初中数学九年级下册 相似与位似 核心知识清单

初中数学九年级下册相似与位似核心知识清单一、比例线段与相似图形基础【基础】▲（一）两条线段的比【基础】在同一单位长度下，两条线段长度的比值称为这两条线段的比。线段的比是一个没有单位的正数。求两条线段的比时，必须先将单位统一。（二）成比例线段【基础】▲对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a:b=c:d（即ad=bc），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其中，a、b、c、d称为比例的项，a和d叫做比例外项，b和c叫做比例内项。（三）比例的基本性质【基础】★1.基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之，如果ad=bc（a、b、c、d都不为0），那么a:b=c:d。2.合比性质：如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。............/b=c/d=...=m/n(b+d+...+n≠0)，那么(a+c+...+m)/(b+d+...+n)=a/b。4.分割：【高频考点】★如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC²=AB·BC，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的分割点，AC与AB的比叫做比。比AC∶AB=(√51)/2∶1≈0.618∶1。一条线段有两个分割点。（四）平行线分线段成比例【基础】★1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，l₁∥l₂∥l₃，直线a、b被l₁、l₂、l₃所截，那么AB/BC=DE/EF。2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。这是证明比例线段和相似三角形预备定理的基础。二、相似多边形的定义与性质【基础】▲（一）相似图形形状相同的图形叫做相似图形。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。（二）相似多边形的定义如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。这两个条件缺一不可。（三）相似比相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。通常用字母k表示。当相似比k=1时，两个相似多边形即为全等多边形。（四）相似多边形的性质【基础】★1.对应角相等。2.对应边成比例。3.周长比等于相似比。4.面积比等于相似比的平方。5.相似多边形中对应的三角形也相似，且相似比相同。6.相似多边形中的对应线段（如对角线、对应高、对应中线、对应角平分线）之比都等于相似比。三、相似三角形的判定与性质【核心考点】★★★相似三角形的学习是本章的重中之重，是解决几何综合题和函数综合题的关键工具。（一）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。用符号“∽”表示，读作“相似于”。书写对应顶点时，需将对应顶点写在对应的位置上，以便准确地找出对应角和对应边。（二）相似三角形的判定方法【核心】★★★1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是所有判定方法中最基本、最重要的一个。2.判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简记为：两角分别相等的两个三角形相似。这是最常用的判定方法。3.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。【易错点】▲注意：必须是夹角相等，而不能是其中一边的对角相等。4.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简记为：三边成比例的两个三角形相似。5.直角三角形相似的判定定理【重要】：（1）以上所有判定定理均适用于直角三角形。（2）特殊的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。简记为：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（三）相似三角形的性质【核心】★★★1.基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2.重要线段性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。3.周长比性质：相似三角形周长的比等于相似比。4.面积比性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.推广：相似多边形中的对应三角形相似，其性质也适用于相似多边形。（四）相似三角形的基本模型【难点】★★★掌握基本模型是快速解题的关键。常见的模型有：1.“A字型”和“8字型”(由平行线产生)。2.“反A型”(共角型)和“反8型”：∠A=∠A，∠AED=∠B或AD/AC=AE/AB等条件构成。3.“双垂直型”(射影定理型)【重要】：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。则有三对相似三角形：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，△ACD∽△CBD。由此可推导出：CD²=AD·DB，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。