【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题08 平行或垂直模型的综合应用（解析版）（北师大版）

专题08平行或垂直模型的综合应用题型精讲例1.（作平行线构造全等）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=6，∴DE=3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．【变式训练】如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；（2）求证：∠BDF＝∠EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；（2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案．【详解】解：（1）∠DEF＝∠ACE．证明：∵∠DEC是△ACE的外角，∴∠DEC＝∠A+∠ACE，∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，∵∠CEF＝∠A，∴∠DEF＝∠ACE；（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵EM∥AC，∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，∴ED＝EM，又∵EF＝EC，∴△DEF≌△MEC（SAS），∴∠EDF＝∠EMC，∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，∴∠BDF＝∠EMC，∵EM∥AC，∴∠DEM＝∠A，∵∠A＝∠CEF，∴∠DEM＝∠CEF，∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，∴∠EMD＝∠EFC，∴∠BDF＝∠EFC；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，∵EG＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，∴∠DAC＝∠GED，∵∠CEF＝∠DAC，∴∠DEG＝∠CEF，∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，即∠GEF＝∠DEC，∵△DEF≌△MEC，∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，又∵EF＝EC，∴△EFG≌△ECD（ASA），∴GF＝DC，∴DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，∵EM∥AC，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．例2.（作垂线构造全等）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【变式训练】（1）如图，，．求证：．（2）如图，，．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点分别作，，垂足分别为、，通过三角形全等得到，即可求解；（2）过点分别作，，垂足分别为、，通过角之间的关系得到点在的平分线上，再通过三角形全等得到，即可求解；【详解】（1）证明：过点分别作，，垂足分别为、．，即点在的平分线上，，，垂足分别为、，．在和中，．．在和中，．（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、．，，．即点在的平分线上．，，垂足分别为、，．在和中，．．在和中，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形．迁移应用1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．【详解】解：过作的平行线交于，，是等边三角形，，，是等边三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等边三角形，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．【答案】证明见解析【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，则.，，，.，，，，又，，.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.3．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：△EAF≌△DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；（2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，若，，则HF=；（3）如图3，当时，连接，若，请求的面积．【答案】（1），见解析；（2）3；（3）【分析】（1）先证明：从而可得结论；（2）在上截取，使，证明从而可得结论；（3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案.【详解】解：（1）全等，理由如下：在中，∵，点是的中点，∴，∵∴∴在和中∴（ASA）（2）在上截取，使，在中，，∴在和中∴（SAS）∴由（1）∴∴∵∴∵∴故答案为：（3）过作，交于∴∵∴∴由（2）得，在和中∴（SAS）∴，即设，则，∴，【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键.5．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，是中的遥望角．①直接写出与的数量关系___________；②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)见解析【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得；（2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可．【详解】（1）解：①