2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+课件+空间向量及其线性运算

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第一章空间向量与立体几何[目标导航]课标要求1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律新知导学·素养启迪新知梳理1.空间向量(1)定义在空间,把具有

的量叫做空间向量.(2)长度空间向量的大小叫做空间向量的长度或

.大小和方向模(3)表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示字母表示法用一个字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可以记作

,其模记为

或|a|(4)几类特殊的空间向量①零向量:规定

叫做零向量,记为0.②单位向量:

叫做单位向量.③相反向量:与向量a长度相等而

的向量,叫做a的相反向量,记为-a.④相等向量:

叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示

或

.⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相

或

,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.长度为0的向量模为1的向量方向相反方向相同且模相等的向量同一向量相等向量平行重合2.空间向量的线性运算(1)定义类似平面向量,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算(如图):(2)运算律①交换律:a+b=b+a.②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a.③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.3.共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使

.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的

.a=λb方向向量4.共面向量(1)共面向量共面向量(2)向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使

.p=xa+yb小试身手1.把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是

.

球面3.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量的表达式:课堂探究·素养培育[例1]给出下列命题:①两个相等的向量,若它们的起点相同,则终点必相同;空间向量的概念A解析:①真命题.根据向量相等的定义,两个相等的向量若起点相同,终点必相同,只有这样才能保证它们的方向和大小都相同.③真命题.向量的相等满足传递规律.④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等.⑤真命题.根据零向量的定义可知.故选A.④②③(2)给出下列命题:①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0;③|-a|=|a|.其中正确命题的序号是

.

解析:(2)①错误,若|a|=0,则a=0;②正确.③正确.处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.(2)两个关系①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.空间向量的加减运算(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.(2)化简空间向量的常用思路①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).空间向量证明题即时训练3-1:借助平行六面体,求证:(a+b)+c=a+(b+c).空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明,一定要注意和(差)向量的方向.必要时利用空间向量可自由平移,使作图容易.空间向量共线问题(1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,同时要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb,从而得出a∥b.(2)当两个空间向量共线时,存在实数λ,使得a=λb成立,既可以用于证明,也可以用于待定系数法求参数的值.空间向量共面问题(2)判断点M是否在平面ABC内.即时训练5-1:已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.(1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行证明.(2)向量共面,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面).当堂即练·素养达成A

1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(

)A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量当堂即练解析:因为2a-b=2·a+(-1)·b,所以2a-b与a,b共面.故选A.B3.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(

)C4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确结论的序号为

.

①③④1.