山东省聊城市聊城第一中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题

第页，共页山东省聊城市聊城第一中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.设集合，，则（

）A． B． C． D．2.设复数满足，其中为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知，，与的夹角为，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．54.已知不等式的解集是，则不等式的解集为（

）A． B．｛或｝ C． D．｛或｝5.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为（

）A．72 B．108 C．180 D．2166.函数，的单调递增区间是（

）A． B． C． D．7.在区间，上，函数与在处取得相同的最小值，那么在区间，上的最大值是（

）A．12 B．11 C．10 D．98.已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．二、多选题（本大题共4小题）9.关于函数，下列描述正确的有（

）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则D．函数有且仅有两个零点10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（

）A． B．C． D．的面积为11.四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（

）A．平面平面B．四棱锥外接球的半径为C．三点到平面的距离相等D．平面截球所得的截面面积为12.已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（

）A．椭圆的离心率为B．存在，使为直角三角形C．存在，使的周长最大D．当时，四边形面积最大三、填空题（本大题共4小题）13.若函数在上为增函数，则取值范围为.14.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为．15.某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是．16.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．四、解答题（本大题共6小题）17.记的内角的对边分别为．已知．(1)求A；(2)从下面的三组条件中选择一组作为已知条件，使得存在且唯一确定，求的面积.①；②；③边上的高.18.已知数列的前n项和为．(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．19.如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求二面角的余弦值.20.当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示.月份56789时间代号t12345家乡特产收入y32.42.221.8(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；(2)求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：.（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.③参考数据：.21.如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.22.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．

参考答案1.【答案】A【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.【详解】根据题意，或，，则.故选：A.2.【答案】D【分析】对化简，求出复数，从而可求得答案【详解】，对应的坐标为，在第四象限．故选：D3.【答案】B【分析】先根据诱导公式结合向量模的坐标运算求得，再根据向量的夹角公式结合向量数量积的运算律运算求解.【详解】因为，所以，又，与的夹角为，所以，解得.故选：B．4.【答案】B【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得且，化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式的解集是，可得和是方程的两根，且，所以，可得，所以不等式可化为，因为，所以不等式等价于，即，解得或，即不等式的解集为｛或｝.故选：B.5.【答案】C【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得．【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团．首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则有3种情况．再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．则除甲外的4人有（种）参加方法．故不同的参加方法种数为．故选：C．6.【答案】B【分析】先根据正弦函数的单调区间求的单调递增区间，再结合题意分析判断．【详解】令，解得，∵，当时，，即函数的单调递增区间是．故选：B.7.【答案】B【分析】利用对勾函数的性质，得到当时，取得最小值7，进而求得函数求解.【详解】因为，由对勾函数的性质得：当时，取得最小值7，所以在处取得最小值7，所以，，所以当时，取得最大值11，故选：B8.【答案】A【分析】在上递增，根据在上有最小值，可知有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】在区间上单调递增，由题意只需，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是.故选：A9.【答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示.由图可得函数在区间上单调递增，A正确；函数的图象关于直线对称，B正确；若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.10.【答案】ACD【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.【详解】在中，∵，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；在中，则，故选项B错误；由题意可知：，即，由，解得，故选项C正确；在中，∵，则，∴，故选项D正确.故选：ACD.11.【答案】BCD【分析】由面面平行的性质判断A；由长方体的性质得出四棱锥外接球的半径；由分别是的中点得出三点到平面的距离相等；根据等体积法得出球心到平面的距离，再由截面圆的半径求出截面面积.【详解】对于A，取线段PC的中点O，则在梯形中，与不平行，若平面平面，由于平面平面，平面平面，则，这与与不平行相矛盾，故错误；对于B，由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心为长方体的对角线的中点，即为的中点，故球的直径，所以，故B正确；对于C，点为的中点，则点两点到平面的距离相等，同理点为的中点，则点两点到平面的距离相等，故C正确；对于D，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，由题意可知，球心到平面的距离等于点到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法可得，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确；故选：BCD12.【答案】BD【详解】直接求出椭圆的离心率判断；利用椭圆的对称性及角的范围判断；利用椭圆定义及数学转化分析的周长判断；由四边形面积公式分析正确．【详解】解：如图所示：对于，由椭圆方程可得，，，则，椭圆的离心率为，故错误；对于，当时，可以得出，若取时，得，根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故正确；对于，由椭圆的定义得，的周长，，，当过点时取等号，，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，此时直线的方程为，但是，不存在，使的周长最大，故错误；对于，一定，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，四边形面积最大，故正确．故选：．13.【答案】【详解】函数在上为增函数，则需，解得，故填.14.【答案】【分析】分和两种情况，利用判别式法求解.【详解】解：当时，不等式可化为，无解，满足题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则解得．综上，实数a的取值范围是．故答案为：15.【答案】12【分析】分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由题意可得，①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．故答案为：16.【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.17.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角，再根据三角恒等变换运算求解；（2）若选①：根据题意结合正弦定理可得，不成立；若选②：根据题意可判断存在且唯一确定，结合直角三角形的性质运算求解；若选③：根据题意结合面积公式可得，再利用余弦定理求，结合面积公式运算求解.【详解】（1）已知，由正弦定理得，化简得．因为，所以，因为，所以．（2）若选①：．由正弦定理，可得，无解；若选②：．已知，则，此时存在且唯一确定，则，∴的面积；若选③：边上的高，可得，解得，又∵，由余弦定理可得，则，解得或(舍去)，此时存在且唯一确定，∴的面积.18.【答案】(1)证明过程见解析，；(2)；n为5．【分析】（1）根据数列前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；（2）根据错位相减法，结合数列的单调性进行求解即可.【详解】（1）由，得，即，．即，又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因为所以，所以是递增数列，，使不等式成立的最大正整数n为5．19.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求，由线面平行的判定定理证明线面平行，由平行线的性质得比值；（2）以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）取的中点P，因为，所以.所以共面，连接CP交于点M，点M即为所求.证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，又平面MNC，平面MNC，所以直线平面MNC.因为，所以.（2）连接AC.由（1）知.又平面ABCD，所以平面ABCD.因为，四边形ABCD是菱形，所以为正三角形，所以.以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.又，所以，所以点，则.设平面的法向量，则，即，令，得.设平面的法向量，则，即，令，得，所以，由图易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.【答案】(1)，y与t具有很强的线性相关关系(2)，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析【分析】（1）直接套公式求出y与t之间的线性相关系数，即可判断；（2）套公式求出系数b、a，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.【详解】（1）（1）由5月至9月的数据可知，，，，，所以所求线性相关系数为.因为相关系数的绝对值，所以认为y与t具有很强的线性相关关系.（2）由题得，，所以，所以y关于t的回归直线方程为.当时，，因为，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.21.【答案】（1）2，；（2），.【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：，，设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：，，令可得：，则.即，由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，则，则.