3.2 确定圆的条件（讲义）（原卷版）

第三章圆3.2确定圆的条件知识点一三点确定圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。2.三点共线：不能确定圆（画不出过三点的圆）；三点不共线：唯一确定一个圆。即学即练1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（

）A．长度相等的弧是等弧B．经过三点确定一个圆C．优弧一定比劣弧长D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等知识点二三角形的外接圆（圆内接三角形）1.三角形的外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆，叫外接圆。圆心：外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。性质：外心到三个顶点距离相等（都等于半径）。外心位置：锐角三角形：在三角形内部；直角三角形：在斜边中点；钝角三角形：在三角形外部。2.圆内接三角形定义：三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫作圆的内接三角形。3.多边形的外接圆：一般地，如果多边形的顶点在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆，这个多边形叫作圆的内接多边形。注意：并不是所有四边形都有外接圆。即学即练1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（

）A． B． C． D．知识点三尺规作图——作三角形的外接圆1.如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆。AABC①分别作边AB，BC的垂直平分线l1，l2与l3的交点为O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为所求。即学即练1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=3，BC=2．(1)在图中，作出△ABC的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出△ABC的最小覆盖圆的直径．题型01判断能否确定圆/核心依据：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三点共线，则无法确定圆。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（

）A．以点O为圆心 B．以5cmC．以点O为圆心，5cm长为半径 D变｜式｜巩｜固1．（2026·湖北襄阳·一模）下列语句所描述的事件是随机事件的是（

）A．任意画一个四边形，其内角和为180°B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个平行四边形，是中心对称图形D．过平面内任意三点画一个圆2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（

）A．① B．② C．③ D．都可以题型02计算过多点可作圆的个数/从多个点中任取3个点组合，筛选出不共线的三点组合，组合总数即为可作圆的个数。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段AB=7，经过A、B两点且半径为5的圆有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点A，B和线段a，a>12AB．用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过点A，B，且半径为a，则这样的圆可以作（A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个题型03尺规作图题/（1）作三角形的外接圆：①选取三角形任意两条边；②分别作两条边的垂直平分线，交点为三角形外心（外接圆圆心）；③以外心到三角形任意顶点的长度为半径画圆，即为外接圆；（2）找残缺圆形的圆心：①在残缺圆弧上任取两条不平行的弦；②分别用尺规作出两条弦的垂直平分线；③两条垂直平分线的交点即为圆心，以交点到圆弧上点的距离为半径补全圆。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，请用尺规作图法，求作一个⊙O，使该圆经过点A，B，D．（保留作图痕迹，不写作法）

变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等．如图AB是拱桥的一部分，点A、B在地面MN上，请用尺规作图法确定AB所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．

2．（2026·甘肃武威·一模）如图，已知⊙O和点P，按如下方式作图：①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B,D；③连接PB，交OP的垂直平分线于点C．请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）题型04平面直角坐标系中外心与外接圆综合题/（1）取三角形两条边，分别求出两条边的中点坐标和直线解析式；（2）根据垂直直线斜率关系，求出两条边垂直平分线的解析式；（3）联立两条垂直平分线的解析式，解方程组，交点即为外心坐标。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，B2,1，C2,-3，则△ABC的外心坐标是（

A．-2,-2 B．-2,-1 C．-1,-2 D．-1,-1变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A-2，1，B0，1，

2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，△ABC外接圆的圆心坐标为______．题型05求三角形外接圆半径/直角三角形的外心为斜边中点，外接圆半径R=12典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）△ABC是以AB为斜边的直角三角形，其外接圆半径r=5cm，则斜边AB的长度为___________cm变｜式｜巩｜固1．（2026·湖北随州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M、N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆，则

A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程m2-14m＋3．