第14讲 特殊的平行四边形全章复习与测试-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第14讲特殊的平行四边形全章复习与测试【学习目标】1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3.了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【基础知识】一．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．二．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）三．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形四．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．五．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．六．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．七．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．八．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．九．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．十．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）1．（2021春•威宁县期中）如图所示，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC＝2AD；（2）求证：AB＝AE+CE；（3）求∠MDE．二．菱形的性质（共1小题）2．（2019秋•普宁市期中）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10，AC＝12，求BD的长．三．菱形的判定（共1小题）3．（2019秋•福田区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．四．菱形的判定与性质（共1小题）4．（2021春•盐都区期中）拿出平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移动，▱ABCD的边、内角、对角线都随着变化．当平移DC使BC＝AB时：（1）▱ABCD四条边的大小有什么关系？结合图形说明理由．（2）对角线AC、BD的位置有什么关系？结合图形说明理由．五．矩形的性质（共1小题）5．（2021春•大安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为；（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为，长方形A1BCD1的面积为cm2；（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？六．矩形的判定（共1小题）6．（2021春•乾安县期中）如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，并说明理由．七．矩形的判定与性质（共1小题）7．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．八．正方形的性质（共1小题）8．（2021秋•苏家屯区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝12cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为169cm2的正方形CDEF，∠ABC＝90°．（1）连接AC，求AC和CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．九．正方形的判定（共1小题）9．（2021秋•兴平市期中）已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．一十．正方形的判定与性质（共1小题）10．如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．（3分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形3．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4 B．4 C．3 D．54．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF5．（3分）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为（）A．6 B．23 C．7 D．1207．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，AE、EF为折痕，点C落在AD边上的G处，并且点B落在EG边的H处，若AB＝，∠BAE＝30°，则BC边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB＝2，∠A＝120°时，AC等于（）A． B． C． D．29．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（）A．25° B．35° C．45° D．55°10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，则该矩形的面积是．12．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．13．（3分）在平行四边形ABCD中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是．14．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．17．（3分）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分46分）19．（4分）已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°．（1）求对角线AC，BD的长；（2）求菱形的面积．21．（5分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E．（1）请判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝6，BC＝9，求四边形OCED的面积．22．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形