3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（讲义）（解析版）

第三章圆3.5点与圆、直线与圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系1.设圆的半径为(r)，平面内一点到圆心的距离为(d)，共三种位置关系：点在圆外：(d>r）；点在圆上：(d=r)（判定点在圆上的核心依据）；点在圆内：(d<r)2.补充结论：圆的内部是到圆心距离小于半径的点的集合；圆上是等于半径的点的集合；圆外部是大于半径的点的集合。即学即练1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角△ABC中，CD为斜边AB上的中线，以点D为圆心，以AB为直径作⊙D，则点C与⊙D的位置关系为（

）A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定【答案】C【分析】已知⊙D的半径r=12AB【详解】解：AB为直径作⊙D，∴⊙D的半径r=∵在直角△ABC中，CD为斜边AB上的中线，∴CD=∴点C在圆上．2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（

）A．0<r<6 B．0≤r≤6 C．r≤6 D．r>6【答案】A【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解．【详解】解：∵点P在圆O外，∵点P到圆心O的距离大于圆O的半径r，∵点P到圆心O的距离为6，且圆的半径r>0，∴0<r<6．故选：A．知识点二直线与圆的位置关系1.设圆的半径为(r)，圆心到直线的距离（垂线段长度）为(d)，共三种位置关系：①相离：直线与圆没有公共点，满足(d>r)；②相切：直线与圆只有一个公共点，满足(d=r)，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；③相交：直线与圆有两个公共点，满足(d<r)，直线叫做圆的割线，两个公共点之间的线段为圆的弦。即学即练1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知⊙O及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果⊙O半径为3，且PO=3，那么下列对直线l的表述不正确的是（

）A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与⊙O相交C．直线l可能与⊙O相切 D．直线l可能与⊙O相离【答案】D【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论【详解】解：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，由题意得r=3，P为l上一点，PO=3，∵点到直线的距离，垂线段最短，∴d≤PO=3，即d≤r，∵直线与圆相离的判定条件为d>r，∴d不可能大于r，∴直线l不可能与⊙O相离．2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，按照r>d=6即可得到问题的答案．【详解】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r>6，比较四个选项中的数，只有D选项中的8>6，满足题意，故选：D．3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切，圆心O到直线AB距离等于__________．【答案】5【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果．【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切，∴圆心O到直线AB距离等于5；故答案为：5．知识点三切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定两个必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端点②直线与半径垂直2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。核心用途：遇切线，连切点和圆心，必得直角，是几何倒角、证垂直的常用方法。3.切线两种证明方法：①有切点，连半径，证垂直：已知直线与圆有公共点时使用；②无切点，作垂直，证半径：未知公共点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。即学即练1．（2026·湖南益阳·二模）如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，连接AC,AD，且AC平分∠DAB．过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E．(1)证明：EC是⊙O的切线；(2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F，且∠DAB=70°，求∠BFC的度数．【答案】(1)见解析(2)110°【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义和等边对等角证明∠DAC=∠OCA，则AE∥OC，再证明OC⊥EF，据此可证明结论；（2）根据平行线的性质得到∠BOC的度数，再由切线的性质得到∠OCF，∠OBF的度数，再根据四边形的内角和为【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC；∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）得AE∥OC，EF是⊙O的切线∵∠DAB=70°，∴∠BOC=∠DAB=70°，由切线的性质可得∠OCF=∠OBF=90°，∴∠BFC=360°-∠BOC-∠OCF-∠OBF=110°．知识点四尺规作图——过圆外一点作这个圆的切线1.已知⊙0与圆外一点P，过点P作⊙0的切线。作法：①连接OP；②以OP为直径作圆，交⊙0于点A，B；③连接PA，PB，PA、PB即为所求。