江苏省无锡市宜兴市2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

2026年江苏无锡宜兴市九年级数学中考一模数学试题一、单选题1．计算的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．若正方形的边长为3，则它的对角线长为（

）A． B． C． D．3．下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．4．已知，，则的值为（

）A．0 B．1 C．3 D．85．下列事件中，确定事件为（

）A．在北半球看，太阳从西边升起 B．未来三天会下雨C．打开电视，正在播放广告 D．任意两个等腰三角形是相似三角形6．如图，，在边上，，，交于，则的度数为（

）A． B． C． D．7．年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．磁悬浮试验线的全长为公里B．磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟C．传统高铁线路的运行时间为分钟D．测试列车实际运行时间为分钟8．某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图：根据以上数据，下列推断错误的是（

）A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高9．菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．10．无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（

）①，，，

②，，，③，，，

④，，，A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④二、填空题11．表现无锡市近几年人均变化趋势应选用______统计图．12．2026年春节，无锡地铁客运量达932.8万人次．用科学记数法表示数据932.8万为_____．13．因式分解x3－9x=__________．14．使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______．15．已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______．16．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______．17．如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，．（1）的长为______；（2）的长为______．18．在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____．三、解答题19．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点．(1)求的取值范围；(2)若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值．20．已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点．(1)求证：；(2)若，求的长度．21．2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物的毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同．(1)从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛的概率是______．(2)从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到的玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）22．某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况．(1)根据表中数据，补全条形统计图；(2)扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______；(3)某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说．23．无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克．时间/天售价/（元/千克）第一次降价后的价格第二次降价后的价格销量/千克储存和损耗费用/元(1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______．(2)求销售利润随的函数表达式；(3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天．24．如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)若，，，求面积的最大值．25．综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为．(1)当时，证明：，并据此完成填空；(2)证明：．26．如图为三条平行线，在上，在上，．(1)若，为等腰直角三角形，则直线与所成锐角的余弦值为_______；(2)若为等边三角形，请用无刻度的直尺与圆规在图中作出；(3)若为等边三角形，直线与所成锐角为，求关于的函数表达式．27．已知函数交轴于点．(1)若该函数的图象与轴只有一个交点，求；(2)若当且仅当，求该函数在时的最小值；(3)若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得．28．按要求完成下面各题．(1)如图1，在锐角中，是边上的中线，是边上的高．①若，，，则_________；②若，证明：．(2)如图2，在中，，，是，边上的动点，且，在，运动的过程中，始终满足．若，求的取值范围．参考答案1．C【详解】原式．2．B解：∵正方形的边长为3，∴它的对角线长为．3．D解：A中图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意；B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；D中图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项符合题意．4．C解：∵，，∴，∴，∴．5．A解：A、在北半球，太阳一定从东边升起，太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件；B、未来三天是否下雨无法确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件；C、打开电视播放内容不确定，正在播放广告可能发生也可能不发生，属于随机事件；D、任意两个等腰三角形可能相似也可能不相似，该事件是随机事件.6．A解：，，，，，，，，，．7．A解：设预定运行时间为小时，∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟，∴，整理得，①，∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟，∴，整理得，②联立①②，得，解得小时，即预定运行时间为分钟，代入①，得公里，即磁悬浮试验线全长公里，测试列车实际运行时间为分钟，传统高铁运行时间为分钟，∴正确，错误．8．B解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确；B、设理财总人数为，则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：.，，周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误；C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确；D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确．9．D解：如图，过点作轴，在上取点、，使,过点作，垂足为，过点作，垂足为．设点，由经过原点可得，则，∴，，∵，，∴，,∴，∵，∴，∵，∴,∴，∵四边形是菱形，∴,在和中，,∴,∴,，∵，∴,,∴，，∴，∴，代入得，，解得，∴,，,点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，∵，∴点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，∴．故选D．10．A解：①在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值；②在中，已知，，无法解此三角形，在中，已知，，无法解此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，故不能计算出的值；③在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值；④在中，，在中，，∴，已知，，则的值为定值，在中，已知，，结合的值为定值，可求出，再利用，解直角得到的值，故能测出塔高的有①③④．11．折线解：表现无锡市近几年人均变化趋势应选用折线统计图．12．解：932.8万．13．x（x+3）（x－3）解：x3－9x，=x（x2－9），=x（x+3）（x－3）．14．解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，由题意得，.根据勾股定理可得：圆锥侧面积公式为，代入得：15．解：∵，，且为直角，∴，作的外接圆如图，连接，，交于点，则为直径，，

