2026届高三二轮高效复习主题巩固卷数学导数的几何意义及函数的单调性含解析

[课下巩固检测练(三)]导数的几何意义及函数的单调性(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分)一、单选题1.(2025·福建莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为()A.－1，－1C.1，e－1解析：选B.y'＝x+1ex－1，令x+1ex－1＝－1，则x+1ex＝0，故x当x＝－1时，y＝－e－1－－1＝1－1e，即P的坐标为2.函数y＝lnxx的单调递增区间是(A.－∞，1e B.C.0，1e 解析：选D.由题意，函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，则y'＝当x∈(0，e)时y'＞0；当x∈(e，＋∞)时y'＜0，显然y＝lnxx的单调递增区间为(0，e3.已知函数f(x)＝ln(a＋x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，则a＝()A.1 B.0C.－1 D.－2解析：选A.∵f(x)＝ln(a＋x)，∴f'(x)＝1a+x，由题意得，f'(0)＝1a＝1，解得4.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)若函数hx＝lnx－12ax2－2x在1，4上单调递增，则实数a的取值范围为(A.－∞，－1C.－∞，－7解析：选A.因为函数hx＝lnx－12ax2－2x在1，所以h'x＝1x－ax－2≥0在1，4上恒成立，即a≤1x2－令Gx＝1x2－2x，x∈1，4，变形得Gx＝(1x－1)2－1所以当1x＝1，即x＝1时，G(x)min＝－1，所以a≤－15.已知函数f(x)＝1＋ln1+x－1+2x，则下列正确的是(A.f－0.33＞fB.f－0.44＞fC.f－0.33＞0D.f－0.44＞0解析：选B.由1+x＞0，1+2x≥0由题意知f'(x)＝11+x－11+2令函数g(x)＝1+2x－1－x当－12＜x＜0时，g'x＝11+2x－1＞0，即g(x)在－12，0单调递增，所以g(x故f'(x)＜0在区间－12，0上恒成立，则f(x)所以f(x)＞f0＝0，由函数的单调性可知f－0.44＞f－二、多选题6.已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈R，则()A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)为单调减函数D.曲线y＝f(x)在点π，fπ处的切线斜率为3π解析：选AD.定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝x3＋sinx，得f－x＝－x3＋sin－x＝－x3－sinx＝－f所以函数f(x)为奇函数，故A正确，B错误；fπ2＝π38＋1＞f0＝0，故f(x)＝x3＋sinx，x∈R不是减函数，故又f'(x)＝3x2＋cosx，所以f'π＝3π2＋cosπ＝3π2－1，故D正确.7.(2025·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝sinx－lnx，f'(x)是其导函数.若存在x1，x2∈0，π且x1＜x2，满足f'x1＝f'x2，则A.fx1＞fB.x1x2＞1C.fx1fx2D.fx1＋fx2解析：选ABD.f'(x)＝cosx－1x，数形结合，得到0，π内y＝cosx，y＝故f'(x)＜0x∈0，π，fx1＞f由f'x1＝f'x2得cosx2－1x2＝cosx1－1x1，即x2-x1x2x1＝cosx1－cosx2＝cos(x2+由题意x2-x12∈0，π2，则x2-x1∵x＞0，sinx＜x，则x1x2＞1，B正确.又fx1＋fx2＝sinx1＋sinx2－lnx1x2＜sinx1＋sinx2＜2，D因为fx1fx2＜fx1+fx三、填空题8.(2025·湖北鄂州一模)已知函数f(x)＝(x2+1)12－ax在[0，＋∞)上单调递减解析：函数f(x)＝(x2+1)12－ax，求导得f'(x)＝12(x2＋1)－12依题意，∀x∈[0，＋∞)，f'(x)≤0⇔a≥xx2+1，而当x≥0时，xx2则a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞).答案：[1，＋∞)9.