冀教版四年级下册数学《公因数与最大公因数》教学设计（基于数形结合思想）

冀教版四年级下册数学《公因数与最大公因数》教学设计（基于数形结合思想）一、教学背景与设计理念【非常重要】在小学数学课程体系中，“数论”初步知识始终是发展学生抽象逻辑思维与数感的核心载体。四年级下册“公因数与最大公因数”的教学，正处于学生从单一维度的“因数”学习向二维乃至多维的“关系”认知跨越的关键节点。传统的教学往往侧重于让学生掌握列举法和短除法等算法技能，容易陷入机械训练的窠臼，而忽略了概念本身的“魂”——即对“公有”这一核心关系的深度理解。本设计深刻贯彻2022年版《义务教育数学课程标准》中关于“内容结构化”的理念，强调整体性和一致性。我们不再将“最大公因数”视为一个孤立的知识点，而是将其置于“数的运算”与“数量关系”两大主题的交叉地带进行审视。本课的设计理念根植于“数形结合”与“概念建构”的双轮驱动。通过几何直观（裁剪正方形、铺地板等操作）来承载抽象的数的关系，让学生在“形”的变换中感悟“数”的规律，从而在深层面上理解公因数是“形”的边长整数解的代数表达。同时，我们倡导“问题驱动”与“方法多样化”的辩证统一，既鼓励学生运用已有经验（列举法）自主探索，又引导其在认知冲突中追求算法的优化（短除法），并在此基础上通过观察、比较、归纳，实现对特殊关系数组（如互质数、倍数关系）的深刻洞察，最终达成从“术”到“道”的思维跃迁。二、教材与学情分析（一）教材分析本课内容选自冀教版小学数学四年级下册第五单元《分数的意义和性质》。在此之前，学生已经系统学习了因数和倍数的概念，掌握了找一个数的所有因数的方法，这为本课学习公因数与最大公因数奠定了坚实的知识基础。从知识体系的内在逻辑看，公因数是因数知识的自然延伸与综合应用，它不仅是后续学习约分、计算最简分数的直接前提，更是未来解决实际生活中“平均分”、“裁剪”、“铺装”等优化问题的数学工具。教材编排遵循了从具体情境（剪纸、裁彩带）抽象出数学概念，再到用概念解释生活现象、解决实际问题的认知路径，体现了数学学习的完整闭环。（二）学情分析【重要】四年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。对于“公因数”这一概念，学生的认知难点并不在于“各自找因数”，而在于理解“为什么两个独立的数会拥有相同的因数”，以及“这些相同的因数（公因数）在现实情境中究竟代表了什么意义”。学生容易陷入“会算不懂理”的窘境。此外，学生在用短除法求最大公因数时，往往对“除到商互质”的理解流于表面，不清楚为什么要除到商只有公因数1为止。因此，本课的教学必须借助直观操作和图示，将抽象的“公有”关系可视化，帮助学生完成从“生活经验”到“数学模型”的建构。三、教学目标与核心素养（一）知识与技能1.学生能够结合具体情境理解公因数和最大公因数的意义，能清晰地用自己的语言描述什么是两个数的公因数和最大公因数。2.掌握求两个数最大公因数的基本方法，包括列举法、筛选法和短除法，并能熟练、准确地求出一百以内两个数的最大公因数。3.【基础】理解并掌握求两个特殊关系的数（倍数关系、互质关系）的最大公因数的简便方法。（二）过程与方法1.通过动手操作（摆正方形、画方格图），经历公因数概念的建构过程，体会数形结合的思想方法。2.在探索求最大公因数方法的过程中，经历观察、猜测、验证、归纳等数学活动，发展推理意识和优化思想。3.能运用最大公因数的知识解决简单的实际问题，初步建立数学模型思想。（三）情感态度与价值观1.在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数学知识的应用价值。2.通过小组合作与探究，培养学生乐于思考、勇于质疑、善于合作的科学精神，增强学好数学的信心。四、教学重难点（一）教学重点理解公因数与最大公因数的概念；掌握用短除法求两个数的最大公因数的方法。（二）教学难点【难点】理解公因数的现实意义（即“既是……又是……”的逻辑关系）；理解用短除法求最大公因数的算理，即为什么最大公因数等于除数乘积。五、教学准备多媒体课件（PPT）、方格纸（印有12×18的长方形）、边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、6cm的小正方形纸片（学具）、小组合作学习记录单。六、教学实施过程（核心环节）（一）创设情境，以形启思——感知“公有”【热点】课堂伊始，大屏幕展示学校社团进行创意剪纸的画面（课件动态演示）。师：“同学们，手工社团的同学遇到了一个技术难题。