论．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，B（4，4），∴OB=42+∴OD＝22，∵每次旋转45°，8次一个循环，75÷8＝9•••3，∴点D在x轴的负半轴上，∴点D的坐标为（﹣22，0）．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，点的坐标特点，旋转的性质，解题的关键是求出OD及确定旋转的最终位置．10．（3分）（2024•焦作一模）如图1，点P从等腰直角三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到AC的中点D．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2 D．22【答案】B【分析】由图2可得，点P未出发时，△PBC的面积＝2a．根据x从a到2a的过程中，y的值不变，一直是a，可得三角形内部那一点与点D的连线平行于三角形的底边，并且点A到三角形内部那一点的距离等于点D到三角形内部那一点的距离．过点D作DM∥BC，作AD的垂直平分线EF交MD于点E，连接AE，则点E即为三角形内部那一点．易得△AED是直角边长为a的等腰直角三角形，进而可得AD的长度，根据点D是AB的中点可得AB的长度．S△ABC＝2a，把相关数值代入可得a的值，即可求得AB的长度，AB的长度的2倍即为BC的长度．【解答】解：∵当x＝0时，y＝2a，∴当点P在点A处时，△PBC的面积＝2a．∵x从a到2a的过程中，y的值不变，一直是a，∴三角形内部那一点与点D的连线平行于三角形的底边，并且点A到三角形内部那一点的距离等于点D到三角形内部那一点的距离．过点D作DM∥BC，作AD的垂直平分线EF交MD于点E，连接AE，则点E即为三角形内部那一点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°．∵DM∥BC，∴∠ADM＝45°．∵EA＝ED＝a，∴∠EAD＝45°．∴∠AED＝90°．∴AD=2a∵点D是AB的中点，∴AB＝22a．∵S△ABC＝2a，∴12AB2＝2a12×（22a）2＝24a2﹣2a＝0．2a（2a﹣1）＝0．解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2=1∴AB=2∴BC=2AB故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象．读懂函数图象上关键点的意义，判断出三角形内部那一点的位置是解决本题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）（2024•焦作一模）代数式3n可表示的实际意义是每支钢笔3元，买了n支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．【答案】每支钢笔3元，买了3支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．【分析】根据代数式表示的意义和实际的联系编写场景即可．【解答】解：如：每支钢笔3元，买了n支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．故答案为：每支钢笔3元，买了3支钢笔所需的钱数（答案不唯一）．【点评】此题综合考查代数式表示的意义和实际的联系．12．（3分）（2024•焦作一模）方程组x+2y=52x+3y=8的解为x=1y=2【答案】x=1y=2【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．【解答】解：x+2y=5①2x+3y=8②①×3﹣②×2，可得﹣x＝﹣1，解得x＝1，把x＝1代入①，可得：1+2y＝5，解得y＝2，∴原方程组的解是x=1y=2故答案为：x=1y=2【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．13．（3分）（2024•焦作一模）焦作市两部优秀作品入选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项目相同的概率为14．【答案】14【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这三个年级选择的文艺项目相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：将两个文艺节目分别记为A，B，画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中这三个年级选择的文艺项目相同的结果有2种，∴这三个年级选择的文艺项目相同的概率为28故答案为：14【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．则DE的长为3．【答案】3．【分析】连接AD、OD，则∠ODB＝∠B，由AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，得∠C＝∠B＝30°，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，由AB为⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则BDAB=cos30°=32，求得CD＝BD=32AB＝23，由切线的性质得DE⊥OD，则∠CED＝∠ODE【解答】解：连接AD、OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B=1∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，BDAB=cosB∴CD＝BD=32AB=3∴DE与⊙O相切于点D，∴DE⊥OD，∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴DE=12CD=1故答案为：3．【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等往右，正确地作出辅助线是解题的关键．