即学即练1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在⊙O上．请用尺规作图法，过点P作⊙O的切线l．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，直线l即为所求．【详解】略知识点五切线长定理1.切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。2.切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。即学即练1．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B．如果∠P=60°，AB=2，那么PA的长度是（）A．2 B．3 C．3 D．2【答案】A【分析】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到PA=PB，证明△PAB为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB为等边三角形，∴PA=AB=2，故选：A．2．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O，如图所示，悬挂绳AB、AC分别切⊙O于点B、C，连接(1)求证：OA垂直平分BC．(2)当BC为40cm，四边形ABOC为正方形时，求⊙O的面积．（结果保留π【答案】(1)见解析(2)800π【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可；（2）先根据正方形的性质求出半径OB，再由圆的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵悬挂绳AB、AC分别切⊙O于点B、∴AB=AC∵OB=OC∴OA垂直平分BC；（2）解：∵四边形ABOC为正方形时∴∠BOC=90°∴O∵OB=OC∴OB=∴⊙O的面积=πO知识点六三角形的内切圆1.尺规作图——作已知三角形的内切圆作法：①分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，CN，BM与CN的交点为O；②过点O作OD⊥BC，垂足为D；③以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，⊙O即为所求。2.三角形的内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。3.内心性质：①内心是三角形三条角平分线的交点；②内心到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径）；③内心一定在三角形内部（任意三角形均成立）。4.补充公式（常用计算）三角形面积：S=12(a+b+c)r（a、b、c为三边长，r5.外心与内心对比外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点，到三边距离相等。即学即练1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知△ABC．(1)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆；(2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，再过点O作OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径画圆，即可得△ABC的内切圆．（2）设△ABC的内切圆⊙O分别与AB,AC相切于点E，F，连接OE，OF，OA【详解】（1）解：如图，先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，再过点O作OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径画圆，则⊙O即为所求．（2）解：设△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，连接OE，OF，OA，∵△ABC的周长为24，∴AB+BC+AC=24．∵△ABC的面积为24，OE=OF=OD，∴S∴OD=2，∴它的内切圆的半径为2．知识点七圆与圆的位置关系1.设两个圆的半径分别为R、r（R≥r），两圆圆心之间的距离（圆心距）为d。①外离：位置：两圆没有公共点，一个圆在另一个圆外部；数量关系：d>R+r；②外切：位置：两圆有唯一公共点，除切点外一圆在另一圆外部；数量关系：d=R+r；性质：两圆相切，连心线过切点；③相交：位置：两圆有两个公共点；数量关系：R-r<d<R+r；性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦；④内切：位置：两圆有唯一公共点，小圆在大圆内部；数量关系：d=R-r；性质：两圆相切，连心线过切点；⑤内含：位置：两圆无公共点，小圆完全在大圆内部（含同心圆）；数量关系：d<R-r；特殊：同心圆d=0，属于内含的特例。即学即练1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为5:2，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定【答案】C【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点．【详解】解：由于两圆的半径长之比为5:2，设两圆半径分别为R=5k厘米，r=2k厘米，其中k>0，当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为9厘米，∴R-r=5k-2k=3k=9，解得k=3，∴R=5×3=15厘米、r=2×3=6厘米，∴R+r=15+6=21厘米、R-r=15-6=9厘米，∵圆心距为18厘米，满足R-r<18<R+r，此时两圆位置关系为相交．2．（2025·上海嘉定·二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2=3，⊙O1的半径长是A．