第11讲 相似多边形与相似三角形的判定-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第11讲相似多边形与相似三角形的判定【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.3、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；4、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【基础知识】一．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．二．相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．三．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点剖析】一．相似图形（共4小题）1．（2021秋•漳州期末）下列说法正确的是（）A．任意两个菱形都相似 B．任意两个正方形都相似 C．任意两个等腰三角形都相似 D．任意两个矩形都相似2．（2021秋•汨罗市期中）用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图象的相似比是．3．（2020秋•邵东市期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是．4．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．二．相似多边形的性质（共3小题）5．（2021秋•旬邑县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）∠B＝°．（2）求边x，y的长度．6．（2020春•海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．7．（2020•余干县模拟）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．三．相似三角形的判定（共7小题）8．（2022•未央区校级开学）如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由．9．（2021秋•东昌府区校级月考）已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且＝，求证：△ABC∽△A′B′C′．10．（2020秋•耒阳市期末）如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．11．（2021秋•武功县期中）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．12．（2020秋•金川区期末）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．13．（2020•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．14．（2020•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•准格尔旗期末）如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（）A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B2．（2022春•钦北区校级月考）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（）A．3对 B．4对 C．6对 D．8对3．（2021秋•莲池区期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．4．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．5．（2021秋•三明期末）下列各组图形中，不一定相似的是（）A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形6．（2021秋•赞皇县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似二．填空题（共7小题）7．（2021秋•雁塔区校级期中）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为cm．8．（2021秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长．9．（2021秋•金塔县期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝时，△ABC与△DEF相似．10．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需条件（只添一种即可）．11．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．12．（2021秋•秦淮区期末）将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是．13．（2022•通州区一模）如图，在△ABC中，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是（写出一个即可）．三．解答题（共7小题）14．（2021秋•东港区校级期末）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是或，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．15．（2020春•肇源县期末）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．16．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．17．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．18．（2020秋•新乐市期中）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