贵州省铜仁市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

贵州铜仁市2025-2026学年高一下学期7月质量监测数学试题一、单选题1．已知，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（

）

A．，甲的成绩更稳定 B．，乙的成绩更稳定C．，甲的成绩更稳定 D．，乙的成绩更稳定4．下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．5．不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某大型商场计划在7月11日举行户外促销活动．根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为30%，下雨的概率为40%，吹南风或下雨的概率为45%，则既吹南风又下雨的概率为（

）A．15% B．20% C．25% D．30%8．在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，则下列不等式能使成立的有（

）A． B．C． D．10．已知圆台的上底面半径，下底面半径，体积为，则下列结论正确的是（

）A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为C．圆台内切球的半径为2 D．圆台的侧面积为11．甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（

）A．在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为B．在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为C．若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为D．“旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为三、填空题12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________．13．已知向量，，则在方向上的投影向量为________．14．在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为________．四、解答题15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．16．一个箱子中装有30盒钢笔，其中有10盒一等品，15盒二等品，5盒三等品，用分层抽样的方法从中抽取6盒，(1)这6盒钢笔中，一等品、二等品和三等品各有几盒？(2)从这6盒钢笔中，随机取出2盒，求一等品和二等品各有1盒的概率．17．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且．(1)证明：平面；(2)求二面角的正切值．18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过的部分按5元收费，超出的部分按10元收费．从该市随机调查了10000户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图所示．

(1)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均用水量；(2)如果规定为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为5元，至少可取多少？请说明理由；(3)若用样本中居民的用水量数据估计全市居民用水量数据，用频率估计概率，则从全市居民中任取3户，求恰有2户的用水量不超过的概率．19．已知函数在一个周期内的图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到的图象，求的解析式；(3)设函数，证明：有且只有一个零点，且．

参考答案题号12345678910答案CBDDBACAABDABD题号11答案ACD1．C【详解】，.2．B【详解】.3．D【详解】由图可知，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，所以，乙的成绩更稳定．4．D【详解】对于A，因为在上单调递减，A错误；对于B，因为在上单调递减，B错误；对于C，因为在上单调递减，C错误；对于D，因为时，在单调递增，D正确.5．B【详解】因为，所以，整理得，等价于且，解得，综上得原不等式的解集为，故B正确.6．A【详解】由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直，故“”可以得到“”，充分性得证；反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行，不能得到线面垂直，必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件．7．C【详解】设吹南风为事件，下雨为事件，则既吹南风又下雨为事件，由得，，故.故既吹南风又下雨的概率为.8．A【详解】由题意得是中点，则，因为三点共线，所以，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，解得，则的最大值为.9．ABD【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确；因为为上的减函数，所以由，得，故B正确；因为为上的增函数，由，可得，故C错误；因为，，所以，故D正确.10．ABD【详解】由题意得圆台的上底面半径，下底面半径，体积为，设圆台的高为，可得，解得，故B正确，由勾股定理得圆台的母线长为，故A正确，若圆台存在内切球，则圆台的母线长刚好等于上下底面半径之和，则圆台的内切球的半径为，故C错误，由圆台的侧面积公式得圆台的侧面积为，故D正确.11．ACD【详解】对于A，在第一轮活动中，甲恰好投进一个，即甲第一球投进第二球不投进或第二球投进第一球不投进，故其概率为，故A正确；对于B，在第一轮活动中，“旭日队”晋级，则甲投进2球乙投进1球或甲投进1球乙投进2球或甲乙全部投进，而乙恰好投进一球的概率为，故“旭日队”晋级的概率为，故B错误；对于C，在第一轮活动中，甲已经投进2球，则乙至少投进1球“旭日队”即可晋级，故其概率为，故C正确；对于D，队伍获得晋级，则每轮中至少一人全投进，另一人至少投进一个，我们分甲全部投进和乙全部投进两种情况进行讨论，设第轮甲全部投进为事件，甲恰好投进一个为事件，乙全部投进为事件，乙恰好投进一个为事件，队伍获得晋级为事件，则，法一：由题意得，故D正确.法二：，故D正确.12．【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以.13．【详解】由题意得在方向上的投影向量为.14．【详解】取中点，因为为中点，故，又因为，分别是，的中点，所以，由正方体性质可得，，所以四边形为平行四边形，故，所以，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，记，，的交点为，则，又正方体的棱长为，且为正六边形，则，所以，所以，故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为．15．(1)(2)12【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，由两角和的正弦公式得，可得，即，在中，可得，得到，又因为，所以.（2）由三角形面积公式得，解得，由余弦定理得，化简得，而，，故的周长为16．(1)2；3；1(2)【详解】（1）由题意得抽样比为，故一等品有盒，二等品有盒，三等品有盒.（2）将这6支钢笔中的一等品记为，二等品记为，三等品记为，则样本空间为，样本容量为15，其中符合题意的事件所包含的样本点为，共6个，故由古典概型概率公式得所求概率.17．(1)，在中，，由余弦定理得，解得，，，平面，平面.(2)【详解】（1）略（2）设为的中点，连接，由是等边三角形，可知，且，平面平面，，又，且平面平面，平面，，故为二面角的平面角.

由（1）知平面平面，，，故所求二面角的正切值为.18．(1)2.4()(2)用水量不超过2的居民频率为0.45，用水量不超过3的频率为0.85，又为整数，故至少定为3时，可使以上居民在该月的用水价格为5元·(3)0.441【详解】（1）由题意得平均用水量为()·（2）略（3）由频率分布直方图可知，居民用水量不超过的频率为0.7，分别记被抽取的3户居民用水量不超过为事件，恰有户的用水量不超过为事件，则.19．(1)(2)(3)证明：函数，定义域为，①当时，函数在上单调递增，，根据零点存在定理，使得，在上有且只有一个零点.

②当时，单调递增，单调递减，所以，，在上不存在零点；

③当时，单调递增，，在上不存在零点；综上所述：有且只有一个零点，且