3.4 圆周角（讲义）（原卷版）

第三章圆3.4圆周角知识点一圆周角的定义1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。2.判定三要素：①顶点在圆上②两边是圆的弦③两边都与圆有交点3.区分圆心角与圆周角：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。即学即练1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中∠ACB是圆周角的是（

）A． B． C．D．知识点二圆周角定理1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。2.公式：∠3.关键前提：必须是同弧/等弧，不同弧不适用；必须在同圆或等圆中。即学即练1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，BD是⊙O的直径，A，C分别是圆周上的两个点，∠C=40°，则∠AOD的度数为（

）A．40° B．50° C．100° D．108°2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，△ACB和△ACD均为⊙O的内接三角形，且AB为直径，若∠D=66°，则∠CAB的度数是（

）A．16° B．24° C．26° D．34°3．（2026·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=56°，则∠AOB的度数为____．知识点三圆周角定理推论1.推论1：一条弧所对的圆心角的度数=弧的度数；一条弧所对圆周角度数=弧度数的一半。2.推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）；逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。（判断直径最重要方法）。3.推论3：同弧所对的所有圆周角相等；同一条弦对应两类圆周角：弦所对优弧、劣弧各对应一组圆周角，两角互补。即学即练1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（

）A．40° B．50° C．80° D．100°2.（2026·安徽淮南·三模）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若AB=DE，求证：点B是DE的中点；(2)若CD=2,AB=8，求⊙O的半径r．3．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）(1)图①中，画出⊙O的圆心O．(2)图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；知识点四圆内接四边形性质1.定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。2.核心性质：①对角互补：圆内接四边形的两组对角之和均为180°；②外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。即学即练1．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D为AC的中点，连接AC，若∠B=60°，则∠ACD的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．35°2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，⊙O是四边形AECD的外接圆．(1)尺规作图，过点E作AD的平行线，交CD于点F；(2)当∠AEC=120°时，①求证：四边形EBCF是菱形；②若⊙O的半径r=5，AD=8，则点O到CE的距离为_________．题型01利用圆周角定理求角度/（1）确定角所对应的同一段弧；（2）由圆心角求圆周角，或由圆周角反求圆心角；（3）结合三角形内角和、外角、对顶角、邻补角计算。典｜例｜精｜析1．（2026·云南普洱·二模）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=66°，则∠CBA的度数为（

）A．24° B．33° C．34° D．66°2．（2026·山西太原·三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，已知∠BAD=60°，∠BOC=110°，则∠AED的度数为（

）A．110° B．85° C．70° D．60°变｜式｜巩｜固1．（2026·河南南阳·三模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上弦AB上方的一点，连接BD，CD．若∠OAB=18°，则∠D的度数为（

）A．32° B．34° C．36° D．38°2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在⊙O中，∠A=30°，则∠BOC的度数为____________°．3．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC，若∠A=16°，则∠D的大小为______4．（2026·广东清远·一模）如图，在⊙O中，A，B，C为圆周上三点，且∠C=45°，若AB=2，则⊙O的面积为_____．5．（2026·安徽安庆·一模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，连接AD，CD．若∠OCD=32°，则∠A的度数是______．题型02利用圆周角定理求长度/（1）识别相等的圆周角，证明三角形全等；（2）结合全等性质（对应边相等）计算线段；（3）出现直径时，构造直角三角形，用勾股定理求解弦、线段长度；（4）结合垂径定理、切线性质综合计算。典｜例｜精｜析1．（2026·福建福州·三模）如图，AC、BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC、BC的中点，⊙O的半径为4．若∠C=45°，则DG的长为（

）A．22 B．3 C．23 D2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，A,B,C是半径为6的⊙O上的三点，若∠C=30°，则弦AB的长为___________．变｜式｜巩｜固1．（2026·湖南长沙·二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=2，∠ACB=45°，则AB=（