请看，老师手里有一张长方形的彩纸，长18厘米，宽12厘米。现在要将它剪成若干个同样大小的正方形（边长为整厘米数），用来做拼贴画的素材，要求剪完后不能有剩余。你们猜猜看，剪成的正方形的边长可以是几厘米？”（学生根据生活经验和已有知识进行猜测：1厘米、2厘米、3厘米……）【设计意图：从学生熟悉的校园生活情境切入，将数学问题蕴含在具有挑战性的手工任务中，迅速激发学生的好奇心和探究欲。这里将教材中的“剪纸”细化为“创意剪纸”，更贴近当下学生的生活实际，为后续的“形”的操作埋下伏笔。】（二）操作探究，建构概念——定义“公因数”1.【非常重要】动手验证，经历过程师：“大家的猜测对不对呢？我们需要用事实来说话。请同学们以小组为单位，拿出老师为大家准备的学具袋（内含18×12的长方形卡片和各种小正方形纸片），动手摆一摆，看看哪些边长的正方形能正好铺满这张长方形纸，没有剩余。并把你们的结果记录在小组学习单上。”（学生分组操作，教师巡视指导，关注学生是否有序摆放，是否能清晰地记录数据。此环节给予充分的时间，约810分钟。）2.汇报交流，数据整理各小组汇报摆拼结果。教师根据汇报，利用课件动态演示1cm、2cm、3cm、6cm的正方形铺满长方形的过程（将抽象的数据可视化，强化直观感受）。同时引导学生思考：“为什么边长4厘米的不行？5厘米的呢？”（学生回答：4厘米的不能正好摆满长边18厘米，因为18不是4的倍数……）通过正反例对比，让学生深刻体会到“正好摆满”的条件。3.抽象概括，揭示概念师：“请大家仔细观察这些能正好摆满的正方形边长：1、2、3、6。它们与长方形的长18和宽12有什么关系？”生1：“1、2、3、6既是18的因数，也是12的因数。”师：“说得好！在数学上，我们把像1、2、3、6这样，既是18的因数，又是12的因数，叫做18和12的公因数。”（板书课题：公因数）师：“其中，最大的那个是几？”生：“6！”师：“6就是18和12的最大公因数。”（板书完整课题：最大公因数）4.符号表征，深化理解师出示韦恩图（集合圈）：在左侧圆圈写出18的所有因数（1、2、3、6、9、18），右侧圆圈写出12的所有因数（1、2、3、4、6、12）。引导学生观察两个集合相交的部分，并询问：“相交的部分应该填哪些数？为什么？”师生共同完成韦恩图，进一步理解“公”字的含义——即两个数集合的公共部分。【设计意图：本环节是本课概念的基石，属于【基础】中的核心。通过“操作感知—语言描述—符号表征”三个递进的层次，将抽象的“公因数”概念建立在扎实的直观经验之上。这里的“形”（铺满的格子）成为了理解“数”（公因数）的桥梁，有效突破了“既是……又是……”这一逻辑关系的理解难点。整个环节体现了“做中学”的理念，学生在亲历知识的发生过程中，不仅知其然，更知其所以然。】（三）方法探索，算法形成——掌握“求法”1.回顾梳理，引出“列举法”师：“刚才我们通过摆一摆找到了18和12的最大公因数是6。如果不摆卡片，只给你两个数，比如30和18，你还能找出它们的最大公因数吗？你能想到哪些方法？”（学生独立思考后，在小组内交流想法）预设学生方法：（1）分别列出两个数的因数，再找公因数。30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。18的因数：1、2、3、6、9、18。公因数：1、2、3、6。最大公因数：6。（2）只列出较小数18的因数，然后从中找出哪些也是30的因数（筛选法）。教师肯定学生的各种方法，并指出“列举法”是最基本、最常用的方法，是理解一切后续方法的基础。2.【难点】优化算法，探究“短除法”师：“如果数字比较大，比如求36和48的最大公因数，再用列举法可能会有些繁琐。数学家在长期的研究中，找到了一种更为简洁高效的方法——短除法。你们想不想也当一次小数学家，来研究一下这种方法？”教师示范用短除法求30和18的最大公因数：板书：2|30183|15953师引导观察：“这里的除数2和3，是30和18的什么数？”（公因数）“除到什么时候为止？”（除到商5和3只有公因数1为止，即互质）师：“现在，请你们观察，30和18的最大公因数6，与这两个除数2和3有什么关系？”生通过观察发现：2×3=6。师揭示算理：最大公因数就是这两个数的所有公有质因数的乘积。因为30和18同时含有质因数2和3，所以它们的最大公因数就是2×3=6。（结合短除法的算式结构，让学生理解“除数”就是“公有质因数”的提取过程。）3.即时练习，巩固算法用短除法求下列各组数的最大公因数，并同桌互说算理。