15．（3分）（2024•焦作一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E为CD的中点，取AE的中点F，连接BE，BF，当△BEF为直角三角形时，a的值为12或32【答案】12或3【分析】根据矩形的性质和直角三角形性质解答即可．【解答】解：∵AD＝BC，DE＝CE，∠D＝∠C，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∠AED＝∠BEC，分情况解答：①∠BEF＝90°时，则∠AED＝∠BEC＝45°，∴BC＝CE=12CD∴α=1②∠BFE＝90°时，∴EF=12AE=∴∠BEF＝60°，∴△BEF为正三角形，∴BE＝AB＝1，∴CE=1则BC=1∴α=3③∠FBE＝90°，不存在，故答案为：α=12或【点评】本题考查了矩形的性质，掌握分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（2024•焦作一模）（1）计算：14（2）化简：（2x+y）2﹣4x（x+y）．【答案】（1）23；（2）y2【分析】（1）利用算术平方根的应用，负整数指数幂的应用和绝对值的意义化简运算即可；（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简运算即可．【解答】解：（1）原式=＝1-=2（2）原式＝4x2+4xy+y2﹣4x2﹣4xy＝y2．【点评】本题主要考查了算术平方根的应用，负整数指数幂的应用和绝对值，完全平方公式，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．17．（9分）（2024•焦作一模）某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，描述和分析．下面给出部分信息：a．七年级成绩的频数分布直方图如图：b．七年级成绩在80≤x＜90这一组的是：8080.58282828283.58484858686.587888989c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：年级平均数中位数七年级85.3m八年级87.285根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数m是82分，七年级成绩的众数不可能在50≤x＜60组；（2）甲同学测试成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，请判断甲同学是哪个年级的学生，并说明理由；（3）七年级共有500名学生，若成绩在80分以下（不含80分）的同学需要参加消防安全知识培训，请你估计七年级有多少名同学需要参加消防安全知识培训．【答案】（1）82，50≤x＜60；（2）甲同学是七年级的学生；（3）210名．【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行解答即可；（2）根据中位数的定义，结合甲同学的成绩进行解答即可；（3）求出样本中，七年级学生成绩在80分以下（不含80分）的同学所占的百分比，进而估计整体中成绩在80分以下（不含80分）的同学所占的百分比，由频率=频数【解答】解：（1）将抽查的七年级50名学生的成绩从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为82+822=82（分），所以中位数是82分，即由于七年级成绩在80≤x＜90这一组中82分的有4人，因此众数不可能出现在组内人数小于4的组，由频数分布直方图可知，人数小于4人的组50≤x＜60，因此七年级成绩的众数不可能在50≤x＜60这一组，故答案为：82，50≤x＜60；（2）甲同学测试成绩为83分，七年级学生成绩的中位数是82分，八年级学生成绩的中位数是85分，甲同学的成绩在七年级学生成绩的中位数之上，所以可以得出甲同学是七年级的学生；（3）500×2+5+14答：七年级500名学生中大约有210名同学需要参加消防安全知识培训．【点评】本题考查中位数、众数，频数分布直方图，理解中位数、众数的定义，掌握频率=频数18．（9分）（2024•焦作一模）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，连接CD．（1）请用无刻度的直尺和圆规在CD的上方作等边△CDE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，求证：BD＝AE．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【分析】（1）分别以C，D为圆心，线段CD的长为半径画弧，在CD的上方交于点E，连接DE，CE即可．（2）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质证明即可．【解答】（1）解：如图，分别以C，D为圆心，线段CD的长为半径画弧，在CD的上方交于点E，连接DE，CE，则△CDE即为所求．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE．∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．19．（9分）（2024•焦作一模）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形．如图，正方形ABCD的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象经过正方形的顶点A（2，2），以点C为圆心，CB的长为半径作扇形BCD，BD交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG，再以点C为圆心，CE的长为半径作扇形（1）求反比例函数的解析式；（2）求EG的长；（3）直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1）y=4（2）2π（3）24﹣6π．