2025-2026学年江西省宜春市上高县第二中学高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江西省宜春市上高县第二中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x<2}，则A∪B=A.{x|x<2} B.{x|x<3} C.{x|−1≤x<2} D.{x|−1<x<3}2.已知z=1−ii，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.3.已知向量a=(2,x2),b=(x−1,1)，若A.3 B.6 C.264.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，b=22，A=45°，则B的大小为(

)A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°5.某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型y=N0ekt(其中y为感染人数，N0为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数).已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人.若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第(    )天启动.(参考数据：ln2≈0.7A.6 B.7 C.8 D.96.函数y=sinx(1+tanx⋅tanx2A.π B.2π C.π2 D.7.已知函数f(x)=lnx2−x+mx+n(x−1)3A.(1,m) B.(1,0) C.(1,n) D.(0,1)8.如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点(如C，D)，另外两条相对的侧棱交于一点(如O).已知正四棱柱底面边长为2，侧棱长为3，则该多面体的体积为(

)A.283 B.2823 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面是关于复数z=2−1−i2023(i为虚数单位A.z在复平面内对应的点在第三象限

B.z的虚部为−i

C.z的共轭复数为−1+i

D.若|z0−z|=1，则10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，则(

)A.该圆锥的体积为π

B.三棱锥P−ABC的外接球表面积为16π

C.△PAC的面积的最大值为3

D.三棱锥P−ABC的体积的最大值为11.已知平面向量a，b，c，e，且|e|=1，已知向量a与e所成的角为60°，对任意实数t恒有|a−tA.|a|=1

B.e⊥(a−e)

C.|b+2e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是

．13.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点A、B、C、D在同一条直线上，点F在边BE上，点I在边GH上，测得B、C两点间距离为10cm.为了使∠BFC=∠HID，则C、D两点间距离为

cm.(精确到0.1cm)14.已知函数f(x)=sinx+sin2x+sin3x+…+sin2024x，则f(x)在(0,π1012]上的零点为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分(满分100分)，80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中x的值，并估计评分数据的第75百分位数；

(2)若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率．16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是BC的中点，AB=AA1=4．

(1)求证：A1B//平面ADC1；

(2)求证：AD⊥17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，AB=2，3acosB−bcosC=ccosB，点D在线段BC上．

(1)若∠ADC=3π4，求AD的长；

(2)若BD=2DC，△ABC的面积为4218.(本小题17分)

如图，两射线l1、l2均与直线l垂直，垂足分别为D、E且DE=1.点A在直线l上，点B、C在射线上．

(1)若F为线段BC的中点(未画出)，求AF⋅AD的最小值；

(2)若△ABC19.(本小题17分)

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠DCB=π3，M，N分别为AD，AA1的中点．

(1)求证：平面BDD1⊥平面BND1；

(2)若动点P满足BP=λBB1+μBD，且λ，μ∈[0,1]．

(i)若λ=μ

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】10π

13.【答案】20.4

14.【答案】2π2025和π15.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，0.005×10+0.010×10+0.015×10+10x+0.040×10=1，解得x=0.03，

因为[90,100]的频率为10×0.040=0.4>0.25，且[90,100]为最后一组，

所以评分数据的第75百分位数位于区间[90,100]中，

所以第75百分位数为：90+0.4−0.250.4×10=93.75；

(2)评分在[60,70)与[80,90)两组的频率分别为0.1，0.3，

采用分层随机抽样的方法，在[60,70)内抽取人数为4×0.10.1+0.3=1，

在[80,90)内抽取人数为4×0.30.1+0.3=3，

故4人中评分等级不良好的有1人(记为a1)，评分等级良好的有3人(记为b1，b2，b3)，

试验的样本空间Ω={(a1,b1)，(a1,b2)16.【答案】证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O是A1C的中点，

因为D是BC的中点，所以OD//A1B，

又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B/​/平面ADC1

证明：因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点，

所以AD⊥BC，

由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，

17.【答案】83

418.【答案】解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，

由已知可得F点的纵坐标为12，

设A(0,y)(y∈R),F(x,12)(x≥0)，

则AF=(x,12−y),AD=(0,−y)，

AF⋅AD=y2−12y=(y−14)2−116，

当且仅当y=14时，AF⋅AD取得最小值−116；

(2)设正三角形ABC的边长为a，

对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：

设〈BA,DE〉=θ，则θ∈[