）A．2 B．2 C．22 D．2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，⊙O中，AB是直径，BD、CD是弦，若∠BCD=30°,BD=1，则直径AB的长为3．（2026·陕西延安·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，连接AD，OC．如果∠A=30°，OC=4，那么CD的长是________．4．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=67.5°，且AB=2AD，AB=12，则⊙O半径的长为5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC=6,BC=8，求BD的长．题型03直径所对圆周角推论/（1）题干出现直径：优先连接直径端点与圆上点，构造直角三角形；（2）题干出现圆上的直角：直接判定直角所对弦为直径；（3）结合直角三角形两锐角互余、勾股定理、全等/相似三角形解题。典｜例｜精｜析1．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（

）A． B． C． D．2．（2026·四川绵阳·一模）如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接CM并延长交半圆于点N，连接BN，若∠ABC=40°，则∠BNC的度数为（

A．60° B．55° C．50° D．30°变｜式｜巩｜固1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=（

）A．45° B．55° C．60° D．65°2．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙O的直径为25寸，矩形ABCD内接于⊙O，若AB=7寸，则BC=______寸．3．（2026·陕西西安·三模）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，连接AB，AC，BC，若∠BAC=70°，则∠CBD的度数是__________．4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC=6,BC=8，求BD的长．5．（2026·安徽·三模）如图，在△ABC中，AC=BC，以AC为直径作⊙O交AB于点D，延长BC交⊙O于点E，连接DE．(1)求证：DE=AD；(2)已知DE=8，AD-CD=2，求⊙O的半径．题型04同弧/等弧圆周角综合计算/（1）找准同一段弧/等弧，直接对等角进行等量代换；（2）结合圆周角与圆心角的倍数关系（同弧所对圆周角=12（3）多条弧、多个角混杂时，统一以公共弧为桥梁，逐步推导角度。典｜例｜精｜析1．（2026·广西柳州·二模）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE．(1)求证：CE=CD；(2)若AE⏜所对圆心角的度数为108°，求∠E2．（2025·河南·三模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)猜想OA与CD的位置关系，并说明理由．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD，延长AC，BD相交于点E，求证：AB=AE．2．（2026·河南周口·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，连接CD、(1)求证：∠ABD=∠ACD；(2)若AB=10,AC=8，求CD的长．3．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线AB围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接AC交优弧于D．(1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线AB最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与说理：连接AE,BE，测得∠AEB=60°，若要使船C不会进入暗礁区，则∠ACB的大小应保持在什么范围内？4．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题：如图1，已知直线l及直线l外一点P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行．下面是小尹设计的作图过程．①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；②以点A为圆心，截取AP长；③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；则点Q就是所求作的点．(1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明．证明：连接AP，BQ，作直线PQ；(2)小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解．5．（2026·安徽安庆·二模）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为CD的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F．(1)求证：BF＝(2)若AB＝4，BD＝题型05圆内接四边形/（1）核心性质：①对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为180∘；②外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。典｜例｜精｜析1．（2026·重庆·二模）如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠ADC=80°，则∠ABC的度数是（

）A．80° B．100° C．120° D．160°2．（2026·安徽合肥·二模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点E是劣弧AC上的点（不与点A，C重合），连接BE并延长至点G，连接AE并延长至点F．连接CE．(1)求证：EF平分∠GEC；(2)若BC=16，△ABC的面积为128，求⊙O的半径．3．（2026·江苏泰州·二模）四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°．(1)如图1，经过A、B、C三点作⊙O，求证：点D在⊙O上；(2)如图2，连结AC、BD，若AC⊥BD，求证：AB=AD．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形ADBC的四个顶点均在⊙O上，AB=AC，若D是AB的中点，且DE=2，AC=8，则⊙O的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点B是劣弧AC的中点，∠ADC=70°，连接AC，则∠BAC的度数为________°．3．（2026·河南周口·一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，△ABC为等边三角形．(1)尺规作图：过点B作BM∥CD，交DA的延长线于点M．(2)求证：MA=CD．4．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD于E，AC平分∠BAD，延长C