0<r<2 B．2<r<8 C．0<r<2或r>8 D．r>8【答案】C【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分⊙O1内含于⊙O2和【详解】解：当⊙O1内含于⊙O∴3<r-5，∴r>8；当⊙O2内含于⊙O∴3<5-r，∴0<r<2；综上所述，0<r<2或r>8，故选：C．题型01点与圆位置关系判断及计算/（1）算出点到圆心距离d，对比半径r：d<r圆内，d=r圆上，d>r圆外；（2）易错：仅凭看图估位置，不列式计算；距离公式坐标代入出错。典｜例｜精｜析1．（2026·云南保山·一模）已知⊙O的半径为7cm．若点P到圆心O的距离为10cm，则（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断【答案】C【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置．【详解】解：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，∵由题意得r=7cm，d=10∴d=10>7=r，即d>r，根据点与圆的位置关系判定规则：当d>r时，点在圆外，∴点P在⊙O外．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点P、Q与⊙O的位置关系如图所示，若OP=8，OQ=6，则⊙O的半径可能是（

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离d小于圆的半径r时，则点在圆内；点到圆心的距离d等于圆的半径r，则点在圆上；点到圆心的距离d大于圆的半径r，则点在圆外．【详解】解：设⊙O的半径为r，∵点P在圆外且OP=8，∴r<8，∵点Q在圆内且OQ=6，∴r>6，∴⊙O的半径是6<r<8，∴C选项7符合题意，故选：C．2．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，以AB为半径作⊙A，则点C在⊙A_______．（填“外”或“内”）【答案】外【分析】根据正方形的性质得到AC=2【详解】解：连接AC，如图，∵正方形ABCD的对角线AC=2∴点C在⊙A外．题型02直线与圆位置关系判断/（1）求圆心到直线垂距d，和r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交；（2）易错：误用圆心到直线上任意点线段长代替垂线段距离。典｜例｜精｜析1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是6cm，圆心到直线的距离是8cm，那么直线与圆的位置关系是（

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】A【分析】先确定圆的半径r和圆心到直线的距离d，再比较d与r的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论．【详解】解：由题意得，圆的半径r=6cm，圆心到直线的距离∵d=8根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离.∴直线与圆的位置关系是相离．变｜式｜巩｜固1．（2026·上海宝山·二模）如图，∠ABC=30°，点O为射线BC上一点，BO=8，如果⊙O是以点O为圆心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】A【分析】作OD⊥AB，求出OD的长，与半径比较大小，即可得出结果.【详解】解：作OD⊥AB于点D，∵∠ABC=30°，BO=8，∴OD=1∵⊙O的半径为3，4>3，∴⊙O与直线BA的位置关系是相离.2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与⊙O相切的直线是（

）．A．l1 B．l2 C．l3【答案】D【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键．圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可．【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下：对于选项A：l1与⊙O没有公共点，则l1与⊙O相离，故对于选项B：l2与⊙O有两个公共点，则l2与⊙O相交，故对于选项C：l3与⊙O有两个公共点，则l3与⊙O相交，故对于选项D：l4与⊙O只有一个公共点，则l4与⊙O相切，故故选：D．题型03利用直线与圆位置关系求半径/（1）先求圆心到直线垂距d，按相切r=d、相交r>d、相离r<d列式求解；（2）易错：不等号方向写反；相切时分值漏写等号。典｜例｜精｜析1．（2026·河南周口·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点C为圆心，r为半径作圆．若⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（

A．125 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】首先由勾股定理求AB，再用面积法求出C到AB的距离CD，然后根据切线的判定定理回答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A过点C作CD⊥AB于点D，∴S△ABC∴CD=AC·CB∵⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，∴⊙C与AB相切，∴r=CD=122．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是______．【答案】d>5【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解．【详解】解：∵直线l与⊙O相离，∴圆心O到直线l的距离d大于⊙O的半径5，即d>5．故答案为：d>5．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知⊙O与直线l没有公共点，若⊙O的半径为5，则圆心O到直线l的距离可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系决定：当d>r时，圆与直线相离，无公共点；当d=r时，圆与直线相切，有一个公共点；当d<r时，圆与直线相交，有两个公共点．【详解】解：∵⊙O与直线l没有公共点，∴⊙O与直线l相离，已知⊙O的半径r=5，∴圆心O到直线l的距离d>5，观察选项，只有选项A中的6满足d>5，故选：A．2．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm，则球的半径为（