（1）24和36（2）16和20（3）45和60【设计意图：本环节遵循“从算法多样化到算法优化”的教学原则。首先尊重学生的原有认知，让“列举法”成为思维的起点。在此基础上，通过设置“数字较大”的认知冲突，自然引出“短除法”的优化需求。教学的重点不仅在于教会学生如何操作短除法，更在于结合算式引导学生理解“为什么这样除”以及“为什么把除数相乘”的深层算理，让学生不仅掌握“术”，更要理解“理”。】（四）观察比较，发现规律——提升“速度”【高频考点】教师出示一组有特征的数，要求学生快速求出最大公因数：第一组：5和157和2112和24第二组：8和95和711和13第三组：4和153和108和15学生计算后，教师引导观察与讨论：“观察每组中的两个数，它们有什么特点？它们的最大公因数又有什么规律？”小组讨论后全班交流，师生共同总结：1.【重要】当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。（5和15的最大公因数是5）2.【重要】当两个数只有公因数1时（即互质数），它们的最大公因数就是1。（8和9、5和7等）3.对于一般关系的两个数，可以用短除法或列举法求出。师强调：掌握了这些规律，以后遇到特殊关系的数，就可以直接写出结果，大大提高解题速度。【设计意图：通过有层次、有结构的题组练习，引导学生从“算”上升到“看”，在大量计算的基础上进行归纳推理，发现数学规律。这不仅是知识的深化，更是思维能力的提升。将【高频考点】和【重要】规律进行标注，有助于学生在头脑中建立清晰的知识索引，形成良好的认知结构。】（五）应用拓展，回归生活——解决“问题”1.基本应用（教材例题变式）出示情境：学校手工坊有两根彩带，一根长30分米，另一根长18分米。现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长是多少分米？不许有剩余。（学生独立完成，汇报时要求说出解题思路：求每段最长是多少，就是求30和18的最大公因数，因为要保证每段长度既是30的因数，也是18的因数。）2.综合应用（拓展提升）【热点】“爱心义卖”活动中，四年级（1）班准备了24支铅笔和36本练习本，准备包装成“爱心礼包”进行义卖。要求每个礼包中的铅笔数相同，练习本数也相同，而且所有物品刚好分完，没有剩余。最多可以包装成多少个这样的礼包？每个礼包中有几支铅笔和几本练习本？引导学生分析：礼包的数量必须是24和36的公因数，要求“最多”，就是求24和36的最大公因数。求出最大公因数是12个后，再分别求每个礼包中的铅笔数（24÷12=2支）和练习本数（36÷12=3本）。师追问：“如果现在让你来设计礼包，你还能设计出几种不同的方案？”（引导学生思考公因数在现实生活中的多种可能性。）【设计意图：练习设计遵循“由浅入深、由仿到创”的原则。第一题是例题的变式，巩固基本模型。第二题则是综合提升，不仅要求学生判断出求最大公因数，还要求在此基础上进行二次分配计算，考查学生思维的缜密性。最后的追问“设计不同方案”，将封闭问题变为开放问题，培养学生多角度思考问题的意识和创新思维。】（六）回顾整理，反思提升——内化“认知”师：“同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？你觉得自己在哪个环节表现得最出色？关于最大公因数，你还有什么新的问题或困惑吗？”学生畅所欲言，从知识、方法、情感等多个维度进行回顾。教师总结：“今天我们从一张小小的长方形纸出发，通过动手操作，认识了公因数和最大公因数；又通过合作探究，学会了用短除法快速计算；最后，我们用所学的知识解决了生活中的实际问题。数学就是这样，源于生活，又服务于生活。”七、板书设计冀教版四年级下册数学公因数与最大公因数18的因数：1，2，3，6，9，1812的因数：1，2，3，4，6，1218和12的公因数：1，2，3，618和12的最大公因数：6短除法：2|18123|963218和12的最大公因数=2×3=6特殊情况：1.倍数关系→较小数2.互质关系→1八、作业设计1.【基础练习】用你喜欢的方法求出下面各组数的最大公因数。16和249和1534和1710和212.【实践探究】请同学们回家后，测量一下自己家中客厅或卧室的长和宽（取整分米数），想一想，如果想用正方形的地砖铺满地面，可以选择边长是几分米的地砖？最大可以选择几分米？把你的想法记录在数学日记里。九、教学反思（预设）本课教学设计，最大的亮点在于将“数”与“形”进行了深度融合