2027届新高考数学热点精准复习　函数的单调性与最值

2027届新高考数学热点精准复习函数的单调性与最值第二章函数目

录CONTENTS01必备知识基础落实02关键能力精准突破03教考衔接素养提升课

标

解

读1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它

们的作用和实际意义.2.了解函数奇偶性的概念和几何意义.3.了解函数周期性的概念和几何意义.

知识点一

函数的单调性1.增函数与减函数

（1）在区间

I

上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.（2）函数

f

（

g

（

x

））的单调性与函数

y

＝

f

（

u

）和

u

＝

g

（

x

）的单调性的关

系是“同增异减”.（3）函数最值的结论①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一

定在端点处取得.②开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值.2.单调区间的定义如果函数

y

＝

f

（

x

）在区间

I

上

或

，那么就说函数

y

＝

f

（

x

）在这一区间具有（严格的）单调性，区间

I

叫做

y

＝

f

（

x

）的单调区间.单调递增单调递减

（1）如果一个奇函数

f

（

x

）在原点处有定义，即

f

（0）有意义，那么一定有

f

（0）＝0.（2）如果函数

f

（

x

）是偶函数，那么

f

（

x

）＝

f

（｜

x

｜）.（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即

f

（

x

）＝0，

x

∈

D

，其中

定义域

D

是关于原点对称的非空数集.（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上

具有相反的单调性.知识点二

函数的最值前

提设函数

y

＝

f

（

x

）的定义域为

D

，如果存在实数

M

满足条

件∀

x

∈

D

，都有

⁠；

∃

x0∈

D

，使得

⁠∀

x

∈

D

，都有

；∃

x0∈

D

，使得

⁠结

论

M

为最大值

M

为最小值f

（

x

）≤

M

f

（

x0）＝

M

f

（

x

）≥

M

f

（

x0）＝

M

知识点三

函数的奇偶性1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，如果∀

x

∈

D

都有－

x

∈

D

，且

，那么函数

f

（

x

）就叫做偶函数都有－

x

∈

D

，且

⁠

，那么函数

f

（

x

）就叫做奇函数图象特征关于

y

轴对称关于坐标原点对称f

（－

x

）＝

f

（

x

）

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）

对称性的3个常用结论（1）若函数

y

＝

f

（

x

＋

a

）是偶函数，即

f

（

a

－

x

）＝

f

（

a

＋

x

），则函数

y

＝

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝

a

对称.（2）若对于R上的任意

x

都有

f

（2

a

－

x

）＝

f

（

x

）或

f

（－

x

）＝

f

（2

a

＋

x

），则

y

＝

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝

a

对称.（3）若函数

y

＝

f

（

x

＋

b

）是奇函数，即

f

（－

x

＋

b

）＋

f

（

x

＋

b

）＝0，则函

数

y

＝

f

（

x

）的图象关于点（

b

，0）中心对称.

周期函数定义的实质存在一个非零常数

T

，使

f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）为恒等式，即自变量

x

每增加一个

T

后，函数值就会重复出现一次.知识点四

函数的周期性1.周期函数一般地，设函数

f

（

x

）的定义域为

D

，如果存在一个非零常数

T

，使得对每一个

x

∈

D

都有

x

＋

T

∈

D

，且

，那么函数

f

（

x

）就叫做周期

函数.非零常数

T

叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数

f

（

x

）的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

⁠

就叫做

f

（

x

）的最小正周期.f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）

最小最小

正数

××××√（6）若函数

y

＝

f

（

x

＋2）是奇函数，则函数

y

＝

f

（

x

）的图象关于点（2，0）

中心对称.