）A．154cm B．4cm C．17【答案】A【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=ON=xcm，在Rt△MOF中利用勾股定理求得【详解】解：如图，取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，∵M是EF的中点，MN⊥AD于点M，∴MN经过球心O，∴取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∵MN⊥AD，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=6cm设OF=ON=xcm，∴OM=MN-ON=6-x∵MF=1∴在直角三角形OMF中，OM2+M解得：x=15∴球的半径为1543．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，Rt△ABC中，以点A为圆心作⊙A，与BC，AC有交点（不经过点B，C两点），∠B=90°，∠C=30°．若AB=3，则⊙A的半径r的取值范围是________【答案】3<r<6【分析】分别求出⊙A与BC相切时，⊙A过点C时两种情况半径r的值，再结合图像分析即可．【详解】∵∠B=90°，∠C=30°，AB=3，∴AC=2AB=6，如图，当⊙A与BC相切时，半径r=AB=3，当⊙A过点C时，半径r=AC=6，由图像可得，当⊙A与BC，AC有交点（不经过点B，C两点）时，⊙A的半径r的取值范围是3<r<6．题型04圆或直线平移到两者相切的计算/（1）算出初始圆心距，平移距离=初始距离±r（外切）或|距离±r|（内切），分左右/（2）易错：只算一种相切位置，漏掉双解；平移长度加减混淆。典｜例｜精｜析1．（2025·河南濮阳·一模）如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O的半径为3cm，OP=8cm．若⊙O在BP上向点P移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为________【答案】2【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．当⊙O移动到与PA相切时，设圆心为O'，切点为C，由∠O'CP=90°，∠APB=30°，O'【详解】解：当⊙O移动到与PA相切时，设圆心为O'，切点为C，则PA⊥∴∠O∵∠APB=30°，O'∴O'∵OP=8cm∴OO∴圆心O移动的距离为2cm故答案为：2．变｜式｜巩｜固1．（2026·广东广州·二模）如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是________【答案】2或8【分析】连接OA，利用垂径定理可得AH=12AB=4【详解】解：连接OA，∵直线l⊥OC，AB=8cm∴AH=12在Rt△AOH中，OA=OC=5cm∴OH=O∵直线l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线向下平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为CH=5-3=2cm当直线向上平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为CH=5+3=8cm综上所述，平移的距离是2cm或82．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，把直线l向上平移______cm，才能使l与【答案】2或12【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可．【详解】解：根据题意得，7-5=2cm或7+5=12∴把直线l向上平移2cm或12cm才能使l与故答案为：2或123．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=45°，⊙P的半径为2cm，且OP=4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，则___________秒时⊙P【答案】2或6【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点P在O点左侧，⊙P与CD相切时，过P作PE⊥CD于E，根据切线的性质得到PE=2cm，再利用∠AOC=45°得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(4-2)cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在O点右侧，【详解】解：当点P在O点左侧，⊙P与CD相切时，过P作PE⊥CD于E，如图，∴PE=2∵∠AOC=45°，∴OP=2∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4-2=2cm后与CD∴⊙P移动所用的时间=2÷1=2（秒）；当点P在O点右侧，⊙P与CD相切，如图，同理，得⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4+2=6cm后与CD∴⊙P移动所用的时间=6÷1=6（秒）．故答案为：2或6．题型05切线判定证明题/（1）有公共点：连圆心和交点，证垂直；（2）无公共点：作圆心垂线，证垂线段长=半径。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=30°，点A在以CD为直径的⊙O上．