第3讲 正方形的性质与判定-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第三讲正方形的性质与判定【学习目标】1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探素正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论，2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力.3.掌控正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。【基础知识】1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=【考点剖析】考点一：应用正方形的性质进行计算、求解例1．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE=AB，过E作EF⊥AC，交BC于点F．求证：BF=EF．【答案】证明见解析．利用“HL”证明△AFE≌△AFB即可解决问题．【详解】解：如图连接AF．∵四边形ABCD是正方形，且FE⊥AC，∴∠AEF=∠B=90°，在Rt△AFE和Rt△AFB中，，∴Rt△AFE≌Rt△AFB(HL)，∴BF=EF．例2．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．（1）求证：．（2）延长交于点F，若．求的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，在△BEC和△DEC中，，∴△BEC≌△DEC（SAS）；（2）∵FD=FE，∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，∵四边形ABCD是正方形∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，解得：x=30，∴∠AFE=60°．考点二：正方形的判定例3．四边形是平行四边形，对角线，交于点．（1）如图是的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图，在射线上作一点，使得60°若是等边三角形，求证：是菱形；（3）在（2）的条件下，若，求证：菱形是正方形．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：∵在中，∴AO=CO，∵是等边三角形，∴AC⊥OE，即：AC⊥BD，∴是菱形；（3）∵是等边三角形，AC⊥OE，∴∠AED=∠AEC=30°，∵，∴15°，∴∠ADO=30°+15°=45°，∴在菱形ABCD中，∠ADO=∠CDO=45°，即：∠ADC=90°，∴菱形是正方形．考点三：正方形折叠问题例4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．【详解】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∴BG＝2．【真题演练】1．设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系故选：B．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形【答案】C【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题；C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故为真命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题；故选：C．3．下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；B、正方形的对角线相等且互相垂直平分，是真命题；C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题；故选：D．4．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由条件可知，减掉的部分位置应在正方形中心位置，所以A、C排除，再根据虚线和正方形边的位置关系是不平行的，所以D项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证；故选：D．5．如图，四边形是正方形，是坐标原点，对角线，分别位于轴和轴上，点的坐标是，则正方形的周长是（）A． B．12 C． D．【答案】D【详解】四边形ABCD是正方形，且点，在中，，既，，∴正方形的周长为．故答案为：6．如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【详解】解：连接AC、BD，∵在△DAC中，G、H为CD、DA的中点，∴HG∥AC，且HG＝AC，在△BAC中，E、F为AB、BC的中点，EF∥AC，且EF＝AC，∴HG∥EF，且HG＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．7．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】解：四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，，在中，由勾股定理得：．故选：B．8．已知点P是正方形ABCD内部一点，且是正三角形，则∠CPD=______度．【答案】150【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵△ABP是等边三角形，∴AP＝BP＝AB，∠PAB＝∠PBA＝60°，∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，∴∠PDC＝∠PCD＝15°，∴∠CPD＝180°−∠PDC−∠PCD＝180°−15°−15°＝150°．故答案为：150．9．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】2a2【详解】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝（2a）2+a2﹣•2a•3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故答案为：2a2．10．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____．【答案】【详解】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，∴BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，∴S正方形ABCD=S四边形AECF=16，∴AD=4，∴AE=故答案为：．11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线l的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．∵DF⊥AF，BE⊥AE，∴∠AFD=∠AEB=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∵∠DAF+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE，在△AFD和△BEA中，∴△AFD≌△BEA（AAS），∴DF=AE=3，AF=BE=1，在Rt△BEA中，由勾股定理得：，故答案为：．12．如图，在等边下方作一个正方形，连接，．（1）求证：≌；（2）求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）证明：∵正方形中，，，等边中，，，∴，，∴，∴≌（SAS）；（2）∵正方形中，，等边中，，∴，∴，又由（1）得：，∴由三角形内角和定理可知：∠BAC=∠EAD=15°，∴．13．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴MN=2OM，∵AC=2OM，∴MN=AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥MN，由（1）可知四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；【过关检测】1．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形的正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．故选：D．2．若正方形的面积为100，则其对角线长为（）A．100 B．20 C．10 D．10【答案】C【详解】∵正方形的面积为100，∴正方形的边长为10，∴其对角线长=，故选C．3．如图所示，正方形，点在正方形对角线上，且，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵四边形为正方形，∴，，又，∴，∴，由图知，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故A正确．4．已知矩形，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（）A． B． C．平分 D．【答案】B【详解】解：四边形是矩形，，矩形是正方形；四边形是矩形，，，平分，，，∴，∴矩形是正方形；，∴，∴四边形是矩形，矩形是正方形；故选：．5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由翻折的性质可知：AH=AB，MN垂直平分AD，∴DH=AH，∴AH=AD=DH=AB，∴△ADH是等边三角形，∴∠DAH=60°．∴∠HAB=30°．∵AB=AH，∴∠ABH=×（180°-30°）=75°．∴∠HBC=15°．故选C．6．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】解：如图甲，连结BD，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，则AB2+AD2=BD2，BD=∴AB=AD=1，如图乙，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD为菱形，连接BD，AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=1∴AO=OC=AC=，∴BO=DO，在Rt△BCO中，由勾股定理BO=，∴BD=2OB=，故选择：B．7．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与的边长均为，与相交于点，与相交于点，且满足，则两个正方形重合部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵正方形与，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC=90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF，又AC，BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵，∴△DOE≌△COF（AAS），∴S四边形FOEC=S△EOC+S△COF=S△EOC+S△DOE=S△DOC，∵S△DOC=，∴S四边形FOEC=．故选择：B．8．如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离分别为、，则正方形的边长为_______．【答案】【详解】解：在正方形中，；∵，，∴，；∵，∴；在Rt△AFD和Rt△BEA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BEA（AAS），∴，；在Rt△BEA中，由勾股定理得：．故填．9．如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则______（用含的代数式表示）．【答案】18-．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，∵点，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，∵，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，∵，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-，∴CD=9-，OC=OD+CD=9+9-=18-，故答案为：18-．10．如图，，，，四点在一条直线上，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为___．【答案】13【详解】解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2=50，∴AC=10cm，∴AO=CO=5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴×AC×BD=120，∴BD=24cm，∴BO=DO=12cm，∴==13cm，故答案为13．11．通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．【答案】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA，理由见解析【详解】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．理由：连接CG，由第一次折叠知点B、C关于EF对称，∴EF垂直平分BC，∴BG＝CG，由第二次折叠知△BCH≌△BGH，∴BG＝BC，∴BG＝CG＝BC，∴△BCG是等边三角形，∴∠CBG＝60°，∵△BCH