（

√

）√二、版本互鉴1.（人教A版必修第一册P79T3改编）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减

的是（

）B.

y

＝

x2－

x

D.

y

＝e

x

答案：A2.（苏教版必修第一册P111例1改编）函数

f

（

x

）＝

x2－2

x

的单调递增区间

是

.答案：[1，＋∞）3.（北师大版必修第一册P62T3改编）已知函数

f

（

x

）＝

x2－2

kx

＋4在[5，20]上

具有单调性，则实数

k

的取值范围是

.解析：易知

f

（

x

）＝

x2－2

kx

＋4的图象的对称轴为

x

＝

k

，由题意可得

k

≤5或

k

≥20.答案：（－∞，5]∪[20，＋∞）

答案：25.（苏教版必修第一册P126T7改编）如果函数

f

（

x

）＝

x2＋2

x

－3，

x

∈[0，2]，

那么函数

f

（

x

）的值域为

.答案：[－3，5]6.（苏教版必修第一册P126T5改编）已知

f

（

x

）＝

ax2＋

bx

是定义在[

a

－1，2

a

]

上的偶函数，那么

a

＋

b

的值是

.

7.（人教A版必修第一册P86T11改编）已知函数

f

（

x

）为奇函数，当

x

＜0时，

f

（

x

）＝2

x

＋2，则

f

（1）＝

.

8.（北师大版必修第二册P4T3改编）已知

f

（

x

）是定义在R上的周期为3的奇函

数，且

f

（－1）＝2

f

（10）＋3，则

f

（2021）＝

.解析：由题意知

f

（2021）＝

f

（3×674－1）＝

f

（－1），而

f

（－1）＝2

f

（10）＋3＝2

f

（3×3＋1）＋3＝2

f

（1）＋3＝－2

f

（－1）＋3，即3

f

（－1）＝

3，解得

f

（－1）＝1，故

f

（2021）＝1.答案：1

考点1

求函数的单调区间

（自悟通）1.（多选）下列是函数

f

（

x

）＝｜

x2－6

x

＋8｜的单调递减区间的是（

）A.（－∞，2）B.（－∞，3）C.[3，4]D.（2，3）

函数图象如图所示.由图可知函数

f

（

x

）的单调递减区间为（－∞，2）和[3，4].

答案：[2，＋∞）

（－∞，－3]

考点2

判断函数的单调性

（自悟通）1.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（

）A.

f

（

x

）＝－

x

C.

f

（

x

）＝

x2

判断函数的单调性的方法定义法一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论图象法若

f

（

x

）是以图象形式给出的，或者

f

（

x

）的图象易作出，则可由图

象的上升或下降确定单调性导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性性质法利用已知函数的单调性复合法函数

y

＝

f

（

g

（

x

））的单调性应根据外层函数

y

＝

f

（

t

）和内层函数

t

＝

g

（

x

）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则

求函数最值的4种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值换元法对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法

求最值

解析：在同一坐标系中，作出函数

f

（

x

），

g

（

x

）的图象，依题意，

h

（

x

）的

图象如图中实线所示.易知点

A

（2，1）为图象的最高点，因此

h

（

x

）的最大值是

h

（2）＝1.答案：1

考点4

函数单调性的应用

（精研通）命题点1

比较大小【例2】

已知函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝1对称，当

x2＞

x1＞1时，[

f

（

x2）－

f

（

x1）]·（

x2－

x1）＜0恒成立，设

a

＝

f

（－1），

b

＝

f

（2），

c

＝

f

（e）（其

中e＝2.71828…），则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

）A.

a

＞

c

＞

b

B.

b

＞

c

＞

a

C.

b

＞

a

＞

c

D.

c

＞

b

＞

a

B

解析：由题意得，

f

（

x

）在（1，＋∞）上单调递减.因为函数图象关于直线

x

＝1对称，所以

f

（－1）＝

f

（3）.又3＞e＞2＞1，所以

f

（3）＜

f

（e）＜

f

（2），所以

a

＜

c

＜

b

.

利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性

质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选

用数形结合的方法进行求解.