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝2x－sin2x，则不等式fx2＋f2x－3＜解析：f(x)＝2x－sin2x的定义域为R，∵f'(x)＝2－2cos2x＝2(1－cos2x)≥0，∴函数f(x)是R上的增函数，∵f－x＝－2x－sin－2x＝－(2x－sin2x)＝－f(x)，∴函数f(x∴由fx2＋f2x－3＜0得fx2＜－f(2x－3∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒(x－1)(x＋3)＜0⇒－3＜x＜1，∴不等式fx2＋f2x－3＜答案：－四、解答题10.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝12x＋lnx－(1)求f(x)的单调区间；(2)记f(x)的两个零点分别为x1，x2(x1＜x2)，求曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程.解：(1)函数f(x)＝12x＋lnx－12的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－12x当x∈(0，12)时，f'(x)＜0；当x∈(12，＋∞)时，f'(x)＞所以函数f(x)的单调递减区间为(0，12)，单调递增区间为(12，＋∞(2)由(1)知f(12)＝12－ln2＜0，f(1e2)＝e22－52＞0，因此函数f(x)有两个零点x1，x2，且0＜x1＜12＜x2，即x2＝1则所求切线的切点坐标为(1，0)，斜率k＝f'(1)＝12，切线方程为y＝12x－所以曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为y＝12x－111.(2025·北京门头沟一模)已知函数f(x)＝xlnx－a2x2＋a－(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点1，f(2)设g(x)＝f'(x)，讨论函数g(x)的单调性；(3)若f(x)在定义域上单调递减，求a的取值范围.解：(1)当a＝2时可得f(x)＝xlnx－x2＋x，则f'(x)＝lnx－2x＋2，此时f1＝0，f'1＝0，因此切线方程为y－0＝0x－1，即y＝(2)由f(x)＝xlnx－a2x2＋a－1x且f'(x)＝lnx－ax＋a，即g(x)＝lnx－ax＋a，显然g'x＝1x－a＝1当a≤0时，g'x＞0，此时g(x)在0，＋当a＞0时，令g'x＝0可得x＝1a若x∈0，1a，g'x＞0，此时g(x)在若x∈1a，＋∞，g'x＜0，此时g(x)综上可得，当a≤0时，g(x)在0，＋当a＞0时，g(x)在0，1a上单调递增，在(3)若f(x)在定义域上单调递减，可得f'(x)＝lnx－ax＋a≤0在0，＋由(2)可得当a≤0时，g(x)即f'(x)在0，＋当x→＋∞，可得f'(x)→＋∞，显然不合题意；当a＞0时，可得f'(x)在0，1a上单调递增，在即f'(x)在x＝1a处取得极大值，也是最大值即f'xmax＝f'1a＝ln1a－1＋a＝a－lna－1≤令ua＝a－lna－1，a＞0；则u'a＝1－1a＝a显然当a∈0，1时，u'a＜0，此时ua在0当a∈1，＋∞时，u'a＞0，此时ua在因此ua≥u1＝0，即a－lna－1≥0，又a－lna－1≤0恒成立，可得a－lna－1＝0，即a＝1.所以a的取值范围为a∈1.[创新题]12.(2025·河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝y″1+y'232(y'是y的导数，y″是y'的导数)，曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为v2ρ.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2A.12v02 B.2v02 C解析：选B.设f(x)＝x3－x2，则f'(x)＝3x2－2x，f″x＝6x－2，所以f'0＝0，f″0＝－2，则曲线在点0，0处的曲率K＝-21+0232故曲线y＝x3－x2在点0，0处的向心加速度的大小为v0213.(2024·河北邢台一模)如果方程F(x，y)＝0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x，y)＝0中，把y看成x的函数y＝yx，则方程可看成关于x的恒等式Fx，yx＝0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'x即可.例如，求由方程x2＋y2＝1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2＋y2＝1的两边同时对x求导，则2x＋2y·y'＝0(y＝y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y'＝－x