第一章 勾股定理【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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级：8年级（

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2026年7月31日

章末小结第一章

勾股定理北师大版八年级上册

第一章

勾股定理

单元综合练习题【本章知识框架】本章包含三大核心内容：勾股定理、勾股定理的图形验证、勾股定理的逆定理及实际应用。核心逻辑分为正反两类：正向利用勾股定理求直角三角形边长；反向利用逆定理判定直角三角形，同时结合图形拼接、生活场景、立体图形完成综合解题。核心公式：在Rt△中，$$a^2+b^2=c^2$$；逆定理：三角形三边满足$$a^2+b^2=c^2$$，则为直角三角形（$$c$$为最长边）。核心方法：面积割补验证定理、构造直角三角形、立体图形展平、分类讨论思想。###一、选择题（每题4分，共20分）1.已知Rt△两直角边为6和8，则斜边长为（）A.10B.12C.14D.162.下列各组数中，是勾股数的是（）A.2、3、4B.5、12、13C.4、5、6D.7、8、93.赵爽弦图验证勾股定理的核心依据是（）A.三角形全等B.面积割补不变原理C.正方形性质D.直角三角形性质4.长方体立体最短路径问题的解题关键是（）A.直接计算空间距离B.展平为平面图形C.估算长度D.利用三角形全等5.三角形三边长为9、12、15，则该三角形面积为（）A.54B.90C.108D.180###二、填空题（每题4分，共20分）1.直角三角形两直角边为5、12，则斜边长为________。2.勾股定理逆定理可用来判定________三角形。3.赵爽弦图中，直角边为3和5，中间小正方形面积为________。4.梯子长25米，底端离墙7米，梯子顶端距地面________米。5.圆柱侧面最短路径问题需要将圆柱________转化为平面求解。###三、解答题（共60分）1.（18分）完整利用赵爽弦图证明勾股定理。2.（20分）判断三边长为10、24、26的三角形是否为直角三角形，并求其周长和面积。3.（22分）一棵大树折断后，折断处距地面6米，树顶落地距树根8米，求大树折断前的总高度。###参考答案与解析选择题答案：1.A2.B3.B4.B5.A填空题答案：1.132.直角3.44.245.侧面展平解答题解析1.证明：四个全等直角三角形直角边为$$a、b$$，斜边$$c$$，拼成大正方形。大正方形面积$$S=c^2$$；总面积也等于四个直角三角形面积加小正方形面积，即$$S=4\times\frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$。等量代换得$$a^2+b^2=c^2$$，勾股定理得证。2.解：最长边为26，$$10^2+24^2=100+576=676=26^2$$，满足勾股逆定理，是直角三角形。周长=$$10+24+26=60$$，面积=$$\frac{1}{2}\times10\times24=120$$。3.解：折断部分为直角三角形斜边，长度为$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$米，树原高=地面剩余高度+折断部分长度=$$6+10=16$$米。###本章单元易错汇总1.判定直角三角形未找最长边，导致判断失误；2.已知两边求第三边未分类讨论，出现漏解；3.立体最短路径未展平平面，误用空间边长计算；4.图形验证定理时，面积公式推导步骤不完整；5.实际问题不会主动构造直角三角形。学习思路学习内容学习方法直角三角形的性质直角三角形的判定应用勾股定理的应用勾股定理的逆定理数形结合思想勾股定理特殊到一般“算两次”逆向思考化归思想一、勾股定理验证方法：测量、数格子、等面积法内容：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.勾股定理符号表示：如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2勾股定理ABC∟abc较长的直角边较短的直角边斜边勾股弦几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则a2+b2=c2.验证方法(依据面积相等列等式进行验证)拼接法

割补法运用勾股定理解决实际问题的一般思路：实际问题确定所求线段在直角三角形中抽象出几何图形求得线段长数学建模确定直角边和斜边回归勾股定理考点1勾股定理1.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB的长为(

)A.20

B.25

C.35

D.30返回(第1题)B2.［2026烟台期中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，若DE＝2，AE＝8，则BC的长为(

)A.10

B.12

C.14

D.16返回(第1题)A

返回(第1题)所以△AEB≌△BDC，所以AE＝BD，BE＝DC.因为DE＝2，AE＝8，所以DC＝BE＝BD－DE＝8－2＝6.在Rt△BDC

中，BC2＝BD2＋DC2＝100，所以BC＝10.故选A.返回(第1题)3.［2026保定期中］如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD＝8，BE＝3，则图中阴影部分的面积为(

) A.10

B.20

C.30

D.40返回C【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝8，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°.所以CE＝BC－BE＝8－3＝5.因为将长方形ABCD沿直返回

4.［黄冈市竞赛］如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(

)A.5

B.4

C.6

D.16返回C【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE，所以AC＝BE.根据勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，所以DE2＋AC2＝BD2，所以S1＋S2＝1.同理可得S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6.返回考点2直角三角形的判定5.下列由三条线段a，b，c构成的三角形ABC中：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中是直角三角形的是(

)A.①④

B.①②④C.②③④

D.①②③返回B6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(

)A.AB2＝20

B.∠BAC＝90°C.△ABC的面积为10D.点A到直线BC的距离是2返回C7.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BD＝5，CD2＝125，连接BC.(1)求BC的长；返回【解】因为在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，所以BC2＝AB2＋AC2＝100，所以BC＝10.(2)求△BCD的面积.返回

考点3勾股数8.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数.如(3，4，5)就是一组勾股数.(1)请你再写出两组勾股数：

，

.

；返回(6，8，10)(9，12，15)(答案不唯一)(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形，即(x，y，z)为勾股数.请你加以说明.返回【解】因为x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，所以(x，y，z)为勾股数.考点4勾股定理的应用9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(

)A.0.9mB.1.3mC.1.6mD.2m返回A【点拨】如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂足为F，由题意可知，OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，.在Rt△OBD中，由勾股定理易得OD＝1.2m，所以OF＝OD＋DF＝2.5m.因为∠ODB＝90°，所以∠OBD＋∠BOD＝90°.返回

返回10. 2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB＝160m，AC＝200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处.返回(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；返回【解】AB⊥BC.理由如下：由题知AB＝160m，AC＝200m，BC＝120m.因为AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.所以AB⊥BC.(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.返回【解】由题意可知BC⊥CD，CD＝50m.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝130m，所以AB＋BD＝160＋130＝290(m).而AC＋CD＝200＋50＝250(m).因为290m＞250m，即AB＋BD＞AC＋CD，所以小亮跑的路线更短.思想1转化思想11.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是

cm.(第11题)返回130思想2

方程思想12.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为

.(第12题)返回60【点拨】因