∴，∵为弧的中点，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴．16．解：∵二次函数与轴交于，两点，∴，即，整理得：，设、且，由韦达定理得：，；∵点在线段上，即，∴，展开可得：，∴，∴，∴，当时，，∴，∴，恒成立，∴的取值为：，故答案为：．17．解：设与圆相交于点E，连接，∵是圆直径，∴，∵，，∴，，又，∴，∴；在右侧，过C作，并截取，连接，，过D作于G，则，，∴，又，，∴，∴，，∵，∴，又，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．18．解：设正方形的边长，如图，连接∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，点是的中点，∴，，则，∴∴四点共圆，∴∴在射线上运动，∴当时，最小，∴因为，故的最小值为19．(1)且(2)（1）解：联立解析式得，整理得，，∴，解得，根据反比例函数得，，∴的取值范围为且；（2）解：当时，联立解析式得，，解得，当时，，当时，，∴．20．(1)见解析(2)1（1）解：证明：∵，是圆的切线，∴，，，又∵，∴，（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴．21．(1)(2)（1）解：从放2个蒂娜和2个米洛的展示箱中，任意摸出1个玩具是米洛的概率是；（2）解：记2个蒂娜为、，2个米洛为，列表如下：————————∴共有12种可能结果，其中两次摸到的玩具是同一造型的有4种，∴两次摸到的玩具是同一造型的概率．22．(1)图见解析(2)；第组和第组；第组(3)见解析（1）解：统计各视力段的人数：，共人；，共人；根据人数补全条形统计图：：对应高度格；：对应高度格；如图：（2）解：总共有名学生，及以上共人，∴视力在及以上区域所占圆心角约为：，各组中的极差是：第组：；第组：；第组：；第组：；第组：；第组：；第组：；∵；∴各组中极差最大的组是：第组和第组：第组数据：，和是，平均数，方差：，第组数据：，和：，平均数，方差：，第组数据：，和：，平均数，方差：，方差越大标准差越大，∵，∴前三组中标准差最大的是第组；（3）同学，从统计结果能看出来，咱们班九成同学视力都不到，大多和不良用眼习惯有关．长期熬夜打游戏非常损伤视力，一旦视力下降变成近视，日常运动、生活都会很不方便，戴眼镜也会带来很多额外的不便，还会影响未来的升学和职业选择；所以一定要控制打游戏的时间，早睡作息规律，好好保护自己的视力呀！23．(1)(2)(3)6（1）解：设每次降价的百分率为a，根据题意得：，解得：（舍去），即每次降价的百分率为；（2）解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元），当时，，当时，，综上可知：，（3）解：当时，，解得：，此时为天利润不低于元，当时，，解得，，，，此时第到天利润不低于元，（天），综上所述，共有天利润不低于元．24．(1)见解析(2)（1）证明：过点作与的延长线交于点，∴，∴，∵是边上的中线，∴∴∴∴∴；（2）解：∵，，∴，，∴，∴，∴当最大时，面积最大，∵，是边上的中线，∴∴点在以为直径的圆上运动，过点作于点，∴，∴的面积最大值为，∴面积的最大值为．25．(1)证明见解析，等大(2)见解析（1）解：记左边点F为，右边点F为，则，过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，则四边形是矩形，，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴．∴，∴在两倍焦距处成倒立等大的实像；（2）证明：由（1）得，∴，∴两边取倒数得：，∴两边同时除以得：，即．26．(1)或或；(2)见解析(3)（1）解：当时，此时，过点A作于点D，交于点E，∵，∴∴，∵且，∴，∵，∴，∴，∵,∴，设则，∴，，过点B作于点G，则四边形是矩形，∴，∴，∴；当时，此时，过点B作于点M，交于点T，过点A作于点N，∴，∵，∴∵且，∴，∵，∴，∴，∵,∴，设则，∴，根据题意，四边形是矩形，∴，∴，∴；当时，此时，过点C作于点Q，交于点H，过点A作于点R，∴，∵，∴∵且，∴，∵，∴，∴，∵,∴，设则，∴，根据题意，四边形是矩形，∴，∴，设直线与所成锐角是，∵，∴∴．（2）解：作等边，，作直线，交于点C，交于点，相当于把直线逆时针旋转，连接，以为边作等边，则即为所求；（3）解：设交于点M，过点A作