(1)求∠ADC度数；(2)求证：AB是⊙O的切线．【答案】(1)60°(2)见解析【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键．（1）根据“直径所对的圆周角是直角”得∠DAC=90°，计算即可求解；（2）连接OA，根据角之间的关系，易求∠BAO=90°，根据切线的判定定理即可求证．【详解】（1）解：∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC=90°，即△DAC是直角三角形，∵∠C=30°，∴∠ADC=90°-∠C=90°-30°=60°；（2）证明：如图，连接OA，∵AB=AC，∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠C-∠B=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=30°，∴∠BAO=∠BAC-∠OAC=120°-30°=90°，即OA⊥AB，又∵OA是半径，∴AB是⊙O的切线．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠ODC=30°，BD=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3【分析】本题考查了圆的切线判定以及含30°角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键．（1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线；（2）在直角三角形中，根据30°角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解．【详解】（1）证明：连接OC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∠OCD=90°，∵∠ODC=30°，∴OC=1即OD=2OC，∵OB+BD=OD，又∵OB=OC，∴OB=OC=BD=3，∴⊙O的半径为3．2．（2026·山东济南·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O交AB边于点D，点E在AC上，连接CD，DE，∠ADE=∠BCD．(1)证明：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为5，BD=3，求AC的长．【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=180°-∠BDC=90°，∵OC=OD，∴∠BCD=∠ODC，∵∠ADE=∠BCD，∴∠ODC=∠ADE，∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(2)25【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠BDC=90°，则∠ADE+∠CDE=90°，由等腰三角形的性质可得∠BCD=∠ODC，结合∠ADE=∠BCD可得∠ODC=∠ADE，则（2）设AB=AC=x，则AD=x-3，由勾股定理可得CD=4，在Rt△ACD中，利用勾股定理构造方程，求解出x即可．【详解】（1）略（2）解：设AB=AC=x，∵BD=3，∴AD=AB-BD=x-3，在Rt△BCD中，CD=B在Rt△ACD中，AD∴x-32解得x=25∴AC=25题型06切线的性质与判定综合/（1）切线⊥过切点半径；判定用连半径证垂直，性质得直角后结合勾股、相似求解；（2）易错：不会主动连接切点与圆心构造直角；性质、判定定理混用。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的直线与边AD所在直线垂直于点M．(1)若CM是⊙O的切线，且∠ABC=55°．求∠ACD的度数．(2)试猜想∠CAB与∠BAD满足什么关系时，直线CM与⊙O相切？并说明理由．【答案】(1)∠ACD=20°(2)∠CAB=12∠BAD时，CM【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥CM，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出∠BAC=35°，根据OA=OC，得到∠OCA=35°，利用圆内接四边形的性质，求出∠CDM=55°，即可解答；（2）当∠CAB=12∠BAD时，CM与⊙O相切，由∠CAB=12∠BAD，得到∠CAB=∠CAD，根据等腰三角形的性质推出∠CAD=∠OCA，易证【详解】（1）解：如图，连接OC，∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM．∵∠ABC=55°，AB为⊙O的直径，∴∠BAC=35°．∵OA=OC，∴∠OCA=35°．∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠CDM=55°．又∵CM⊥DM，∴∠MCD=35°，∴∠ACD=20°．（2）解：当∠CAB=12∠BAD时，CM理由：∵∠CAB=1∴∠CAB=∠CAD，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠CAD=∠OCA，∴OC∥∵AM⊥CM，∴OC⊥CM．又∵OC为⊙O的半径，∴CM与⊙O相切．变｜式｜巩｜固1．（2026·安徽安庆·一模）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，D为BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，BF为⊙O的切线交AE的延长线于点F．记AE与BC的交点为H．(1)求证：∠BOE=∠CBF．(2)若H为CD的中点，⊙O的半径为4，求OD的长．【答案】(1)证明：如图，连接AC,OC，∵D是BC的中点，BC是⊙O的弦，∴OD⊥BC，BE⏜∴∠BOE=12∠BOC∴∠BOE=∠BAC，∵BF是⊙O的切线，∴∠CBF+∠ABC=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠CBF=∠BAC，∴∠BOE=∠CBF．