第16讲 第1章 特殊的平行四边形全章复习与测试（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第1章特殊的平行四边形全章复习与测试【知识梳理】一．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．二．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）三．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形四．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．五．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．六．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．七．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．八．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．九．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．十．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】一．直角三角形斜边上的中线（共4小题）1．（2023春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若AB＝8，则CD的长是（）A．8 B．6 C．4 D．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm3．（2023春•汨罗市期中）如图，湖边有三条公路，其中公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．测得AB的长为1.2km，则M，C两点间的距离为．4．（2023•钱塘区三模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，且AE＝AD，F为CE的中点．​（1）求证：∠ADE＝∠EDF．（2）若DF＝2，求BD的长．二．菱形的性质（共7小题）5．（2023春•七星区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．23 B．20 C．15 D．106．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为．7．（2023春•邹城市期中）菱形ABCD的周长为32，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为（）A．8 B．16 C．32 D．648．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（）A．2 B．3 C． D．9．（2023•德化县模拟）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC＝2，BE＝7．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求BD的长．10．（2023•松北区三模）在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．（1）如图1，求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）如图2，连接AG，若∠FGB＝30°，请直接写出长为线段FB长2倍的线段．​11．（2023•灞桥区校级模拟）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，BC交y轴于点D，连接AD，交OB于点E．已知点A（2，0），∠C＝60°，求点B的坐标．三．菱形的判定（共5小题）12．（2023春•桥西区期末）四边形ABCD为平行四边形，延长BC到E，使CE＝BC，连接EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC成为菱形的是（）A．AE⊥DC B．AE平分∠DAC C．AB＝AE D．∠BAE＝90°13．（2023•商南县校级模拟）在▱ABCD中，添加下列条件，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝AC14．（2023•雁塔区校级模拟）如图：在平行四边形ABCD中，添加下面条件不能判定四边形为菱形的是（）A．AC⊥BD B．∠BAC＝∠BCA C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABD＝∠CBD15．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．​16．（2023•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）若∠AFC＝2∠D，求证：四边形AFCE是菱形．四．菱形的判定与性质（共2小题）17．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为（）A． B． C． D．18．（2023•修文县模拟）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图②，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB＝3，BD＝2，求OE的长．五．矩形的性质（共5小题）19．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．20．（2023•白云区模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积．21．（2023•横山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C、D均在第二象限，AD＝2，AB＝4，∠ABO＝60°，求顶点C的坐标．22．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．23．（2023•零陵区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F，且DE＝DF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）求AE的长．六．矩形的判定（共3小题）24．（2023春•新乡期末）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（）A．∠AOB＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝BC25．（2023春•七星区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，BC∥AE，AD∥CE，求证：四边形ADCE是矩形．26．（2023春•银海区期中）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．求证：四边形DEBF是矩形．七．矩形的判定与性质（共3小题）27．（2023春•长垣市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中正确的有（）​A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④28．（2023春•郸城县月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，则EF的最小值为（）A． B． C． D．29．（2023春•南开区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD于点D，∠AOD＝60°．点M，点N分别是OA，OC的中点，连接DM，MB，BN，ND．（1）求证：四边形MBND为矩形；（2）若DM＝1，求平行四边形ABCD的周长．八．正方形的性质（共4小题）30．（2023春•朝阳区期中）周长为8cm的正方形对角线的长是（）A． B． C．2cm D．31．（2023•靖江市校级三模）正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，O为对角线AC、BD的交点，连接OG，则OG＝．32．（2023•高港区二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边BC上，AF⊥AE交CD的延长线于点F，四边形AECF的面积为．33．（2023•香坊区三模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，连接AE、EF、AF，EA平分∠BEF．（1）如图1，求证：FA平分∠EFD；（2）如图2，连接BD分别交AE、AF于G、H，连接GF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．​九．正方形的判定（共4小题）34．（2023•襄阳模拟）下列是关于某个四边形的三个结论：①它是一个菱形；②它的对角线互相垂直；③它是一个正方形．下列推理过程正确的是（）A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出③，由③推出① C．由③推出①，由①推出③ D．由③推出①，由①推出②35．（2023春•中阳县月考）已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．∠A+∠C＝180° C．AB＝BC D．AC⊥BD36．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件，使得矩形ABCD为正方形．37．（2023•市南区一模）如图，延长平行四边形ABCD的边DC到E，使CE＝CD，连结AE交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若AE＝AD，连接BE，当线段OF与BD满足怎样的关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．一十．正方形的判定与性质（共4小题）38．（2023•双峰县一模）如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（）​A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形39．（2023•宁波模拟）边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中⑤号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是（）A．① B．② C．③ D．④40．（2023春•蚌山区月考）如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（）​A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．41．（2023•肥城市一模）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）∠EAF＝°（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是（直接写出结果不写解答过程）．

【过关检测】一、单选题1．下列命题中，正确的是（）．A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．两组邻角相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形2．如图，在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（

）A．12 B．15 C． D．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(

)A． B． C． D．4．根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=；当∠B=90°时，如图2，AC=（

）A． B．2 C．2 D．5．如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于（）A．米 B．6米 C．米 D．3米6．已知，如图，在中，和分别平分和，过作，分别交、于点、，若，则线段的长为（

）

A．5 B．6 C．7 D．87．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则依次连接其各边中点后，得到的图形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法判断8．如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．若，则阴影部分的面积为（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.59．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是(

)A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形C．矩形 D．对角线相等的四边形10．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（

）A． B． C． D．10二、填空题11．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_______°12．如图，在菱形ABCD中，，则___________度．13．如图，四边形ABCD是菱形，于点H，则线段BH的长为_________．14．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为_____________．15．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝_____．16．图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点（不与B，D重合），PECD交BC于点E，PFBC交CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为________．17．已知三个边长分别为，，的正方形如图①排列，则图中阴影部分的面积为___________；若将正方形换成三个菱形如图②排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为___________．三、解答题18．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC的延长线于点E，求OE的长．20．如图，矩形中，与交于点，垂足分别为求证：．