2025-2026学年河北省NT20名校联合体高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省NT20名校联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=a+(a−1)i(a∈R)为纯虚数，则|z|为(

)A.0 B.1 C.2 D.32.已知向量AB=(1,3)，AC=(2,t)，若AB⋅BC=4A.1 B.2 C.3 D.3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+S2A.2 B.−74 C.744.已知方程x23−m+y2m+1=1表示焦点在A.4 B.5 C.112 D.5.某房地产开发商为了促销举行抽奖活动.若抽中一等奖，则抵扣房款1.5万元，若抽中二等奖，则抵扣房款5000元.已知每位顾客都有两次抽奖机会，且每次抽中一等奖和二等奖的概率分别为13和23，每次中奖情况相互独立.现有甲顾客参与该抽奖活动，抽奖获得的抵扣房款总金额为X万元，则X的期望是(

)A.56 B.79 C.1196.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)+f(−x+1)=0，且当x∈(0,1)时，f(x)=ex+e−x，则函数f(x)在A.3 B.5 C.9 D.107.已知向量OA=(12,32)(其中O为坐标原点)，把OA绕点O逆时针旋转θ角得到向量OB.A.−22−36 B.8.已知指数函数f(x)满足2f(x)−f′(x)=0，若不等式af(x)+x≥lnxa对∀x∈(0,+∞)成立，则实数a的取值范围为A.[1e,+∞) B.[12e,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在二项式(2x−1x)6A.x−4的系数是−12 B.各项的系数和是64

C.第4项二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+A.a3=6 B.a2n=4n

C.当n为偶数时，11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是CCA.平面AB1D1//平面MNP

B.二面角A−B1D1−A1的正切值为22

C.平面AB1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1：x+(1−a)y−3=0与直线l2：(2a+3)x+y+2=0垂直，则a=

．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足A=π6，S△ABC=2，sinBsinC=13，则△ABC14.在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(3,0)，N(4,0)，点P满足|PO|=2|PM|，点P的轨迹为曲线E，直线l：x+y−a−4=0(a>0)，直线l与曲线E交于不同的两点A，B，且3|NB−NA|≤|NA+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB=2sinC，a=3．

(1)若A=π3，求△ABC的面积；

(2)若∠CAB的平分线交BC于D，且AD=3，求边c16.(本小题15分)

为了迎接高考，某校举行模拟考试.现随机抽取其中60名考生的物理成绩进行统计，并将他们的成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该校学生物理成绩的平均数和第80百分位数；(同一组中的数据用该组区间的中间值为代表)

(2)用分层随机抽样的方法在分数段[80,100]内的学生中抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[90,100]内的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，BC/​/AD，BC=12AD=1，AB=1，PC=2，AB⊥AD，E是棱PD上的点．

(1)若点E为PD的中点，求证：CE/​/平面PAB；

(2)求平面ACE与平面18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−x，g(x)=x32−ax2+1．

(1)讨论g(x)的单调性；

19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，过点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，且MN的中点为(3,1)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A，B．

(i)证明：直线AB的方程为x−3y−3=0；

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】−4

13.【答案】6π

14.【答案】[15.【答案】33216.【答案】75.5，86

202117.【答案】证明：如图，取PA的中点F，连接BF，EF．

因为E是棱PD的中点，所以EF/​/AD且EF=12AD．

因为BC/​/AD且BC=12AD，所以EF/​/BC且EF=BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，则CE/​/BF．

因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以18.【答案】当a>0时，g(x)在(−∞,0)，(4a3,+∞)上单调递增，在(0,4a3)上单调递减；当a=0时，g(x)在R上单调递增；当a<0时，g(x)在(−∞,4a3)，(0,+∞)上单调递增，在(4a3,0)上单调递减

要证f(x)≥g(x)，即证ex−x−x32+ax2≥1，其中x≥0．

因为a≥12，所以ex−x−x32+ax2≥ex−x−x32+12x2．

令h(x)=ex−12x3+12x219.【答案】x23−y2=1

证明：(i)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y−1=k(x−1)，A(x3,y3)，B(x4,y4)，

联立x23−y2=1,y−1=k(x−1),得(3k2−1)x2−6k(k−1)x+