新九年级数学暑假同步课 第10讲 根的判别式、根与系数的关系（原卷版）（北师大版）

第10讲根的判别式、根与系数的关系一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．例1．下列方程没有实数根的是（

）A． B．C． D．例2．若关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围为（

）A． B．且 C． D．且例3．若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是______．例4．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是____________．例5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为__．例6．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（

）A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根例7．已知图象如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（

）A．无实数根 B．有两个实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根例8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1+x2的值是（

）A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6例9．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．5例10．一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（

）A．两根之和为- B．两根之积为C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根例11．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1例12．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（

）A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根例13．下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6例15．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（

）A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是例16．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（

）①若，则；②若方程两根为1和－2，则；③若方程有一个根是，则A．①②③ B．①② C．②③ D．①③一、单选题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（

）．A． B．0 C．1 D．42．关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．3．下列方程中，无实数根的方程是（）A． B． C． D．4．若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（

）A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于15．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（

）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根6．一元二次方程的两根为、，则的值是（

）A．4 B．-4 C．3 D．-37．若、是方程的两个根，则的值为(

)A． B．-1 C．3 D．-38．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根9．一元二次方程的两个根为，则的值是（

）A．10 B．9 C．8 D．710．已知α、β是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足=1，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或111．若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．12．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．14．若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．15．关于x的方程．（1）有实数根，则k的取值范围是______；（2）无实数根，则k的取值范围是______；（3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是______；（4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．16．关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，x取m和m＋2时，代数式x2＋bx＋c的值都等于n，则n=____．17．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：(1)3x2－1＝0，x1＋x2＝_______，x1·x2＝_______；(2)x2－6x＝0，x1＋x2＝_______，x1·x2＝_______18．如果一元二次方程的两根互为相反数，那么m=______；如果两根互为倒数，那么n=______.19．关于x的方程的两个根是，且，则______．20．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______．21．设方程的两根为，则______．22．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是______．三、解答题23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．24．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．25．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.26．已知关于的方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；27．已知：方程是关于x的一元二次方程．（1）判断此方程根的情况，并说明理由；（2）若a，b，c，的三边，，且a，b是一元二次方程的两根．k何值时，是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．28．设关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β．(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．29．已知关于x的方程．其中p，q都是实数．(1)若时方程有两个不同的实数根，，且．求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且．求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，，且？若存在，求