(2)4【分析】（1）利用垂径定理由D为BC中点得OD⊥BC及BE⏜=CE⏜，从而∠BOE=12∠BOC；同时∠BAC=12∠BOC，故∠BOE=（2）由（1）知OD⊥BC且∠ACB=90°，结合H为CD中点可证△ACH≌△EDHASA，得AC=DE，再利用O为AC中点、D为BC中点得OD=12AC=12【详解】（1）略（2）如图，连接AC由（1）得OD⊥BC，∠ACB=90°，且H为CD的中点，在△ACH和△EDH中，∠ACH=∠EDH=90°CH=DH∴△ACH≌△EDHASA∴AC=DE，∵O是AC中点，D为BC的中点，∴OD=1∴OD=1∵⊙O的半径为4，即OE=4，设OD=x，则DE=4-x,∴x=124-x∴OD的长为432．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中AD=8，以BC为直径作半圆O，切线AE的延长线交CD于点F，E为切点，对角线BD恰好过E点．(1)求证：F为CD中点；(2)求AB的长．【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BC为半圆O的直径，∴AB、CD为⊙O的切线，又AE为⊙O切线，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠EDF，∴∠ABE=∠EDF=∠AEB=∠DEF，∴FE=FD，∵FE、FC为⊙O切线，∴FE=FC，∴FD=FC，∴F为CD中点．(2)AB=4【分析】（1）先证AB、CD为⊙O的切线，再根据切线长定理得出AB=AE，从而得出∠ABE=∠AEB，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得∠EDF=∠DEF，得出FE=FD，最后由切线长定理得出FE=FC，即可得出结论；（2）设FD=FC=FE=x，则AE=AB=CD=2x，AF=3x，再在Rt△ADF中，由勾股定理得出82+【详解】（1）略（2）解：∵AB、AE为⊙O切线∴AB=AE，设FD=FC=FE=x则AE=AB=CD=2x，∴AF=3x，∵矩形ABCD，∴∠ADC=90°，在Rt△ADFAD即82又∵x>0  ∴x=2∴AB=42【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键．题型07切线长定理计算与证明/（1）圆外一点引两条切线长相等；圆心和该点连线平分夹角、垂直平分切点连线；（2）易错：多条切线时漏写多组等长线段；误把圆心连线当成切线。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，连接AB，若∠APB=60°，PA=6，则△ABP的周长为（

）A．18 B．12 C．12+33 D．【答案】A【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质等知识，先运用切线长得到PA=PB，从而判定△ABP是等边三角形，从而得解．【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴PA=PB，又∵∠APB=60°，∴△ABP是等边三角形，∴PA=PB=AB=6，∴△ABP的周长为：PA+PB+AB=18，故选：A．2．（2026·广东汕头·一模）已知：O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．(1)如图1，求证：直线AD是⊙O的切线．小明建议：可以过点O作AD的垂线……小红建议：也可以连接EO并延长……选择其中一位同学的建议，完成证明：(2)如图2，当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．【答案】(1)选择小明同学的建议，证明见解析；选择小红同学的建议，证明见解析(2)▱ABCD是菱形，理由见解析【分析】（1）选择小明同学的建议：过点O作OF⊥AD，连接OE，BD，证明△DFO≌△BEOAAS，可得OF=OE连接EO，并延长交AD于点F，证明△FOD≌△EOBASA，可得DF=BE,OF=OE（2）当AB与⊙O相切时，切点记为点F，证明Rt△OFB≌Rt△OEB【详解】（1）解：选择小明同学的建议：过点O作OF⊥AD，连接OE，BD，如图：∴∠DFO=90°，∵O是▱ABCD的对称中心，∴B,O,D三点共线，且OB=DO，AD∥BC，∴∠FDO=∠EBO，∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，即∠BEO=90°，∴∠DFO=∠BEO，∴△DFO≌△BEOAAS∴OF=OE，∵∠DFO=90°∴直线AD是⊙O的切线；选择小红同学的建议：连接EO，并延长交AD于点F，如图：∵O是▱ABCD的对称中心，∴B,O,D三点共线，且OB=DO，AD∥BC，∴∠FDO=∠EBO，∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵AD∥BC，∴∠DFO=∠BEO=90°，∵OB=DO，∠FOD=∠EOB，∴△FOD≌△EOBASA∴DF=BE,OF=OE，∵∠DFO=90°，∴F是切点，即直线AD是⊙O的切线；（2）解：▱ABCD是菱形，理由如下：当AB与⊙O相切时，切点记为点F，如图所示：∵BC与⊙O相切于点E．AB与⊙O相切于点F，∴∠OFB=∠OEB=90°，∵BO=BO,OF=OE，∴Rt△OFB≌∴∠ABD=∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形．变｜式｜巩｜固1．（2026·河南鹤壁·一模）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．(1)如图①．若∠BAC=22.5°，求∠AMB的大小．(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．【答案】(1)45°(2)60°【分析】（1）根据切线的性质，得到∠MAC=90°，进而求出∠MAB的度数，切线长定理，得到MA=MB，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可；（2）连接AD、AB，证明四边形MADB是菱形，证明△ABD是等边三角形，得到∠D=60°，根据菱形的性质即可得出结果．