2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第3章第5讲　函数的图象、函数的应用

第三章函数第5讲

函数的图象、函数的应用1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.2.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.3.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理列表描点连线f(x)＋bf(ωx)－f(－x)f(x)＝0(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与_____有公共点⇔函数y＝f(x)有_____．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有_______，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得______，这个____也就是方程f(x)＝0的解．x轴零点f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0c注意：由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(4)二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且_________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)<0

函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax单调递增3．函数模型指数函数、对数函数及幂函数三种增长型模型的图象与性质单调递增单调递增y轴x轴重点考法突破考法1识图与辨图函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象．1.(2026·陕西安康模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－lnx的图象大致为(

)(1)函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(

)A．3 B．4C．5 D．6考法2函数零点或方程根的个数问题解析：求函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，可转化为求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.故选A.判定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所满足的条件．(3)数形结合法转化为两个函数图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．(2026·吉林部分重点中学模拟)函数f(x)＝2x＋4x＋6x＋…＋2024x－2025x的零点个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3考法3函数零点的应用角度1与零点有关的比较大小问题在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．角度2由函数零点存在情况或个数求参数范围(1)(2026·辽宁抚顺模拟)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(

)A．[－4，1)B．(－4，1] C．[－1，4) D．(－1，4]已知函数零点求参数范围的常用方法1.(2026·山西太原模拟)关于x的方程2cos2x－sinx＋a＝0有实数解，则实数a的取值范围是________．2．(2025·山东临沂三模)已知函数f(x)＝kx＋k(k>0)，g(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则k的取值范围是________．高阶拓展——借助“等高线”求解方程中的多根问题如图，对于函数y＝f(x)，若存在不相等的实数n1，n2，n3，…，使得f(n1)＝f(n2)＝f(n3)＝…＝t，则称直线y＝t为函数f(x)图象的“等高线”．考法4函数模型的应用求解函数模型实际问题的步骤(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．(多选)(2025·甘肃定西二模)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(单位：W/cm2)．但在实际生活中，常用声音的声强级D(单位：dB)来度量，声强级D(单位：dB)与声强I(单位：W/cm2)的关系近似满足D＝algI＋b，经过多次测定，得到如下数据：课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考点判断函数零点所在的区间求函数的零点根据函数解析式判断函数的图象判断函数零点的个数幂函数模型的应用根据函数图象判断函数解析式根据函数解析式判断函数零点的取值情况根据函数零点的个数求参数的取值范围根据函数解析式判断函数的图象题号1011121314高阶拓展15161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点指数函数模型的应用根据函数解析式判断方程根的取值情况及根的个数二分法求函数零点的步骤根据函数零点的个数求参数的取值范围根据函数解析式判断方程实数解的个数借助等高线求与根相关的代数式的取值范围借助等高线判断方程中根的取值范围借助等高线求与最值相关的参数的比值借助等高线求与根相关的代数式的最小值4．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函