3.3 圆的对称性（讲义）（原卷版）

第三章圆3.3圆的对称性知识点一圆的对称性与圆心角、弧、弦的关系1.轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。3.旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合。4.等弧的定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫作等弧。5.核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。6.等价推论（知一推二）：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们多对应的其余各组两都分别相等。7.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。即学即练1．（2026·山东青岛·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=66°，BC=CD．则∠ABD的度数为（

A．39° B．40° C．42° D．44°2．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论①AB=CD，②AC=BD，③AC=BD，④3．（2026·安徽阜阳·二模）△ABC内接于⊙O，且点A,B,C,O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图1中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ACD，使∠ACD=90°；(2)在图2中的圆上找一点F，使得BF平分∠ABC．知识点二垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3.万能结论（知二推三）：一条直线满足以下五个条件中任意两个，即可推出另外三个：①经过圆心②垂直于弦③平分弦（非直径）④平分弦所对劣弧⑤平分弦所对优弧4.弦心距定义：圆心到弦的垂直距离。即学即练1．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为5cm，液面宽AB的长为8cm，则瓶内液体最大深度为（

A．2cm B．3cm C．4cm2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，则AB和CD之间的距离是（

A．7cm或23cm B．14cm或46cm C．3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=8,CD=6．(1)直接写出BD的长为___________；(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长．题型01圆心角、弧、弦关系/核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心⇔所对的弧相等⇔所对的弦相等（知一推二）。典｜例｜精｜析1．（2026·湖南娄底·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠COB=40°，则∠ADC的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AD=(1)∠AOC=∠BOD；(2)△ACD≌△BDC．变｜式｜巩｜固1．（2026·湖北·三模）下列事件中，随机事件是（

）A．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合C．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块D．在标准大气压下，将水加热到100℃并持续加热，则水会沸腾2．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图⊙O中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若AB⏜=BC⏜，则AB=BC；②若∠AOB=∠BOC，则AB=BC；③若AB=BC，则∠AOB=∠BOC；④若∠AOB=∠BOC，则O点到弦AB、BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2026·江苏南京·一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且BC⏜(1)求证：AD=CE；(2)若AB=2，CE=3，求⊙O的半径．题型02利用垂径定理求值/通用解题步骤：①过圆心作已知弦的垂线（辅助线核心作法）；②标注半径R、弦心距d、弦长l，得关系式：R2③已知两个量，代入公式求第三个量。典｜例｜精｜析1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若CE=3，则DE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．72．（2026·安徽合肥·三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．(1)求证：D是AC的中点；(2)若AB=12，AC=413，求⊙O变｜式｜巩｜固1．（2026·河南安阳·一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB=6cm，CD=2cm，则半径OA的长为（

A．4 cm B．5 cm C．1342．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知OB为⊙O的半径，且OB=10cm，弦CD⊥OB于M．若OM:MB=4:1．则CD长为__________cm3．（2026·广东广州·二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，BC=13，AE=3，则⊙O的半径为________4．（2026·广东·一模）如图，在⊙O中，半径为5，AB=6(1)请用尺规作图法过点O作AB的垂线，交AB于点C，交劣弧AB于点D，保留作图痕迹（不写作法）；(2)求CD的长．题型03利用垂径定理求角度/（1）作圆心到弦的垂线，利用垂径定理得到线段、弧相等；（2）结合等腰三角形性质（圆的半径相等）、圆心角、圆周角定理转化角度；（3）利用直角三角形两锐角互余、对顶角、外角等角度关系计算。典｜例｜精｜析1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A,B,C在⊙O上，点A是BC中点，若∠ABC=35°，则∠BCO的度数为（

）A．10° B．15° C．20° D．25°变｜式｜巩｜固1．（2026·陕西榆林·三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且点A为劣弧BD的中点，连接AD、BD．若∠ACB=40°，则∠ABD的度数为______°．2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，E是弧AC的中点，连结OE，交AC于点D，射线AE交BC的延长线于点F．(1)如图1，①求证：AC=CF；②若OA=5，AB=6，求BC的长；(2)若直线OD与直线BC交于点G，且BG=CF，求∠ABC的度数．题型04垂径定理实际应用题/（1）建模：将实际图形抽象为圆、弦、弦心距的几何模型；（2）标注已知数据，设定未知数；（3）过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理列方程；（4）解方程并结合实际意义作答（长度为正，舍去负根）。典｜例｜精｜析1．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为1米，则⊙O的半径长为（

）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米变｜式｜巩｜固1．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．已知AB=3m，CD=2.5m，则月洞门所在圆的半径为______2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半．若截面圆中弦AB=8cm，求该烧瓶中液体的最大深度题型05垂径定理与平行弦问题/（1）圆中两条平行弦：两条平行弦所夹的弧相等；（2）同圆内两条平行弦，分在圆心同侧、在圆心异侧两种情况。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东广州·期中）若⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．2cm或7cm变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在⊙O中有两条平行弦AB∥CD，AB=12，CD=16，⊙O的半径是10，则AB与CD间的距离是______．题型06同心圆的相关计算与证明题/（1）计算类①常用辅助线：过圆心作大圆弦的垂线（同时也是小圆弦的垂线）；②结合垂径定理，分别对大圆、小圆使用勾股定理；③利用平方差公式化简，求解弦长、圆环宽度、线段长度等。（2）证明类①证明线段相等：利用垂径定理，证明大圆弦被平分、小圆弦被平分，推导线段差相等；②证明平行：结合圆心角、弧、弦关系，证明同位角/内错角相等；③证明弧相等：由弦相等推导对应弧相等。典｜例｜精｜析1．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（

）A．5米 B．15米 C．40米 D．50米2．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点A、B、C、D．(1)求证：AB=CD；(2)连接OA、OB，如果∠OAD=30°，∠OBC=45°，AB=2，求小圆半径r的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和34的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD=8，则AB的大小为（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若AB=16，则弦CD的长是__________．3．（2026·