湖南省长沙市望城区2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

2026年长沙市望城区九年级中考一模数学试卷一、单选题1．下列实数中，最小的是（

）A． B．0 C．1 D．2．据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元．将5530000000000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．3．如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（

）A． B．C． D．4．下列结果计算正确的是（）A． B．C． D．5．下列事件是必然事件的是（

）A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．水涨船高6．某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（

）A．22°C，26°C B．22°C，20°CC．21°C，26°C D．21°C，20°C7．如图，直线，若，于点，则为（

）A． B． C． D．8．如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．410．如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，，，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（

）A． B． C．或 D．或二、填空题11．分解因式：_______．12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．13．方程的解为________．14．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______．15．如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为_____．16．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：望城未来五年主要预期目标为；①地区生产总值年均增长；②全社会研发经费投入年均增长；③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．三、解答题17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点．(1)求证：；(2)连接，若，的周长为，求线段的长．20．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：请根据图中信息解答下列问题：(1)本次被调查的学生有人，请补全条形统计图．(2)全校4500名学生中，步行上学的人数为人．(3)现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．21．如图，是的直径，是的弦，作交于点，连接交于点，若．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的长．22．2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．(1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？(2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？23．如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据：）．(1)真空管上端到水平线的距离；(2)求安装热水器的铁架水平横管的长度．24．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，顶点为点D，直线与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．(1)下列抛物线中是“型”抛物线的有：（填序号）；①；②；③；(2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值；(3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．25．如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点在线段上，满足，连接，．(1)求证：；(2)若，求的值；(3)若，的半径为，记，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值．参考答案1．D解：∵，，且，∴，∴四个数中最小的是．2．B解：．3．A解：几何体的主视图如下图所示，故选：A．4．D解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；D、，故原选项计算正确，符合题意；故选：D．5．D【详解】A、守株待兔是不确定事件；B、水中捞月是不可能事件；C、刻舟求剑是不可能事件；D、水涨船高是必然事件；故选：D6．D【详解】解：把数据排序为：所以中位数为21℃，众数为20℃．故选：D7．C解：∵，∴，∵，∴，即，∴．故选：C．8．A解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．9．C解：由题意，得：，解得：；故选C．10．C解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，∵，，∴是等腰直角三角形，，分三种情况讨论：当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，设交于点，则为等腰直角三角形，∵，∴，∴，令，整理得，解得，，∵，∴；当时，点在上，点在上（未到达），此时完全在正方形内部，如图∴，∵，∴此时无解；当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，∵，，∴是等腰直角三角形，∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，∴，∴，令，即，解得或，∴或，∵，∴，综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．11．解：，故答案为：．12．解：若在实数范围内有意义，则，解得.故答案为：.13．解：方程两边同乘，得解得检验：当时，∴是原方程的解．故答案为．14．解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴，，∴点N的坐标为．15．解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴阴影部分的面积为，故答案为：．16．解：根据题意，得，，∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，∴，∴，∴，∴大门密码是．17．6解：原式．18．，解：，．当时，原式．19．(1)证明见详解；(2)（1）证明：由作法得垂直平分，，四边形为矩形，，，在和中，，；（2）解：四边形为矩形，，垂直平分，，，，，在中，．20．(1)100，见详解(2)1800(3)（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，A的人数是人，B的人数是人，补全条形统计图如图：（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．（3）解：画树状图得：共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．21．(1)与相切，理由见解析(2)的长为（1）解：与相切，理由如下：如图，连接，，，，，又，，，即，是半径，是的切线；（2）如图，连接，，是的直径，，，，，，，，，，即，解得，故的长为．22．(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；(2)最多能购买A型机器人台．（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，由题意得：，解得：，答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；（2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，由题意得：，解得：，答：最多能购买A型机器人台．23．(1)真空管上端到的距离约为米(2)安装热水器的铁架水平横管的长度约为米（1）解：如图，过作于，在中，，则（米），答：真空管上端到的距离约为米；（2）在中，，则（米），，，，四边形是矩形，，，米，米，在中，，则（米），（米），答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．24．(1)③(2)(3)（1）解：①在中，当时，则，∵，∴方程无实数根，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线不为“型”抛物线；②在中，当时，则，解得，此时不满足，∴抛物线不为“型”抛物线；③在中，当时，则，解得，当时，，∴，∵，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，在中，当时，，解得，∴，∵的中点坐标为，∴点M是的中点，∴该抛物线为“型”抛物线；（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，∴，；∵抛物线为“型”抛物线，∴M为线段中点，∴，∴，且对称轴为直线，∴，∴，∴，∴，∴，在中，当时，则，∴，∴，∴；（3）解：平移前，在中，当时，，∴，∵抛物线G：为“型”抛物线，∴M为线段中点，∴，∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，在中，当时，，解得，∴，∴，∴，∴，∴，∴；将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，在中，当时，，∴平移后的抛物线与y轴交于点，∵平移后的抛物线为“型”抛物线，∴点和点组成的线段的中点在x轴上，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴抛物线G的解析式为．25．(1)见解析(2)(3)，的最大值为（1）证明：∵平分∴，∵，∴，∴