【分析】（1）将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）由EG=14×（3）S阴影ABD＝S正方形ABCD﹣S扇形CBD，同理可得：S阴影EFG＝8﹣2π，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：k＝2×2＝4，即反比例函数的表达式为：y=4（2）由点A的坐标得，OA＝22=CO则EG=14×2πr=14（3）由点A的坐标得，AB＝4＝BC，S阴影ABD＝S正方形ABCD﹣S扇形CBD＝4×4-14×π×r2＝16-14×π同理可得：S阴影EFG＝8﹣2π，则图中阴影部分面积之和＝16﹣4π+8﹣2π＝24﹣6π．【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到扇形面积和弧长的计算、正方形的性质等，确定阴影部分面积的计算方法是解题的关键．20．（9分）（2024•焦作一模）南水北调第一楼位于山阳故城东南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、展陈的文化地标．某小组利用无人机测量第一楼高度．如图是测量第一楼高度的示意图，无人机在距地面136.65米的P处测得第一楼顶部A的俯角为11.3°，测得第一楼底部B的俯角为45°．求南水北调第一楼AB的高度．（结果精确到0.1m．sin11.3°≈0.196，cos11.3°≈0.980，tan11.3°≈0.200）．【答案】南水北调第一楼AB的高度约为109.3米．【分析】过点P作PD⊥BA，交BA的延长线于点D，根据题意可得：BD＝CP＝136.65米，然后在Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，再在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点P作PD⊥BA，交BA的延长线于点D，由题意得：BD＝CP＝136.65米，在Rt△BDP中，∠BPD＝45°，∴DP=BD在Rt△ADP中，∠DPA＝11.3°，∴AD＝DP•tan11.3°≈136.65×0.2＝27.33（米），∴AB＝BD﹣AD＝136.65﹣27.33≈109.3（米），∴南水北调第一楼AB的高度约为109.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（9分）（2024•焦作一模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：品名AB进价（元/枚）4560售价（元/枚）6690（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）全部售完后获利2880元；（2）购进A种纪念币100枚，购进B种纪念币50枚，获得最大利润为3600元．【分析】（1）分别计算出A、B种纪念币单件售出后的利润，再计算总获利即可；（2）设购进A种纪念币x枚，则购进B种纪念币（150﹣x）枚，总利润为w元，x≤2（150﹣x），解得x≤100，w＝（66﹣45）x+（150﹣x）（90﹣60）＝﹣9x+4500，根据一次函数性质解答问题即可．【解答】解：（1）A种纪念币单件获利（66﹣45）＝21（元），B种纪念币单件获利（90﹣60）＝30（元），∴购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，全部售完后获利：80×21+40×30＝1680+1200＝2880（元）．答：全部售完后获利2880元．（2）设购进A种纪念币x枚，则购进B种纪念币（150﹣x）枚，总利润为w元，x≥2（150﹣x），解得x≥100，w＝（66﹣45）x+（150﹣x）（90﹣60）＝﹣9x+4500，∵﹣9＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x取100时，w有最大值，最大值为3600元．∴B种纪念币的数量为150﹣100＝50（枚）．答：购进A种纪念币100枚，购进B种纪念币50枚，获得最大利润为3600元．【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．22．（10分）（2024•焦作一模）根据以下素材，探索完成任务．设计小区大门灯笼的悬挂方案素材1图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为10m，高为12m，抛物线形拱的高为2m．素材2为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为1m的灯笼，如图3．为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在0.8﹣1.5m之间．问题解决任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务1：y=-225x任务2：灯笼数量为4个；任务3：最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为﹣3.3．【分析】任务1．以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），把点E、D的坐标代入可得a和k的值，即可得到抛物线的解析式；任务2．若有x盏灯笼，则有（x+1）个间隔，根据间隔的总长度列出不等式，即可求得x的取值范围，进而可得x的值；任务3．最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标＝点A的横坐标+灯笼之间的间隔+灯笼的半径长，把相关数值代入计算即可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【解答】解：任务1．如图，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系．∵正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，矩形的宽为10m，高为12m，抛物线形拱的高为2m．∴拱顶E的坐标为（0，14），点D的坐标为（5，12