直线的倾斜角与斜率（第二课时）-2026-2027学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.2.1直线的倾斜角与斜率（第二课时）第二章平面解析几何学习目标理解直线的方向向量和法向量的概念，体现数学抽象能力（重点）会求直线的方向向量和法向量，并且可以解决实际问题，体现数学计算能力（重难点）新课导入之前我们只会用两点、斜率表示直线.现在学了平面向量，我们拥有两种全新描述直线的工具：1.平行于直线的方向向量；2.垂直于直线的法向量.本节课我们一起学习它们的定义、求法与应用.新课学习直线的方向向量的概念一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l.新课学习直线l的方向向量的性质1.如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线；2.如果A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则是直线l的一个方向向量.新课学习举个例子：a=(1,0)是所有倾斜角为0∘（即与y轴垂直）的直线的一个方向向量，b=(0,1)是所有倾斜角为90∘（即与x轴垂直）的直线的一个方向向量，c=(1,1)是所有倾斜角为45∘的直线的一个方向向量，如图所示.新课学习新课学习尝试与发现：(2)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，斜率为k，你能写出直线l的一个方向向量吗？新课学习思考一下：直线l的方向向量与斜率有什么关系？新课学习举个例子：新课学习尝试与发现：(1)如图所示，如果a=(-1,1)为直线l的一个方向向量，你能写出l的斜率k和倾斜角θ吗？当a=(−1,1)是l的一个方向向量时，若直线l的斜率为k，则(1,k)也是直线l的一个方向向量，因此a=(−1,1)与(1,k)共线.从而(−1)×k=1×1，从而可求得斜率k=−1.然后再根据tanθ=−1可知θ=135∘.新课学习尝试与发现：(2)一般地，如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量，你能由此写出l的斜率k和倾斜角θ吗？一般地，如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量，则：1.当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90∘；2.当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u，从而

，新课学习

由已知可得是直线l的一个方向向量.因此，直线的斜率新课学习由直线的方向向量确定三点共线通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，而且一条直线的所有方向向量都共线，因此也可得到：如果

A，B，C

是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是：新课学习例5：已知A(−3,−1)，B(1,3)，C(5,8)，判断A，B，C是否共线.因为新课学习直线的法向量的概念一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.新课学习直线的方向向量与法向量的性质一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，−x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量.新课学习举个例子：1.如果a=(1,2)是直线l1的方向向量，则v=(2,-1)就是直线l1的法向量；2.如果v=(-2,-3)是直线l1的法向量，则a=(-3,2)就是直线l1的方向向量.课堂练习A课堂练习C课堂练习课