3.2.1 第1课时 函数的单调性人教A版高一上学期数学必修一课件

3.2函数的基本性质

3.2.1单调性与最大（小）值

第1课时函数的单调性

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数100思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量(百分数)天数1.理解增函数、减函数的概念；（重点）2.掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点）3.求函数的单调区间.数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养

体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo局部上升或下降下降上升微课函数单调性的定义Oxy以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxyO（-∞，0]上随x的增大而减小;[0，+∞）上

随x的增大而增大.对区间D内任意x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxDy区间D内随着x的增大,y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.

那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的单调增区间.当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，>单调区间设函数y=f(x)的定义域为I：增函数的定义.（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（3）x1,x2取值的任意性.（1）如果函数y=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.【特别提醒】2.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；(×)1.函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo(×)【易错点拨】yxO12f(1)f(2)提示:在不是单调的提示:不具有代表性xoy=(x-1)2-112-1yxy=x3o增区间为增区间为增区间为减区间为xoy=2x+1yy写出下列函数的单调区间：【即时训练】例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解析：函数的单调区间有其中在区间上是减函数，在区间

上是增函数．

整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].【变式练习】作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1<V2,所以，函数V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结】此为证明的关键点、易错点画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域D是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.【变式练习】函数图象如图根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.【思考交流】在此题的基础上请同学们继续探究．若f(x)、g(x)均为减函数，判断y＝f(x)＋g(x)的增减性；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断y＝f(x)－g(x)，y＝g(x)－f(x)的增减性并证明。并概括：增函数＋增函数为增函数，减函数＋减函数为减函数，增函数－减函数为增函数，减函数－增函数为减函数．函数的单调性核心知识方法总结易错提醒核心素养

当c>0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;当c<0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相反，函数f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与其相同函数f(x)与f(x)+c的单调性相同;单调递增单调区间单调递减图象单调性的判断（1）单调区间必须是函数定义域的子集（2）若函数f（x)在其定义城内的两个区间A.B上都是增函数(或减函数)。一般不能简单认为f（x)在A∪B上是增函数（3）函数单调区间的书写若在区间端点处有定义，则写成开区间或闭区间都可数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养DC解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.∴2a-1<0,即a<D4.函数f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]