河南省郑州市第八共同体2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含答案）

河南郑州市第八共同体2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．若复数，则的虚部是（

）A．1 B． C． D．2．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．3．已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（

）A．11 B．12 C．13 D．144．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（

）A． B． C． D．5．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（）A．， B．，C．， D．，，6．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．向量，，的模长均为2，且满足，则的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．128．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，下列选项正确的是（

）A． B．向量在向量上的投影向量是C． D．与向量方向相同的单位向量是10．一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（

）

A．存在点，使得四边形为菱形B．对于任意点，都有直线平面C．对于任意点，都有平面平面D．三棱锥的体积为定值三、填空题12．在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______.13．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的体积与球的体积也相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比______.14．如图，设，，线段与交于点，且，则的最小值为_____.四、解答题15．已知m为实数，设复数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围．16．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，，，，，，共六组，并制作如下频率分布直方图.(1)求续航能力在区间内的实验次数；(2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，再从这5次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验的概率.17．在中，内角的对边分别为，.(1)求角A；(2)若，，求的平分线的长.18．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面.在新构造的四棱锥中，求解以下问题：(1)求四棱锥的体积.(2)求点到平面的距离.(3)求二面角的余弦值.19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为、中点，求的最大值.

参考答案题号12345678910答案BCDBCDAAACBD题号11答案ACD1．B解析：，则，则的虚部是2．C解析：斜二测画法的直观图为等腰梯形，，，,则，还原后直观图中，故四边形的面积为．3．D解析：该组数据共个，则.已知分位数为，因此，解得.4．B解析：设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则.因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，.故.5．C解析：对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意；对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意；对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意；对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意.6．D解析：由题意得，扇形半径，圆心角，弧长公式，所以.底面周长，所以.圆锥母线长等于扇形半径，则圆锥的高.所以圆锥体积为.7．A解析：.，则.则.8．A解析：，由正弦定理得，即，，因为为锐角三角形，所以，故，因为在上单调递增，所以，故，故，，由正弦定理得，即，故，由，和可得，故，，故.9．AC解析：因为，，所以，，即，故A正确；向量在向量上的投影向量是，故B错误；因为，，所以，，故C正确；与向量方向相同的单位向量是，故D错误.10．BD解析：因为数据的平均数为5，方差为2，极差为7，不妨设，则，的平均数为，故A错误；方差为，故B正确；极差为，故C错误；若为偶数，则的中位数为，即，的中位数为；若为奇数，则的中位数为，的中位数为；故D正确.11．ACD解析：对于选项A，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.同理，所以四边形为平行四边形，设正方体棱长为1，设，则，，令，即，解得，即当为中点时，四边形为菱形，故A正确；对于选项B，连接，则平面平面，若平面，且平面，则，又，，故四边形为平行四边形，故相交，矛盾，故B错误；对于选项C，连接，，，，由平面，平面，得，由为正方形，易知，因为，平面，平面，平面，，同理可证，，平面，平面，又平面，平面平面，故C正确；对于选项D，设正方体棱长为，.所以三棱锥的体积为定值，故D正确.12．解析：由题意，，，.因为四边形为平行四边形，所以，即.代入得，故点D对应的复数为.13．解析：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为，则圆柱的体积，球的体积为，因为圆柱的体积与球的体积相等，所以，得，则.14．解析：由题可得：；又因三点共线，可得.由平面向量基本定理可得：.则，当且仅当时取等号.15．(1)(2)解析：（1）由题意得，解得．（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，因为复数z在复平面内对应的点为时，满足，所以，即，解得或，所以的取值范围为．16．(1)120(2)百公里(3)解析：（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得，即续航能力在区间内的频率为，所以续航能力在区间内的实验次数为次.（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：，所以估计这类汽车的续航能力的平均数为5.38百公里.（3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为，所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，则在中的有2次实验，在中的有3次实验，设在中的有2次实验为，在中的有3次实验分别为，可得.所以从这5次实验中随机抽取2次实验，共有10种不同的取法，设事件“2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验”可得，共有7个基本事件，所以事件的概率为可得这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验概率为.17．(1)(2)解析：（1），即有，由正弦定理可得，则，又，故；（2）由余弦定理得，又，所以，由得，所以，解得.18．(1)(2)(3)解析：（1）取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故.因为是等腰三角形，所以.翻折后，因为平面平面，且平面平面，根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高，又因为，所以，又因为，所以四棱锥的体积.（2）由（1）可知，.由题意可知，，，，在中，.设点到平面的距离为，又即，解得.（3）在矩形中，，，∴，∴.又平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，，，，在中，，∴.又，平面，平面，平面平面，∴为二面角的平面角，在中，，∴二面角的余弦值为.19．(1)(2)(3)解析：（1）由题意可知，、的夹角为