【详解】（1）解：∵MA切⊙O于点A，∴MA⊥AC，∴∠MAC=90°．∵∠BAC=22.5°，∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=90°-22.5°=67.5°．∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA=67.5°，∴∠AMB=180°-∠MAB-∠MBA=45°．（2）解：如图，连接AD、AB，∵MA⊥AC，BD⊥AC，∴BD∥MA．又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形．∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形，∴AD=BD．∵AC为直径，AC⊥BD，∴弧AB=弧AD，∴AB=AD．∵AD=BD，AB=AD，∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠D=60°．∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．2．（2025·广东中山·二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，求证：OD∥BE．【答案】见解析【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接AE、OE，如图，先根据切线长定理得到DA=DE，再判断OD垂直平分AE，接着根据圆周角定理得到∠AEB=90°，然后根据平行线的判定方法得到结论．【详解】证明：连接AE交OD于H，连接OE，如图，∵AM和DE为⊙O的切线，∴DA=DE，∵OA=OE，∴OD垂直平分AE，∴∠AHO=90°∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AHO=∠AEB，∴OD∥BE．3．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．(1)如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切；(2)如图2，在正方形ABCD中，AB=4，DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，且【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键．（1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切；（2）连接OE．证明C,O,E三点在同一条直线，得到CE=22，由OC=22-1【详解】（1）设正方形边长为a，则⊙O半径为a2过O作OH⊥AD于H，∵O为正方形ABCD对角线交点，∴OH=∴O到AD的距离OH等于边长的一半，即OH=a2，等于∴⊙O与AD相切．（2）连接OE．∵在正方形ABCD中，AB=4，∴BD=2AB=4∵DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，∴BE=BM,OE⊥BD,DN=DE．∵DN=BM=2∴BE=DE，∴OE是BD的垂直平分线，∵CD=CB，∴点C在BD的垂直平分线是上，∴C,O,E三点在同一条直线，∴CE=∵OC=2∴OE=CE-OC=1∴⊙O的半径为1．题型08三角形内切圆相关计算/（1）内切圆半径r=2SC（S面积，C周长）；直角三角形（2）易错：直角三角形内切半径公式记错；周长、面积代数值出错。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛ABC∠C=90°内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为D，E，F，已知AC=12米，BC=9米，则圆形喷泉的半径是A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米【答案】C【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∴AB=A如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，设内切圆半径为r，则OD=OE=OF=r，∵Rt△ABC的面积可以表示为12×AC×BC∴12解得r=3．故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙O为△ABC的内切圆，且半径为6，若△ABC的面积为186，则BC的长为（

A．10 B．82 C．92 D【答案】D【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，由切线的性质得OD=OE=OF=6，由S【详解】解：过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，∵⊙O是△ABC的内切圆，且半径为6，∴OD=OE=OF=6∵△ABC的面积为186∴S∴1解得BC=13，故选：D．2．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（

