3.6 正多边形与圆（能力提升）（解析版）

.6正多边形与圆题型一尺规作图1．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形ABCD，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析过点A作AO⊥l于点O，以O为圆心，OA为半径画弧交直线l于点B，D，交直线AO于点C，连接AB，BC，CD，AD，正方形ABCD即为所求．正方形ABCD如图所示：2．如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．(1)PB-PA=r；(2)PB+PA=2r．【答案】见解析（1）解：如图，点A、B即为所求，理由：由作图知，⊙O'是等边∴∠PBO=∠PQO=60°，连接OA，OB，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=r，∴PB-PA=AB=r；(2)解：如图，点A、B即为所求，理由：由作图知，PQ=r，连接OQ，∵PO是⊙O∴∠PQO=90°，即OQ⊥AB，∴AQ=BQ，∴PA+PB=PQ-AQ3．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）．(1)正三角形(2)正方形(3)正六边形(4)正八边形【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求．（2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点即可得到正方形．如图所示，正方形为所求．（3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求．（4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形．如图所示，正八边形为所求．4．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．题型二正多边形与圆综合1．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（

）A．4,0 B．23,2 C．2,23【答案】B【详解】解：∵每次旋转45∘，360∴旋转8次为一个循环周期．∵2026÷8=253⋯2，∴第2026次旋转结束时，点A的位置与第2次旋转结束时点A的位置相同，即相当于将初始位置的点A绕点O顺时针旋转2×45如图，设第二次旋转后的正六边形为A'∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，∴中心角为360°6∴OA=OB，∴△AOB是正三角形，∴OA=4，∵顺时针旋转90∘∴∠AOA∵点C在x轴正半轴上，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∴∠A'OC=∠AOC-∠AO∵∠B'OC=∠∴A'B'垂直于x在Rt△OA'H中，∴A∴OH=O∴点A'的坐标为(2∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为(232．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的∠AOB恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______．【答案】12【详解】解：如图，标注顶点，连接OC，∴由正六边形与正方形的性质可得∠AOC=360°÷6=60°，∠BOC=360°÷4=90°，∴∠AOB=90°-60°=30°，∵∠AOB恰好等于一个正n边形的一个外角，∴n=360°3．如图，在⊙O中，弦AB，AC分别是⊙O的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是________．【答案】12【详解】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正方形的一条边，∴∠AOC=360°4=90°∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∵BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，∴n=360°4．如图，已知AF是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(1)如图1，在正八边形ABCDEFGH内部以AF为斜边作等腰直角三角形．(2)如图2，在正八边形ABCDEFGH内部以CD为边作正方形CDIJ．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】（1）如图所示：连接CF、AD，CF与AD相交于点O，即△AFO为等腰直角三角形；根据正八边形ABCDEFGH可知，每一个内角的大小为8-2180°8=135°，且四边形ABCD为等腰梯形，内角和为360°∴∠ADC=∠DAB=360°-135°-135°∵∠FAB=90°，∴∠FAD=45°，同理可得，∠AFC=45°，∴△AFO为等腰直角三角形；（2）解：如图所示：连接CF、AD，CF与AD相交于点O，连接CH、GD，GD交CF于点I，CH交AD于点J，连接JI，四边形CDIJ即为正方形；∵∠GDC=∠DCH=90°，GD∥HC，可求∠DJC=180°-90°-45°=45°，∴∠DIC=45°，则满足IJ=ID=DC=JC，且∠GCJ=90°，∴四边形CDIJ即为正方形．1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为3，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（）A．6≤C≤63 B．3≤C≤33 C．33≤C≤6 D．33≤C【答案】C【解答】解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的13∵GK的最大值为3，GK的最小值为33∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为32∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：33≤C≤6故选：C．2．已知：线段MN＝a．（1）求作：边长为3a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径．【答案】见解析【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求作的正三角形．（2）如图：分别作CD⊥AB、BE⊥AC于点D、E，CD和BE相交于点O，点O即为正三角形ABC的内切圆的圆心，OD即为内切圆的半径．∵AB＝BC＝103，∴BD=12AB＝5∴CD＝15，设OD＝x，则OB＝OC＝15﹣x，在Rt△BOD中，根据勾股定理，得OB2＝OD2+BD2即（15﹣x）2＝x2+（53）2，解得x＝5．答：（1）中正三角形ABC的内切圆的半径为5cm．3．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t＝s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝s时，四边形PBQE为矩形．【答案】（1）见解析；（2）①t＝2s；②t＝0s或4s【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，在△ABP和△DEQ中，AB=DE∠A=∠D∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBQE是菱形时，此时t＝2s．②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．4．【给出问题】：已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上（除A、B外），试求∠APB的度数．【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：（1）①尺规作图，在⊙O中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）．②原题中∠APB＝．【深入思考】：（2）【问题】如图1，若四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接PA、PB、PC、PD，请探究PD、PA、PC三者之间或者PD、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（3）【拓展】如图2，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系：（不写证明过程）．（4）【应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，∠APB＝45°，PD＝2，PC＝4，试求矩形ABCD的面积．【答案】（1）①作图见解答；②45°．（2）PB=2PC+PD，PA=2PD+PC，证明见解析；（3）PA=PC+3【解答】解：（1）①如图所示，作直径BD的垂直平分线交⊙O于点A，C，则四边形ABCD是正方形；②如图所示，∠APB=1故答案为：45°．（2）PB=2PC+PD，如图，过点C作CE⊥PC交PB于E，∵∠BCE+∠DCE＝∠DCE+∠DCP，∴∠BCE＝∠DCP，∵PC=∴∠PDC＝∠EBC，又∵CD＝BC，∴△PDC≌△EBC（ASA），∴PC＝CE，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PB=PE+EB=2即PB=2如图所示，过点C作CF⊥PA交PA于F，同理可得△PDF是等腰直角三角形，PA=PF+AF=2∴PB=2PC+PD，（3）PA=PC+3如图，过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，在△ABQ和△CBP中，AQ=PC∠BAP=∠BCP∴△ABQ≌△CBP（SAS），∴BQ＝BP，∴MP＝QM，又∵∠APB＝30°，∴PM=3∴PQ=3∴PA=PQ+AQ