这是考试中一个高频考点。4.“一线三等角型”(K型图)【重要】：一条直线上有三个相等的角，通常会产生左右两个三角形相似。特别是在矩形或等边三角形背景下，常用来求线段长度或证明比例式。5.“旋转型”：一个三角形绕某点旋转后与另一个三角形相似。四、位似图形【重点】★（一）位似图形的定义【基础】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。注意：位似是相似的特殊位置关系。位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。（二）位似图形的性质【基础】▲1.位似图形上任意一对对应点与位似中心在同一直线上。2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。3.位似图形中对应线段平行或在同一条直线上。4.两个位似图形可能位于位似中心的两侧（中心对称），也可能位于位似中心的同侧。（三）位似图形的画法【基础】▲1.确定位似中心。2.分别连接原图形上的关键点与位似中心，并延长（或反向延长）。3.根据位似比，在所作直线上截取对应点，使得对应点到位似中心的距离之比等于位似比。4.按原图形的顺序连接各对应点，得到所求作的图形。注意：利用位似，可以将一个图形放大或缩小。当位似比大于1时，图形被放大；当位似比在0到1之间时，图形被缩小。（四）坐标系中的位似变换【高频考点】★在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么：1.当新图形与原图形在位似中心同侧时，原图形上的点(x,y)对应的新图形上的点的坐标为(kx,ky)。2.当新图形与原图形在位似中心异侧时（即关于原点位似且方向相反），原图形上的点(x,y)对应的新图形上的点的坐标为(kx,ky)。【易错点】▲做题时，务必看清题目描述的是“同侧”还是“异侧”，或者是否需要考虑两种情况。通常，在没有特殊说明的情况下，求出的坐标往往有两个，分别对应两个方向的位似图形。五、相似三角形的实际应用【实践与综合】★★★相似三角形的应用是理论联系实际的体现，主要考查建模能力和方程思想。（一）测量高度与宽度【热点】1.利用阳光下的影子（太阳光线可近似看作平行线）：人的高度/人的影长=旗杆的高度/旗杆的影长。通过测量人的身高、人的影长和旗杆的影长，即可求得旗杆的高度。2.利用标杆（构造A字型或X字型）：通过观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端三点共线，利用相似三角形的性质求解。3.利用镜面反射（入射角等于反射角）：人的眼睛、镜子、物体底部构成反射关系。根据物理学原理，反射角等于入射角，从而得到两个直角三角形相似。4.测量河宽：通常利用全等三角形的知识或构造相似三角形（如X字型）来间接测量无法直接到达的距离。（二）位似在生活中的应用1.幻灯机或投影仪：光源相当于位似中心，胶片上的图案通过光源投射到屏幕上，得到放大的位似图形。2.照相机的成像原理：小孔成像中，物体和它的像与光心构成位似关系。六、中考考点、考向与解题策略【终极指南】★★★（一）高频考点与考向分析1.【必考】相似三角形的判定与性质的综合应用：这是全卷的必考点，常出现在选择题、填空题的压轴题和解答题中。通常结合平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆的有关知识进行综合考查。2.【必考】相似与函数的综合题：在二次函数或一次函数背景下的压轴题中，常利用相似三角形的性质来求点的坐标、线段长度或函数解析式。例如，在抛物线上找一点，使得以某三点为顶点的三角形与已知三角形相似。这种题目通常需要分类讨论，难度较大。3.【必考】位似与坐标变换：以选择题或填空题的形式考查，给定原图形上点的坐标和位似中心（常为原点）及位似比，求对应点的坐标。需要注意方向性。4.【常考】射影定理（双垂直模型）：在直角三角形背景下，常用来证明线段的比例关系或求线段长度。5.【常考】利用相似解决实际问题：如测量旗杆高度、河宽等，通常以填空题或解答题的形式出现，难度中等。（二）解题步骤与技巧1.证明比例式或等积式的一般步骤：（1）先将等积式化为比例式。（2）寻找证明两个三角形相似的条件。观察比例式中的四条线段，看它们是否分别属于两个可能相似的三角形。（3）如果找不到直接相似，可以考虑等线段替换、等比替换或等积替换。（4）通过已知条件（如平行线、角平分线、垂直、中点等）推导出角相等或边成比例。（5）最后利用相似三角形的性质得出结论。2.解决动态几何问题的策略：（1）用含时间t的代数式表示相关线段的长度。（2）抓住运动过程中的不变量和特殊位置。（3）当出现“以A、B、C为顶点的三角形与△DEF相似”时，一定要进行分类讨论：①△ABC∽△DEF；②△ABC∽△DFE；③△ABC∽△EDF等。因为对应关系不确定。（4）根据对应边成比例列出方程，求解并验证解的合理性。3.坐标系中相似三角形的存在性问题：（1）设出关键点的坐标（通常用含参数的式子表示）。（2）求出或表示出相关线段的长度。（3）由于对应关系不确定，需要分情况讨论，列出比例方程。（4）解方程，注意检验所得点是否符合题意（是否在函数图像上，是否构成三角形等）。（三）易错点警示1.【易错点1】：在运用“两边对应成比例且夹角相等”判定相似时，误将非夹角当成夹角。例如，在△ABC和△DEF中，若AB/DE=AC/DF，且∠B=∠E，此时两个三角形不一定相似，因为∠B和∠E并非AB与AC或DE与DF的夹角。2.【易错点2】：混淆相似三角形的面积比与相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比。3.【易错点3】：在求位似变换后的坐标时，忽略“方向”导致漏解。若题目只说“以原点为位似中心，相似比为2的位似图形”，则对应点的坐标有两种可能：乘以2或乘以2。4.【易错点4】：在复杂图形中，不能准确找出相似三角形的对应