山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试(二模)数学试题

山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，，则（

）A． B． C． D．2．若，，则的元素个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（

）A．4 B．6 C．8 D．124．若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（

）A．16 B．20 C．28 D．405．已知函数（）图象的一个对称中心为，则（

）A．在区间上单调递增B．是图象的一条对称轴C．在上的值域为D．将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称6．若实数，，满足，，，则（

）A． B． C． D．7．已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（

）A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面8．椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则D．若和都为递增数列，则10．设，是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点.若弦AB过焦点F，则（

）A． B．若PA的方程为，则C．点P始终满足 D．面积的最小值为1611．已知定义在上的函数满足，，且，则（

）A．的最小正周期为4 B．C．函数是奇函数 D．三、填空题12．展开式中项的系数为.13．若直线与曲线相切，则的取值范围为.14．根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则，设，的前n项和为，则.四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若点D在线段AB上，且，求的最大值.16．“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t合计60(1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.01…2.7063.8416.635…17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且．(1)证明：；(2)若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求.18．已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)直线l与E相交于A，B两点，（i）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值；（ii）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r.19．已知函数.(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.

参考答案1．【答案】B【详解】，则，故.故选：B.2．【答案】C【详解】根据题意，可得集合或，，则，所以的元素个数为2个.故选：C3．【答案】D【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得.【详解】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是，根据六个数的中位数是：，解得，故选D.4．【答案】C【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种；分为每组各3人，有种，分组方法共有种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种.所以，总的分配方案有种.故选C.5．【答案】D【详解】由题意可得，解得，又，故，即；对A：当时，，由函数在上不为单调递增，故在区间上不为单调递增，故A错误；对B：当时，，由不是函数的对称轴，故不是图象的对称轴，故B错误；对C：当时，，则，故C错误；对D：将图象上的所有点向左平移个长度单位后，可得，该函数关于y轴对称，故D正确.故选D.6．【答案】A【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断.【详解】因为，又，则，且，即，因为，所以，所以.故选：A7．【答案】C【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，所以，，，对于A，，，直线MN与所成角的余弦值为，故A错误；对于B，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，平面与平面夹角的余弦值为：，故B错误；对于C，因为Q在上，设，所以，，则，所以，所以，，所以，解得：.故上存在点，使得，故C正确；对于D，因为，所以四点共面，而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误.故选C..8．【答案】B【详解】设、，则有，，则，即，则，即，即，，则，由，则有，整理得，即.故选B.9．【答案】BC【分析】根据题意，求得，结合，A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，D错误．【详解】对于A中，由，，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，则，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选BC.10．【答案】ACD【详解】依题意设，，由方程，可得，则，由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，可得A处的切线方程为，即，化简可得，所以直线的方程为，同理可得直线BP的方程为，联立两直线方程得，则，因为，解得，，即，所以A正确；若PA的方程为，根据直线的方程为，可得，设直线，联立方程组，整理得，则，且，，所以，，所以B错误；因为，所以，故C正确；取的中点，连接，根据中点坐标公式得，从而平行于轴，，所以，因为，，所以，，代入可得，当时，，所以D正确.故选ACD.

11．【答案】AB【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.【详解】对于A：因为，所以，，所以，故的最小正周期为4，故A正确；对于B：因为，令，则，所以，由A可知，，故B正确；对于C：因为，①令，则，所以，所以，②由①②，所以，即，故为奇函数，若函数是奇函数，则，所以，即，所以，所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；对于D：因为为奇函数，且，所以，又因为的最小正周期为4，所以，因为，所以，，所以，，以此类推，所以，故D错误.故选AB.【方法总结】设函数，，，（1）若，则函数的周期为；（2）若，则函数的周期为；（3）若，则函数的周期为；（4）若，则函数的周期为；（5）若，则函数的周期为.12．【答案】42【详解】对，有，则有.故答案为：.13．【答案】【详解】函数的导数为，设切点为，所以，则，即又因为在上，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当趋近正无穷时，趋近正无穷.所以的取值范围为：.故答案为：.14．【答案】，【详解】，因为，所以，将换成，此时，两式相减可得，即，又，所以对任意都成立，此时是首项为，公比为的等比数列，所以，故，，，两式作差得.【方法总结】错位相减法求和步骤：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由得，∴，即，由正弦定理边化角得，因为，所以，∴，又∵，∴.（2）∵D点在线段AB上，且，，∴，∴，当且仅当时，等号成立，∴，即的最大值为．16．【答案】(1)，能；(2)分布列见解析，.【详解】（1）由题意可知：，解得，2×2列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200.根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则，且X的所有可能取值为1，2，3，4.，，，.所以X的分布列为X1234P所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OP，∵平面AMHN，且平面平面，平面，∴．∵，∴，∵四边形为菱形，∴，，∵，且平面PAC，∴平面PAC，又平面PAC，∴，∴．（2）∵，且O为AC中点，∴，由（1）得，，平面ABCD，∴平面ABCD，令，又四边形为菱形，，，，．，且都在平面PBD内，平面PBD，又PA与平面PBD所成角为60°，∴，，∴，∴，又H为PC中点，且，∴，在△PAC中，记，易知点G在MN上，且点G为△PAC重心，，又∵，∴，由（1）知平面PAC，∴平面PAC，又，∴，∴，∴．18．【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）.【详解】（1）设，则，，又∵，，∴，，由已知得，，消得，，∴点D的轨迹方程为．（2）设直线l与E的两个交点为，，（i）∵直线l过原点，∴点A，B关于原点成中心对称．设，∴，由，得，∴．（ii）∵N为AB的中点，且，∴.①当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时点A，B关于x轴对称，不妨设点A在第一象限，∴，

∵，∴，．②当直线l的斜率存在时，设l的方程为，由，得，∴，，

∵，∴，即，整理得．又∵l与圆相切，∴，综上可得，∴圆O的半径是．19．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）当时，，，∴，易知在上单调递减，且，，则，使得当时，，当时，，且，即，即，∴在上单调递增，在上单调递减，∴存在唯一的极大值点，而，∴．（2）令，得，设，显然在定义域上单调递增，而，则有，∴．依题意，方程有两个不等的实根，即函数在定义域上有两个零点，显然，当时，的定义域为，在上单调递增，最