设偶函数

f

（

x

）的定义域为R，当

x

∈[0，＋∞）时，

f

（

x

）是增函数，则

f

（－2），

f

（π），

f

（－3）的大小关系是（

）A.

f

（π）＞

f

（－3）＞

f

（－2）B.

f

（π）＞

f

（－2）＞

f

（－3）C.

f

（π）＜

f

（－3）＜

f

（－2）D.

f

（π）＜

f

（－2）＜

f

（－3）A

解析：因为函数

f

（

x

）为R上的偶函数，所以

f

（－3）＝

f

（3），

f

（－2）

＝

f

（2）.因为当

x

∈[0，＋∞）时，

f

（

x

）是增函数，所以

f

（π）＞

f

（3）＞

f

（2），所以

f

（π）＞

f

（－3）＞

f

（－2）.命题点2

解不等式【例3】

定义在[－2，2]上的函数

f

（

x

）满足（

x1－

x2）[

f

（

x1）－

f

（

x2）]＞0，

x1≠

x2，且

f

（

a2－

a

）＞

f

（2

a

－2），则实数

a

的取值范围为（

）A.[－1，2）B.[0，2）C.[0，1）D.[－1，1）

求解与抽象函数有关的不等式时应注意的点在解决此类问题时，往往是利用函数的单调性将“

f

”符号脱掉，使其转化为具体

的不等式求解.提醒：此时应特别注意函数的定义域.

A.（－1，9）B.（－∞，－1）∪（9，＋∞）C.[－1，7]D.（－∞，－1]∪[7，＋∞）∴

f

（

x

）在（－∞，1]上单调递减.∵

f

（3）＝3，∴

f

（－1）＝

f

（3）＝3.由

f

（2

x

－

a

）－3＞0知

f

（2

x

－

a

）＞

f

（3）或

f

（2

x

－

a

）＞

f

（－1），∴2

x

－

a

＞3或2

x

－

a

＜－1，∴

a

＜2

x

－3或

a

＞2

x

＋1.∵

x

∈（1，3），∴

a

≤－1或

a

≥7.D

解析：由题意可知

f

（

x

）在[1，＋∞）上单调递增.∵

f

（

x

－1）＝

f

（3－

x

），∴

f

（

x

）图象关于

x

＝1对称，

A.（－∞，－1]∪（8，＋∞）B.（－∞，8]C.（－∞，－2]∪（－1，＋∞）D.（－∞，－2]∪（－1，8]D

解析：因为偶函数

f

（

x

）在[0，＋∞）上单调递减，所以

f

（

x

）在（－∞，

0]上单调递增，且

f

（5）＝

f

（－5）.又

f

（5）＝－

f

（－5），所以

f

（5）＝

f

（－5）＝0.

解得－1＜

x

≤8或

x

≤－2.

A.（－∞，1]B.[1，4]C.[4，＋∞）D.（－∞，1]∪[4，＋∞）D

解析：（1）作出函数

f

（

x

）的图象如图所示，由图象可知

f

（

x

）在（

a

，

a

＋1）上单调递增，需满足

a

＋1≤2或

a

≥4，即

a

≤1

或

a

≥4.（2）已知函数

f

（

x

）＝e｜

x－

a｜（

a

为常数）.若

f

（

x

）在区间[1，＋∞）上是增

函数，则

a

的取值范围是（

）A.（－∞，1）B.（－∞，1]C.（1，＋∞）D.[1，＋∞）B

解析：因为函数

y

＝e

x

为增函数，若

f

（

x

）在区间[1，＋∞）上是增函数，由

复合函数的单调性知，必有

t

＝｜

x

－

a

｜在区间[1，＋∞）上是增函数.又

t

＝｜

x

－

a

｜在区间[

a

，＋∞）上是增函数，所以[1，＋∞）⊆[

a

，＋∞），故有

a

≤1.

利用单调性求参数的范围（或值）的方法（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，

与已知单调区间比较求参数；（2）需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调

性，还要注意分界点处的函数值大小.

A.（0，1）

教考衔接2

复合函数的单调性

函数单调性问题是每年高考必考内容，考题多源自教材例题或习题，主要考查

函数单调性的判定或利用函数单调性求参数问题.

教材以二次函数、指数函数为背景，考查函数的单调区间及判断函数的

单调性.将函数解析式作适当变化，如将函数变为简单的复合函数，或将二次函数与

指数函数进行简单复合得到复合函数，并根据复合函数“同增异减”的原则，求其

单调区间或求参