）A．105° B．110° C．115° D．125°【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由⊙O是△ABC的内切圆得到∠BCO=12∠ACB,∠CBO=【详解】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO，∴∠BCO=1∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=180°-=180°-=180°-1故选：C．3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=6，BE=4．若△ABC的周长为36，则CF的长为________．【答案】8【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，从而得出AB的值，再由三角形周长得出BC+AC的值，设CE=CF=x，列出关于x的方程求解x的值，即可得出CF的值．【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AD=6，BE=4，∴AF=6，BD=4，∴AB=AD+BD=10，又∵△ABC的周长为36，∴BC+AC=36-AB=26，设CE=CF=x，∴AF+FC+CE+BE=BC+AC=26，∴6+x+x+4=26，解得：x=8，即CF的长为8，故答案为：8．题型09三角形内心的应用/（1）内心是三条角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径），可求角度、边长；（2）易错：内心和外心混淆；误以为内心到三顶点距离相等。典｜例｜精｜析1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC=195°，则∠BAC的大小是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本题考查了三角形内心的性质、三角形内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．根据三角形内心的性质得出∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12【详解】解：∵I是△ABC的内心，∴∠IBC=12∠ABC∵∠DIB+∠EIC=195°，∴∠DIE+∠BIC=165°，由折叠过程知∠BAC=∠DIE，∴∠BAC+∠BIC=165°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∴∠IBC+∠ICB=90°-1又∵∠BIC+∠IBC+∠ICB∴∠BIC+90°-∴∠BIC=90°+1∴∠BAC+90°+1∴∠BAC=50°．故选D．变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形ABCD中∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的内心I与点O的距离为2，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．83+12 C．63【答案】B【分析】作IE⊥OB于E，作IF⊥OA于F，连接IB，由四边形ABCD是菱形，I是△AOB的内心，求得OE=1．IB=2IE=2．EB=3．可得DB=2+23．由∠BAO=30°，AC=6+23【详解】解：作IE⊥OB于E，作IF⊥OA于F，连接IB，∴∠IEO=∠IEB=∠IFO=90°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB=90°∠ABO=12∠ABC=60°，DB=2OB∵I是△AOB的内心，∴∠FOI=∠EOI=12∠AOB=45°∴OE=IE=I∴IB=2IE=2．∴EB=I∴OB=OE+EB=1+3∴DB=2OB=2+23∵∠AOB=90°，∠ABO=60°，∴∠BAO=90°-60°=30°．∴AB=2OB=2+23∴AO=A∴AC=2AO=6+23∴S2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，连接BD．(1)如图1，求证：DE=DB；(2)如图2，若△ABC的边BC恰好为⊙O的直径，延长BD至点F，使得DF=BD，连接CF．求证：直线CF为⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BE，首先结合三角形的内心定义可得∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠CBE，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出∠BED=∠DBE，得到DE=DB；（2）连接CD，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到CD=BD=DF，进而推出∠BCF=90°，即BC⊥CF，得证．【详解】（1）证明：如图，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠CBE，∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED=∠BAE+∠ABE，∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠BAE=∠CAE=∠DBC，∴∠BED=∠DBE，∴DE=DB．（2）证明：如图，连接CD．由（1）知∠DAB=∠DAC，∴BD=∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=BD=DF，∴∠DBC=∠BCD，∠DCF=∠F，又∵∠DBC+∠BCD+∠DCF+∠F=180°，∴∠BCD+∠DCF=90°，∴∠BCF=90°，即BC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．题型10圆与圆的位置关系/（1）算圆心距d，两圆半径R、d>R+r外离；d=R+r外切；R-r<d<R+r相交；d=R-r内切；d<R-r内含；（2）易错：相切不分内外切，丢掉一解；大小半径相减不加大绝对值。典｜例｜精｜析1．（2025·上海青浦·二模）已知⊙O1与⊙O2有交点，圆心距O1O2=2如果⊙O1的半径A．3<r1<7 B．3≤r2<7 C．【答案】D【分析】此题考查圆与圆相交时，圆心距与半径的关系．根据圆心距与半径之和，半径之差的关系即可得到答案．【详解】由题意可知：5-2≤r解得：3≤r故选：D．2．（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知⊙A和⊙B的直径分别为3和4，且AB=3，则两圆的位置关系是______．【答案】相交【分析】本题考查判断两圆之间的位置关系，求出两个圆的半径之和，以及两个圆的半径之差，与两圆心之间的距离，比较大小即可得出结论．【详解】解：∵⊙A和⊙B的直径分别为3和4，∴⊙A和⊙B的半径分别为1